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10大仍未解开的数学难题
几个世纪以来，一些数学问题一直在困扰着我们，尽管近来超级计算机的出现让其中的一些难题取得了一些新进展，例如“三方求和”问题，但数学界仍然存在10大悬而未解的难题。
1.科拉兹猜想

科拉兹猜想
科拉兹猜想又称为奇偶归一猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

澳大利亚数学家陶哲轩
本月初，澳大利亚数学家陶哲轩对科拉兹猜想有了一个接近解决方案，但这个猜想仍未完全解决。科拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1，可能所有自然数都是如此。
目前已知数目少于1万的，计算最高的数是6171，共有261个步骤； 数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤； 数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤； 数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤； 数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
2.哥德巴赫猜想?

将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。
哥德巴赫猜想是数学界中存在最久的未解问题之一。它可以表述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。例如，4 = 2 + 2；12 = 5 + 7；14 = 3 + 11 = 7 + 7。
也就是说，每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数，可表示成两个素数之和的数。

中国数学家陈景润
哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。他用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。
3.孪生素数猜想

这个猜想是最初发源于德国数学家希尔·伯特，他在1900年国际数学家大会上提出：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。其中，素数对(p, p + 2)称为孪生素数。在1849年，法国数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出了孪生素数猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

美籍华裔数学家张益唐
2013年5月14日，《自然》杂志报道，美籍华裔数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于7000万，可以用数式表示为：

此后，数学家们一直利用张益唐的证明降低素数对相差的数量，从数百万减少到数百。根据计算，接近的数字是6。而最终数字是到2。或者最后一步会挑战数学家数十年时间。
4.黎曼猜想

黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学界一个重要而又著名的未解决的问题，素有“猜想界皇冠”之称，多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。
对于每个s，此函数给出一个无穷大的和，这需要一些基本演算才能求出s的最简单值。例如，如果s = 2，则（s）是众所周知的级数 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…，奇怪是谁，加起来恰好是2 / 6。当s是一个复数（一个看起来像a +b的复数）时，使用虚数查找是很棘手的。
黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部分数学家也相信黎曼猜想的正确性。美国克雷数学研究所已设立了100万美元的奖金给予第一个得出正确证明的人，目前尚无人获奖。
5.贝赫和斯维纳通-戴尔猜想

贝赫和斯维纳通-戴尔猜想表述为：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。

设E是定义在代数数域K上的椭圆曲线，E(K)是E上的有理点的集合，已经知道E(K)是有限生成交换群。记L（s,E）是E的L函数，则生成上图的贝赫和斯维纳通-戴尔猜想公式。
6.接吻数问题

当一堆球体堆积在某个区域中时，每个球体都有一个“接吻数”，即它所接触的其他球体的数量。例如，如果您要触摸6个相邻的球体，那么您的接吻数是6。一堆球体将具有一个平均接吻数，这有助于从数学上描述情况。但是有关接吻数的问题尚未获得数学上的最终解答。
首先，要注意尺寸。尺寸在数学上有特定含义：它们是独立的坐标轴。x轴和y轴显示坐标平面的二维。
一维物体是线，二维物体是平面。对于这些较低的数字，数学家已经证明了这么多尺寸的球体的最大可能接吻数。在1维线上时为2，即一个球在您的左侧，另一个球在您的右侧。尽管直到1950年代才有3个维度的接吻数问题确切数字的证明。

超过3个维度，接吻数字问题大部分尚未解决。数学家逐渐将可能性缩小到了多达24个维度的相当窄的范围，其中一些确切已知，如上图所示。完整解决方案有几个障碍，包括计算限制，因此，预计未来几年接吻数问题将进行存在。
7.活结死结问题

在数学中，活结死结问题是在给定某种结的情况下在算法上识别不打结的数量。
将绳子的两端在无穷远处接起来，就形成了拓扑学意义上的纽结。如果这个纽结与一个圈在某种意义上拓扑等价，数学上称之为unknot，就意味着原来的结是活结，否则就是死结。
在过去的20年中，已经为出现了几种计算机算法，它们能够解开复杂的结，但是随着结变得越来越复杂，算法花费的时间越来越长。
有数学家认为算法可以消除任何打结，而另外的人证明这是不可能的，他们认为“活结死结问题”的计算强度不可避免的加大，导致无法消除打结。
8.大基数

