这个世界到底是离散的还是连续的？

刺客325

世界是连续的，测量结果是离散的。
我尝试用最简单的语言来说清楚在量子力学下对这句话的含义。当然，这样不免影响到严谨性，一些不严谨的地方我会在括号内解释。
我假设读者掌握了高中物理以及对量子物理有常见的科普书级别的理解。
第1,2节从量子力学的基本假设出发说明这句话的含义，后面举例来说明这些假设的意义。
1.态空间与可观测量
首先，世界是连续的：量子力学中认为，系统的状态可以，完备的，用态空间中的一个点（或者说，将从原点指向该点的矢量，称作态矢）来描述：这个态空间可以取的足够大，以至于可以描述整个宇宙；也可以取得相当小，刚刚好够描述一个只能向上向下的自旋。
为了说明什么是态空间，我们考虑从日常经验中的三维空间入手进行类比。
考虑一个上下左右前后可以无限延伸的三维空间，其中有一个矢量A


为了具体描述这个矢量，我们需要引入一个坐标架，并将矢量往三个坐标轴上投影。


这个时候，我们可以称，这个矢量A在空间直角坐标系Oxyz下，沿三个坐标轴有三个分量。也可以通过下图来表示（我们可以称之为谱图）


好了，我们来看量子力学。
对于一个三态系统，我们可以用一个三维的态空间中一个态矢A来描述


为了具体描述这个矢量，我们需要引入一个可观测量X（一般都被称作力学量完备集，但为了简化概念，直到第4小节前我都称之为可观测量），它包含三个可区分的正交坐标轴，并且每个轴都被赋予一个独一无二的实数。


什么叫做一个可观测量呢，最常见的就是坐标x，动量p，或者是自旋z分量，差不多就是我们的物理量。当然它们的维数对应不到我们这个例子上来，但是不太影响我们的讨论。
好了，我们发现，物理量变成坐标轴了！（再多附加上一组实数）用这种观点能做什么呢？设态矢A在三个坐标轴下的分量分别为（一般而言这些分量都是复数，但假定其为实数并不影响主要的结论），我们再画出这幅图


这个时候，我们称我们体系的态是处在可观测量X的值分别为的态，按照比例系数，的相干叠加。
一般的，一个可观测量可能的值不止有三个，那么对应的正交坐标轴的个数就也不止三个，态空间的维数就会很高（我们常考虑的态空间都是可数无穷维，当然还有像坐标和动量这种不可数无穷维的逗比家伙）。为了清楚的描述这类系统，我们使用谱图来描述，下图是五维态空间中一个点的例子。


好了，到现在为止我们描述的一切东西都是连续的，如果你觉得物理量可以用几个轴来讲就能算是离散的话，那么我无话可说，三维空间由于有三个维度，因此也是离散的。
下面我们讨论测量的问题。
2.测量
量子力学中一个标准的测量，需要明确你想测量的可观测量X。也就是说，在N维态空间中定出N个相互正交的坐标轴，以及赋予每根坐标轴一个独一无二的实数值。另外，你需要一个处于该态空间中的待测态A，其沿坐标轴的分量为
量子力学的测量公设说：对可观测量X进行一次测量，观测者有正比于的概率得到一个的测量结果，若得到该结果，测量完成后体系的态将坍缩成一个与轴平行的态矢。
（你可以仍然在脑海中保留着一个三维空间，重复这些操作）
好了，如果光从基本假设上来讲，上面就是全部了：
量子系统处于态空间中的一个点，这个空间完全是连续的，这个点无论在哪儿都成。
进行测量时，我们需要取一个特定的坐标系，将态往各个坐标轴上面投影。测量可能得到的结果个数与坐标轴的个数相同，只要这坐标轴的个数还是可数无穷的，那么你所得到的结果就不可能是连续的。
对于坐标和动量这种可观测量，我们一般认为其对应的态空间是不可数无穷维的，也就是说坐标和动量的测量结果可以是连续的。
而对于能量、角动量，大多数情况下其对应的态空间是有限维或者可数无穷维的。也就是说测量只能得到离散的结果。
关于对一个给定物理量的测量到底该如何做，这是量子力学中较次要的理论了。正如牛顿力学中给出了牛顿三定律之后，虽然我们还不知道这个力到底从哪里来啥都干不了，但是关于这些力的理论（库仑摩擦定律、胡克定律、万有引力定律）也只能屈居于三定律之下。
在后面我会再引申一些东西，这有助于读者理解我前面所说的假设的意义。
3.不可同时测准
我可以再谈谈上面的假定引起的另一个直接的后果：两个物理量不能同时测准。
考虑由两个物理量：“坐标”X，“动量”P，可以用三维态空间中的两套坐标架加上两组数来描述（当然事实上没有只能取三个值的坐标和动量，这里只是为了简化描述）


