peano曲线_Peano曲线不能填满整个平面区域

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大家听过皮亚诺曲线吗？是怎么画的？
1890年，意大利数学家皮亚诺(Peano G)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。后来，由希尔伯特作出了这条曲线，又名希尔伯特曲线。
Hilbert-Peano曲线是一种分形图形，它可以画得无限复杂。它的初始图元是正方形，在迭代生成的过程中，不断细化出小的正方形，图中的线段其实是用于连接各正方形的连线。它的特点是蜿蜒曲折、一气呵成，能经过平面上某一正方形区域内所有的点。希尔伯特曲线是一种奇妙的曲线，只要恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0，1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。 希尔伯特曲线是一条连续而又不可导的曲线。



皮亚诺曲线是一个曲线序列的极限，是一个能够填满正方形的曲线，皮亚诺曲线是一个不可导的曲线，在数学上有一定的应用，因为在一般的情况下，一维的线是无法填满二维的方格的，但是皮亚诺曲线却解决了这个问题，这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。这个定论的证实使得我们必须重新认识维度在数学上的应用，这也是数学知识的神奇之处，除了皮亚诺曲线，在数学上还有很多神奇的定论，这些定论的存在说明了数学知识的神奇之处，本文将为大家详细的进行介绍。
皮亚诺曲线怎么画，有什么方程式吗
有人知道皮亚诺曲线怎么画的?最近看到一种叫皮亚诺曲线的图案，感觉很神奇，世界上竟然有这样的神秘图案，上网查了一下才知道叫皮亚诺曲线。皮亚诺曲线怎么画?这是数学界的神奇定论。
皮亚诺曲线有没有解析式
皮亚诺曲线能不能用一条解析式表达出来呢，如果没有，我想问问有没有能用解析式表达的函数图像奇特的函数?谢谢各位了
解析：(1) 匹亚诺曲线无解析式(2) y=[x2]的图像



皮亚诺曲线

皮亚诺曲线是一个曲线序列的极限，是一个能够填满正方形的曲线，皮亚诺曲线是一个不可导的曲线，在数学上有一定的应用，因为在一般的情况下，一维的线是无法填满二维的方格的，但是皮亚诺曲线却解决了这个问题，这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。这个定论的证实使得我们必须重新认识维度在数学上的应用，这也是数学知识的神奇之处，除了皮亚诺曲线，在数学上还有很多神奇的定论，这些定论的存在说明了数学知识的神奇之处，本文将为大家详细的进行介绍。



数学定理的神奇之处
学习过数学的人应该都知道，数学对于一部分的人来说，可是说是非常的神奇的，因为很多人无法理解数学的神奇之处，但是数学的魅力所在是无法磨灭的，并且对于一些数学曲线来说，根据特定的数学规律来进行演算，能够很好的表现出神奇的曲线特征，比如说双曲线、皮亚诺曲线、阿基米德螺旋线等，都是数学定理的演算情况下出现的一种特征性曲线，这也是数学定理的神奇之处。
皮亚诺曲线的观点所在
1890年，意大利数学家皮亚诺(Peano G)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t)和y=g(t)，使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线



“1872年，康托在一篇文章中，用一章的篇幅专门讨论实数问题，特别是无理数问题。他为自己提出了一个目标，在不预先假定无理数存在的条件下，建立一个令人满意的无理数理论。显然，全体的有理数集合为此提供了一个基础。康托用有理数的无穷序列来定义无理数及它们之间的顺序关系。从集合论的观点来看，由于数的序列对应的是数的集合，而不是数元素本身，即使形如只有一个元素的序列对应的也应该是一个数的集合。上面对有理数的定义显然构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。
有一点需要明确一下，就是无穷序列的构造过程以及对无穷序列取极限的过程的关系。我们已经知道[0,1]区间中有理数有可数无穷多个，可以用一个递归的无穷过程来产生这些有理数;而[0,1]区间中的无理数都是有理数集合的极限点。但有理数集和无理数集显然是不一样的。这就是说，构造有理数集的无穷过程并不包括取极限的过程，不能认为取极限的过程一定包含在无穷过程中。否则，按第一节的论述，对无理数的定义将包含罗素悖论。事实上，许多宣称找到了实数可数证据的例子都是犯了认为无穷过程一定包含取极限过程的错误。