如果您从未听说过大基数，请准备学习。在19世纪末，一位名叫格奥尔格·康托尔的德国数学家确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。
在集合论的数学领域中，大基数性质是有限基数的一种性质。顾名思义，具有这种性质的基数通常非常“大”，它们不能在最普遍的集合论公理化中得到证明。
最小无穷大，记为??。那是希伯来语字母aleph；它的读数为“ aleph-零”。它是一组自然数的大小，因此被写为|?| =??。
接下来，一些常见集合大于大小??。康托尔证明的主要示例是实数集更大，用|?|>??表示。
对于真正的大基数，数学家不断发现越来越大的基数。这是一个纯数学的证明过程，就像有人说：“我想到了一个基数的定义，我可以证明这个基数比所有已知的基数都大。”然后，如果他们的证明是正确的，新的最大的已知大基数就此诞生，直到有人提出更大的基数证明。
在整个20世纪，已知的大基数稳步向前发展。从某种意义上说，大型基数层级的顶端已可见。一些定理已经被证明，对大基数的可能性施加了某种限制。但是仍然存在许多悬而未决的问题。
9. + e？

鉴于我们对数学中最著名的两个常数和e所了解的一切，这真让人惊讶，将它们加在一起时令数学家们困惑。
这个问题全是关于代数实数的。定义：如果实数是某些具有整数系数的多项式的根，则实数是代数的。例如，x2-6是具有整数系数的多项式，因为1和-6是整数。x2-6= 0的根是x =√6和x =-√6，这意味着√6和-√6是代数数。
所有有理数和有理数的根都是代数的。所以可能感觉“大多数”实数都是代数的，结果却恰恰相反。
实数可以追溯到古代的数学，而e是从17世纪才开始出现的。
好吧，我们确实知道和e都是超越数。但是，我们不清楚 + e是代数的还是超越数。同样，我们不了解e， / e及其它们的其他简单组合的结果性质。因此，关于我们几千年来知道的数字仍然存在着令人难以置信的基本问题，这些问题仍然是神秘的。
10.是有理数吗？

这是另一个很容易写出来但很难解决的问题。是欧拉-马斯刻若尼常数，它是调和级数与自然对数的差值。

的近似值
它的近似值如上。该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐·马斯刻若尼引入了作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。
目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10的242080方。
有理数是小数部分是有限或为无限循环的数，而不是有理数的实数遂称为无理数。
目前，已经计算到了几千亿位数，但没有人能证明它是否为有理数。普遍的预测是是非有理数的。

在2000年之初，克雷数学研究所提出了七个问题，这些问题被认为是至今仍未解决的最困难的问题之一。解决其中任何一个问题都有100万美元的赏金。
在我写这篇文章的时候，只有庞加莱猜想得到了解决。格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）在2003年给出了证明，并在2010年被正式授予千禧年奖，但他拒绝了。
我将首先介绍这个猜想（现在是定理），然后根据复杂度的增加顺序介绍剩下的未解决的问题。
庞加莱猜想庞加莱猜想，拓扑学上的一颗明珠，揭开宇宙形状之谜
让我们逐字分析一下。首先，流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，在数学中用于描述几何形体。这意味着，如果你放大它，它看起来像一条线或一个平面或规则的三维空间等等。一个流形的例子是一个球体，如果你和它相差足够大并身处其中，它看起来是平的（就像你感觉地球是平的一样）。流形的维数就是它局部看起来像的空间的维数，例如，一个球局部看起来像一个平面（这意味着它有维数2），一个圆局部看起来像一条线（所以它有维数1），一个思维球体局部看起来像一个三维结构（这一定很神奇，但是我们无法想象）。
如果一个流形是紧凑且无边界的，那么这个流形就是封闭的（这是一个比较复杂且重要的拓补概念，需要另一篇文章来详细解释）。0和1之间的线段有0和1的边界，所以不是封闭的。圆没有边界，所以是封闭的。

一种封闭的2维流形，叫做2维环面如果一个流形没有“孔”，则它是单连通的：

A是单连通空间，B不是单连通空间?等效的单连通表述是，每个环可以连续地收缩到一点。

A中的一个环可以收紧到一个点；B中的一个环被一个孔“卡住”，不能被收紧到一个点。如果能连续地把一个变形成另一个，然后再变回来，那么这两个流形是同胚的（允许的变形包括拉伸、挤压和扭转，但不允许撕裂和穿孔）。这就引出了著名的甜甜圈和茶杯杯之间的比较（拓补上，它们是同一种东西）。

