外星人的数学体系和我们的等价吗？数学、科学、哲学在宇宙 ...

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这是一个非常复杂的问题。我第一反应只能给出一个逻辑正确的答案，但是这个答案一定会被你骂作废话：
如果外星人的数学体系发展得和我们的一样，那么就是一样的；如果不一样，那么就是不一样的。
但是这的确就是整个回答最后的结论。
因为外星人的数学体系的确可能和我们的等价乃至完全相同，但同时他们的数学体系也有可能和我们的不同（这种不同就是以下要说明的东西）。

直接考虑「外星人」过于复杂，因为外星人（准确来说是外星智能）甚至未必会有和我们一样的存在形式，更不用说感官和知觉系统了。所以不妨首先来考虑一下地球上的其它文化，或者，其它人类文明。甚至，直接考虑人类的数学发展史。（事实上考虑全人类也是一个过于宽泛的视角，如果我们将地球上不同的文明分开来考虑的话，我们会发现即便同为人类，也有很大的差别，最明显的就是一些原始部族基本上连算数系统都没有发展出来。而文明停滞的例子也是有的，比如说阿兹特克文明。所以并不是每个文明都必然会发展出高级的结构，这种发展本身是具有随机性的。）
显然，数学不是静止的。比如说几何学，在非欧几何发展出来之前，仿佛世界上就只有欧氏几何，没有人能够确保（甚至预见）非欧几何能够发展到如今的水平（甚至能够被应用！）。那么，AD 1000 年的人类几何学和 AD 2000 年的人类几何学是否等价？我们只能保证，如今的几何学能够蕴含 AD 1000 年时候的几何学，但是反之不行。
类似地，虽然据说在 Aristotle 时代就有了各种微元法的使用，作为微积分的初步，但是我们能够保证这种使用能够蕴含现代微积分理论么？显然我们还缺了很多东西。不过在进一步讨论之前，首先我们可以得到一个非常 trivial 的结论：
对于同一个文明来说，一般情况下，后人的数学能够蕴含前人的。这里的文明可以特指某一个具体的文明，也可以指人类文明全体。
而我们立刻就要问，前人的能否蕴含后人的？如果不能，或者说，有某种缺失的话，这种缺失是一种什么性质的缺失？

有人会说，这种缺失会不会仅仅是定理意义上的？
比如说，我们要证明 Z，在 2000 年只知道 A 的时候是证不出来的（准确来说是没有证明思路），随着数学的发展（时间的推移），我们从 A 出发，一步步证明了 B、C、D、E……最终在公元 2012 年的时候证明了 Z。这并不是说 Z 不在 A 的系统里面，只是要完成这个事情实在是太复杂，以至于没有办法一个人在很短的时间内完成。 这种经历往往是数学家独有的，你想想看你有花过超过一周的时间证明一个命题么？但是很多数学家会为了证明某个命题而耗尽毕生精力。
但是，我们不会因此说，2000 年的时候，我们讨论的 A 系统和 2012 年时，我们讨论的能够证明出来了 Z 的 A 系统是不等价的，虽然在 2000 年的时候 Z 是一个猜想，而在 2012 年的时候 Z 已经成为了一个定理。
上面这种看法，在某种意义上体现出来了一种传统的乐观主义认识论倾向。
这种乐观主义思想倾向的源头或许可以追溯到伟大领袖 Plato。当然，我清楚地记得，Popper 在《猜想与反驳》中评价 Plato 的认识论的时候，做出了区分，毕竟 Plato 是一个非常多产的家伙。
Popper 将 Meno 篇中的回忆说称为乐观主义的认识论，而将理想国中的三喻（日喻、线喻、穴喻，具体应该是出现在 6、7、8 卷，我不太记得了）称为悲观主义的。 [1]
但是即便是在悲观主义的认识论下， Plato 依然认为，存在一种本体论意义上唯一的构造，因此数学的概念是唯一的。即，事物的概念先于事物的存在，比如说桌子，世界上是先有桌子的相（ideal、理念，参
Theory of Forms ），然后才有每一个具体的桌子，桌子的相被包含在了桌子之中，同时，每个桌子都是这个桌子的相的不完美的摹本。同理，世界上先有了直线的相，然后才有我们眼睛所见的一条条具体的直线，当然这些直线都是不完美的。（想一下，我们能够打磨出来完美的平面么？显然不可以吧，所以世界上所有我们成为平面的，比如说桌子的某一个面，实际上都不是真正平的。）
同样地，我们有数字（0、1、2、3…）的相、三角形的相、正方形的相，等等等等。相作为知识来说，是最高级别的，比起低一等的是一切科学知识以及逻辑真的命题，这一点是柏拉图的构造中有趣的地方，柏拉图认为作为对象的相才是重点，关系已经被蕴含在了对象本身中，所以单凭借关系（科学知识、数学命题、逻辑命题）可能还不足以完整地把握对象，但是反过来，把握了对象之后就可以自然而然地把握一切这些命题。