另外，可以用反证法证明，希尔伯特曲线并没有建立一种从曲线到平面的一一对应关系。假设曲线的坐标区间为[0,1](即假设曲线的长度为1)，并对于正方形中位线y轴上的某一点p，有曲线上的数x属于[0,1]映射到p点。由于希尔伯特曲线是左右对称的，则立即可以得到数(1-x)也映射到p点。又由于这种映射是一一映射，所以有x=1-x=1/2，即与1/2对应的是y轴上的一条线段，这与前面的一一对应假设矛盾。
这种观点指出，在康托用有理数的基本序列去定义实数中，实数域中的一个有理数a按定义等于序列，这实际上构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。本文还分析了皮亚诺曲线等一维到二维映射的例子，指出它们实际上也包含了上述悖论。
维度的概念乍一看似乎很直观。瞥一眼窗外，我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦，被限制在一维电话线上的知更鸟，在二维地面上自由移动的鸽子，还有翱翔在三维空间的老鹰。

但是对于数学家来说，为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才得出目前对维度概念的严格理解。


1. 超越三维
古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德[1]写道：“向一个方向延伸的是直线，两个方向延伸的是平面，三个方向延伸的是物体。除此之外就没有其他了，这些就是所有的维度。”

然而相比于其他人，数学家更热衷于想象更多维度的思维训练：垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子？

一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到平面，就会出现一个点。当它继续穿过平面时，圆盘会不断变大，直到达到其最大尺寸，然后缩小并消失。正是通过这些横截面，我们才能看到三维物体的形状。


图1：在平面上只能看到三维物体的横截面。| 来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine

类似地，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，这个四维球会以一个点的形式出现，之后成为一个实心球，最终达到完整半径的球，然后半径减小并消失。这给了我们关于四维形状的感知，但是对于这样的物体，还有其他思考方式。

例如，让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物。如果我们从一个点开始，可以在一个方向上拖动它以获得一条线段。之后，当我们垂直于拖动方向移动线段时，得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样，我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体。


图2：通过将蓝色位置的图形拖动到紫色位置，我们可以可视化各种维度的图形，包括超立方体。

或者，就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样，我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体，正如萨尔瓦多·达利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Crucifixion，Corpus Hypercubus) 中所展示的那样。


图3：我们可以通过展开正方体得到的面来想象一个立方体。同样，我们可以通过展开超立方体得到的立方体来想象超立方体。

所有这一切构成了对维度的直观理解，即如果一个抽象空间有n个自由度（就像本文开头提到的那些鸟一样），或者需要n个坐标来描述一个点的位置，该空间就是n维的。然而，数学家发现维度比这些简单的描述要复杂。


2. 定义维度
人们对更高维度的正式研究出现在19世纪，相关研究在几十年内变得相当复杂：1911年的参考书目包含1832条对n维几何的引用。也许因此，在19世纪末和20世纪初，公众开始迷恋第四维度。1884 年，埃德温·阿博特 (Edwin Abbott) 创作了流行的讽刺小说《平面国》（Flatland），小说以二维生物遇到三维生物作为类比，帮助读者理解第四维度。1909 年《科学美国人》征文比赛题为“什么是第四维？” ，有245份参赛作品争夺500美元的奖金。许多艺术家，如巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）和马塞尔·杜尚（Marcel Duchamp），将第四维的想法融入到作品中。

但在这段时间里，数学家们意识到，维度缺乏正式的定义实际上是一个问题。

乔治·康托尔 (Georg Cantor) 因发现无穷大有不同的势 (cardinality）而闻名[2]。起初，康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的势，就像一条10个点的线、一个10×10的点网格和一个10×10×10的点立方体有不同数量的点。然而，在1877年，他发现线段中的点与正方形（以及所有维度的立方体）中的点之间存在一一对应关系，这表明它们具有相同的势。凭借直觉，他证明了尽管维度不同，线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小的点。康托尔写信给理查德·戴德金（Richard Dedekind），“我看到了，但我不相信它。”

康托尔意识到这一发现威胁到n维空间需要n个坐标来描述的直觉观念，因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数字唯一标识。因此，从某种意义上说，这些高维立方体相当于一维线段。然而，正如戴德金指出的那样，康托尔的函数是极不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分，然后将它们重新组合成一个立方体。这不是我们所希望的坐标系的行为。这种坐标系太过无序，无法为我们描述物体提供帮助，就像是为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配这些地址。