把甜甜圈变形成茶杯在拓扑学中，我们想对所有流形进行分类，其中在某个类中的所有流形都是彼此同胚的。在二维空间中，很容易看出，如果流形是封闭的且没有洞，那么它就相当于一个2维球体（圆面）。很容易确定一个2维流形是否同胚于2维球体。
庞加莱指出，这在三维中也是成立的，即任何封闭的，单连通的3维流形都同胚于3维球面。
2002年，格里戈里·佩雷尔曼通过使用“里奇流”证明了庞加莱猜想。
P vs NP问题可以分为不同的复杂性类别。这里我们感兴趣的是P和NP类。它们分别表示多项式时间和非确定性多项式时间。
本质上，P问题可以“快速”解决和“快速”验证。而NP问题（目前）并没有一个“快速”的解决方案。更具体地说，给定一个输入大小为n的问题，如果它属于P类，那么求解它所花费的时间根据某个多项式增加。然而如果它是NP，那么它就会增加得更快。
一个被认为是NP的例子是旅行推销员问题的（决策问题）：
解决这个问题很困难，也很费力。如果增加城市的数量，将使求解时间的增加比任何多项式都要快得多。
另一方面，一个P问题的例子是验证一个数字是否在给定的列表中。这很容易解决，也很容易检查，如果你将列表的大小翻倍，所花费的时间也会翻倍（所以所花费的时间不会增长得太快）。
P vs NP问题问的是，是否NP问题和P问题是不同的。否则，是否存在一些秘密或隐藏的算法可以快速解决以前认为困难的问题（NP问题）？
纳维尔-斯托克斯问题，存在性和平滑性改变世界的方程之纳维尔－斯托克斯方程，堪称最难的物理学方程
在三维空间和时间中，给定初始速度，是否存在一个光滑且具有全局定义的矢量速度和标量压力场来求解纳维尔-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）？
纳维尔-斯托克斯方程是描述三维流体运动的两个非线性偏微分方程。它是两个方程的集合，将速度矢量场和它的变化率与压力场联系起来，也就是作用于液体的外力。方程式是这样写的：

我们不会深入研究每一项的含义，但本质上，第一个方程是牛顿的F=ma。第二个方程也很简单，是质量守恒方程，要求流体不可压缩。
一个“有效”的解有两个条件：
向量场v和标量场p是全局定义的，在整个空间上是连续的。总动能是有界的。（v的范数的平方在整个空间上的积分是有界的）。所以纳维尔-斯托克斯问题可以归结为下面两种情况中的一种：
正面表述：给定f = 0和初始速度场（必须满足一定条件），存在满足（1）和（2）的速度场和压力场。反面表述：存在一个初始矢量场和外力场，其中不存在满足（1）和（2）的解。

N-S方程控制牛奶在茶中的扩散黎曼猜想（假设）一文搞懂黎曼假设，解析数论的里程碑，质数理论的珠穆朗玛
让我们分解一下。首先，黎曼ζ函数由下式定义：

它对 s > 1时有效。注意，当s = 1时，函数简化为调和级数。我们可以做一些奇特的数学运算，用下面的函数关系将函数解析到复平面上（除了s = 0和1时）：

现在我们要求s， ζ(s) = 0。既然奇数负整数的余弦值是0，那么ζ（-2n）对于正整数n是0。这些被称为平凡零点，因为余弦函数的性质使它为零。相反，我们感兴趣的是非平凡零点的情况。
已知所有非平凡零都有0到1之间的实部，称为临界带。结果是，如果s是一个非平凡零点（即ζ(s) = 0且s不是负偶数），那么对于一些值y，s = 1/2 + iy（即s的实部是1/2），这就是所谓的临界线。


伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想椭圆曲线E，为方程y^2=x^3+Ax+B的解集，且判别式?=-16（4A^3+ 27B^B）≠0。这个约束条件保证了曲线足够好。

两个椭圆曲线。左边：y^2=x^3-1.5x+1。右边：y^2=x^3-4x+1?现在我们要求x和y是有理的，从而限制了椭圆曲线的解。这就是我们说的?上的曲线。现在我们可以用这条曲线E来组成一群E（?）。我们做了一个很简洁的二元运算：给定两个点，我们画一条直线通过它们，找到与E的第三个交点并将它反射到x轴上。