好了，我们现在考虑什么叫做测准。
根据我前面说的测量公设，对于给定的态以及给定的物理量X，测得什么结果是概率性的：按照投影分量平方的概率得到各个可能的值。除非我们的态就处在某一根坐标轴上——这时态矢在其他坐标轴上的分量为零，即得到其他结果的概率为零，即以100%的概率得到测量结果，这个时候，我们说物理量X是能被测准的。
那么，我们可以得到结论：对于一个态，它一般没有一个物理量的确定值，除非这个态处在该物理量的一根坐标轴上。或者，一个物理量是有可能被测准的。
如果我们有两个物理量呢？如果要测准，我们的态得同时处于两个物理量的一根坐标轴上，这只有在这两个物理量有两个坐标轴重合时才可能办到。
回到上面那张图，显然，六根坐标轴没有哪两根是在一起的。因此，我们这里的“坐标”X和“动量”P是不可能同时测准的。
4.广义测量
上面所说的测量事实上过于严格了——设想宇宙是我们考虑的对象，每当我们希望知道其中一个电子的坐标时，就得对整个宇宙作出一个测量——因此我们考虑放松我们的约束。
一个最简单的推广是可以向一个平面投影。例如下图，一个光子从左方入射，通过45度角放置的半透镜后会处于透过和反射的叠加态。我们现在想知道的是光子有没有从C口出来——如果测得没有从C口出来，我们事实上还是不清楚光子是从B口走还是从A口走，但是我们不关心。
（你可以思考一下测量结果的离散性在这个问题中的体现：你只能测得C口有没有一个光子出来，而不能测得C口有半个光子出来，虽然平均而言可能是这样）


完整的说，这是一个三态的系统，我们依旧画出三维态空间


从某一个特定的口出去对应着一个测量结果，以及一个特定的坐标轴。但是，当我们仅关心光子有没有从C口出去时，A和B两个口对于我们来说已经没有区别了。因此我们可以认为这个态空间中的矢量可以仅借助一根坐标轴C和一个坐标平面NC来描述——而不需要这个坐标平面内的两个轴。
这个时候我们的测量便成了：我们有正比于的概率得到光子从C口出来，若得到这个结果，光子塌缩成一个与C轴平行的态矢；有正比于的概率得到光子没有从C口出来，若得到这个结果，光子塌缩成一个与L在NC平面上的投影平行的态矢。
值得注意的是，这样定义的测量与“测量光子到底从哪个口出来，然后从结果再看光子有没有从C口出来”是不同的。至于为何不同，你可以考虑在完成测量后再进行一次“光子到底从哪个口出来”的测量，就能发现区别。
如果我们从头到尾就不关心光子是从A口走还是B口走，我们还能将NC平面看做是一根坐标轴


很明显，这样不会对我们关心的问题造成任何影响。但是我们却发现：原来一根坐标轴可以包含这一个二维平面！
更一般的，一根坐标轴里可能还会包含这一个三维空间，或者更高维度的态空间（如果你有线性代数里子空间的概念，可能就会觉得稀疏平常了。另外，弦论中的11维时空中有若干个蜷曲的维度是另一个概念，请不要混淆）
进一步将测量理论推广，我们可以考虑态矢在一组非正交的坐标轴下分解


或者是轴的个数比考虑的态空间维数更大的一组轴


关于广义测量的一个简介，可以参考维基页面
POVM
5.粒子数的量子化
我们知道，对于粒子数的测量结果只可能是自然数——离散值。物理学家们自然不会放过这个将理论推广的机会，他们认为某个体系的某类粒子数n是一个可观测量，满足之前的假设。那么，一个体系的一般态应该可以用下图来表示


你可以将这个态念作：粒子数分别为0,1,2,...的态按系数叠加而成的态。
注意，粒子数这个物理量以及其对应的测量，应该理解成前面所引入的广义测量。很显然，确定了只有一个粒子的系统，也有很多可能的状态，粒子数为1这根坐标轴，实际上代表着一个高维的态空间，只是在我们不关心其内部的具体状态时，可以看做一根轴。
当有多类粒子同时存在的时候，可以使用下图来表示（以2为例）



读者可以试着从这个观点去理解基本粒子的碰撞与相互转换是怎样一个过程。
6.总结
总之，本答案试图向读者们介绍一个新的“世界观”，并举几个用这种观点看待问题的例子。我本来希望引入更多一点的东西，但感觉还是无法驾驭（面对我假定的读者群体）。因此，真正感兴趣的读者还是请系统学习量子力学。
另外有人提到了普朗克尺度的事情，这里我做一下澄清。普朗克尺度是由普朗克常数、引力常数、光速一起组成的一个长度量纲的量。一个简单的物理意义是，在这个尺度下，空间中自发涨落出现的能量，足以形成一个这么大的黑洞。众所周知，量子场论和广义相对论是不相容的，在这个尺度下矛盾就尤为突出——自发涨落出现的黑洞都到哪里去了呢？所以，这个尺度描述的是现有理论失效的尺度，或者说，现有理论能适用的最小尺度，而不是说现有理论预言该尺度为最小尺度。