然后，在1890年，朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 发现，可以将一维曲线缠绕得如此紧密且连续，以至于可以填充二维正方形中的每个点。这是第一条空间填充曲线（space-filling curve）。但皮亚诺给出的例子也不是坐标系的良好基础，因为曲线与自身无限多次相交。回到对曼哈顿的比喻，这就像给一些建筑物多个地址。


图4：这些是产生空间填充曲线的前五个步骤。在每一步，曲线的面积为零，但在极限情况下，它填充了正方形。这条特殊的曲线是由大卫·希尔伯特（David Hilbert）引入的。

这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明，数学家需要证明维度是一个真实的概念。例如，当n≠ m时，n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的。这个目标被称为“维度不变性”（invariance of dimension）问题。

终于，在1912年，在康托尔的发现之后将近半个世纪，在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后，布劳威尔（L.E.J. Brouwer）使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲，他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中，以及在不将物体分成许多部分（如康托尔所做的那样）、不允许物体与自身相交（如皮亚诺所做的那样）的情况下，使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外，大约在这个时候，布劳威尔等人给出了各种严格的定义，例如，可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实，帮助归纳地确定维数。

尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上，但它无助于增强我们对高维空间的直觉：对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写，“我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。”

例如，假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中，然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加，中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1。但是，令人震惊的是，当n≥10时，这个球体会伸出立方体的边。


图5：中心球体随着维度的增加而变大，最终会突出到立方体外面。

高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题，统称为“维数灾难”（curse of dimensionality）。许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长。此外，随着维度增加，点形成聚类的概率会降低。因此，找到为高维数据降维的方法十分重要。


3. 分形和非整数维度
维度的故事并没有因为布劳威尔而终结。仅仅几年之后，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了一个新的维度定义，之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要。

考虑维度的一种直观方式是，如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍，它的大小会增加到kd倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍，点的尺寸不变（30=1），线段变成3倍（31=3），正方形变成9倍 (32=9)，立方体变成27倍 (33=27)。



图6：当我们将d维对象放大k倍，其尺寸会增加到 kd 倍。

豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是，物体可能具有非整数维度。几十年后，当伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit B. Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸有多长？”时，结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐，以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短，测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为，豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法，并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。


图7：英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。

要了解非整数维度可能是什么样子，让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线（Koch curve）。我们从线段开始。在每个阶段，我们删除每个线段的中间三分之一，并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它，无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它，你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此，如果我们将这条曲线缩放3倍，我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4，因此，d=log3(4)≈1.26。科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间，所以它不是二维的，但它也不是一条一维线，而是1.26 维。


图8：科赫曲线包含四个与整条曲线相同但尺寸为其三分之一的部分，因此其豪斯多夫维数不是整数，而是 log3(4)≈1.26 维。


4. 四维时空之外
最后，有些读者可能会想，“时间不是第四维吗？” 事实上，正如威尔斯1895年的小说《时间机器》（The Time Machine）中的发明者所说：“时间与空间的三个维度中的任何一个都没有区别，只是我们的意识沿着它移动。” 1919 年，作为第四维的时间在公众的想象中爆发，日食让科学家们证实了爱因斯坦的广义相对论和闵可夫斯基（Hermann Minkowski）的平坦四维时空的曲率。正如闵可夫斯基在1908年的一次演讲中所预言的那样，“此后独自的空间和独自的时间注定会消失在阴影中，只有空间和时间的某种结合才能保持独立的现实。”

今天，数学家和其他人的研究经常偏离我们所在的三个维度。有时研究会涉及额外的物理维度，例如弦论所要求的那些维度，但更多时候我们抽象地工作，并不设想实际空间。一些研究是几何的，例如玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在2016年发现了在8维和24维填充球体的最有效方法[3]。在物理、生物学、工程、金融和图像等不同领域研究分形时，有时需要非整数维度。在这个“大数据”[4]时代，科学家、政府和企业建立了人、地点和事物的高维度档案。

幸运的是，无论鸟类和数学家，都不需要完全理解维度就可以体验维度。

原文：
https://www.quantamagazine.org/a-mathematicians-guided-tour-through-high-dimensions-20210913/

参考链接：
[1]https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/euclid
[2]https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/
[3]https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/
[4]https://www.quantamagazine.org/tag/big-data

来源：集智俱乐部
编辑：Eric、yrLewis