如何将两点A和B相加得到C为了使它完全成为一群，我们需要在无穷远处添加一个点作为群的标识。
第一个自然的问题是，我们可以推断出E（?）的结构是什么？
莫德尔和威尔（Mordell and Weil）的结果告诉我们，E（?）是有限生成的，可以写成：

其中E（?）_tors是E（?）中所有有有限顺序的点。r被称为曲线E的代数秩。
现在我们有了前半部分。现在我们需要理解解析秩。
现在让我们进一步限制解，考虑在有限域p上，其中p是一个素数，我们定义以下值：

最后是E在s处的L级数：

回忆一下，?是椭圆曲线的判别式。那么我们可以将L展开成一个泰勒级数，围绕s = 1展开：

这里，r_an是曲线的解析秩。
终于！我们可以把伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想简单地写成：

这些都意味着什么呢？结果是，计算代数秩相当困难，而解析秩稍微容易一些。这个猜想在解析领域和代数领域之间架起了一座桥梁。
杨-米尔斯存在性与质量间隙这里有一个简短的免责声明：我不是粒子物理学的专家，所以我将在这里给出我最好的表面理解（有错误之处，欢迎指正）。
这个问题要求的是让现代物理学在数学上变得严谨。
我们从规范对称的概念开始，这些本质上是我们如何描述一个物理系统的自由度。艾美·诺特的一个简单定理是，对于每一种对称，都有相应的守恒定律。例如：
时不变（也就是说，无论你是现在开始实验，还是在喝完茶5分钟后开始实验）直接产生能量守恒平动不变性引起动量守恒接下来，我们来看杨-米尔斯理论。
劳伦斯·克劳斯（Lawrence Krauss）给出了最好的解释。想象一个象棋棋盘，如果你把每个白方块换成一个黑方块，每个黑方块换成一个白方块，那么游戏基本上是相同的。没有发生太多的改变，所以这是一个相当简单的对称。
但是现在想象一下，我局部地改变了某个方块的颜色，并且在整个棋盘上随心所欲地这么做。棋盘看起来会很奇怪，但我可以写一本规则手册来解释我做的所有交换。这个规则手册规定了游戏如何进行。


所以，让我们回顾一下：
规范群是一个系统的一组（可能非常奇怪的）对称，这就产生了守恒定律，我们可以写一本“规则手册”，这是一个定义粒子如何相互作用的场，这就是杨-米尔斯理论。
这已经在电磁力和强核力的情况下做过了，它们完全用量子电动力学和量子色动力学来描述。
杨-米尔斯的存在论（我们马上就会讲到质量间隙）所要求的是，这种描述是否适用于所有的四种基本力？更进一步，他们能统一吗？

说到质量间隙，这些场中的一个激发实际上是粒子。质量间隙本质上是规定这些粒子的质量必须在下面，这样你就找不到任意轻的粒子。这就是我们在自然界中观察到的。它被称为质量间隙，因为在0和最轻的粒子之间有一个间隙。
因此，杨-米尔斯理论要想“擅长”描述现实，就提出这个质量间隙。
霍奇猜想这是一个非常了不起的猜想。这里我就不详细讲了，因为这很难理解（未来几天，我会专门写一篇文章来解释）。
代数方程和几何图形之间有一种自然的交换。x^2+y^2-1= 0的解形成一个圆x+y-1=0形成一条直线。

所以我们可以想出一些疯狂的方程和它的解形成一个（有时非常复杂的）形状，这些被称为代数循环。如果这些代数循环足够光滑，那么它们可以被称为流形（回想一下庞加莱猜想）。
所以代数循环可以形成流形，如果我们加入更多的方程我们就可以得到流形上的代数循环。

把z = 0加到x^2+y^2+z^2=1上，得到一个圆现在从拓扑学的角度来看，我们可以在流形上画一些疯狂的形状然后把这些形状组合在一起,如果它们可以互相变形的话。它们被分成同调类。

环面上的两个不同的同调类这看起来就像我们上面所考虑的交换：我们正在从对形状的代数描述转向几何描述。问题是，给定一个流形，什么时候一个同调类包含一个可以被描述为该流形上的一个代数循环的形状？
不幸的是，我们一直在研究正则欧几里得空间中的流形。霍奇猜想研究存在于n维空间中的复射影流形。
霍奇想出了一个巧妙而优雅的想法来判断一个同调类是否等同于一个代数循环，这在本质上就是霍奇猜想。
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