另外一个我想要谈论的哲学家应该是康德，不过谈论康德并不是谈论他对于认识数学如何可能的看法，而是像重点强调一下他对于数学命题的错误态度，这种错误态度源自于他对于分析命题的态度是错误的。康德武断地将「分析」认定为「不能增长知识」的。这种理解，无论从何种意义上来说，都是有矛盾的。
康德认为仅仅遵循矛盾律的分析命题 [2] 是不能够增长我们的知识的，也即，如果你知道一族命题，那么你必然会知道这族命题的所有逻辑后承（比如说，如果你知道「p→q」以及「p」以及「q→r」，那么你就要知道「q」、「r」以及「p→r」等推论）。
对于理想的认知主体来说没有问题，但是人类显然不是理想的认知主体，即便某些数论问题在解决的过程中只要用到数论上的知识（而不用使用其它数学分支中的知识），但是由于这个命题本身实在是过于复杂，我们不可能一眼就看出来，因此，我们在某种意义上的确增加了新的知识。
康德认为分析命题不可能增加新知识，同时将数学划归为能够增加新知识的命题，进而，将数学视作「先天综合命题」，这种处理单看表面上是自洽的，但却和现代的观点不相符合。至少从弗雷格和罗素开始，数学属于分析命题就是无可争议的事实了，虽然蒯因在《经验论的两个教条》中批判过分析性，但是这种批判某种意义上仅仅是隔靴搔痒。
康德说，数学知识必须在直观里提供它的概念，然而这种直观是先天的，因为它并不是经验的。同时数学是构造出来的。[3]
进而，为了解释人类的先天直观能力，康德提出，我们在通过时间和空间的「透镜」来观察这个世界。人类关于代数运算的能力，源自于这个世界先天的时间结构，而关于几何推理的能力，源自于这个世界先天的空间结构（这里的时间结构和空间结构并不是霍金意义下的，毕竟他那个时候连洛伦兹变换都没有。直观地去理解它们就好了），因为我们在观察这个世界的时候，不可能离开时间和空间。
虽然从数学本身的分析性来说，康德的理解与当代分析哲学的理解有偏差，但是从认知的意义上来说，康德的理论是没错的：数学是我们构造出来的。
当我们在说 5+7=12 的时候，我们没有办法从 5+7 直接得到 12，12 这个概念是我们构造出来的，具体来说，12 是我们构造出来表示 11+1 的，进而，我们通过加法公理的迭代运用发现它和 5+7 相等。[4]
康德应该没有考虑本体论意义上的数学，而仅仅是从认识论的意义上为认识数学的先天性做出了辩护。仅从认识的过程来说，我是赞同康德的，即，逻辑能力和基础的几何代数直观都是某种意义上先天的。这种先天并不是逻辑先天，而是与人类的整个思维结构和认知系统相关的。同时数学的确是构造出来的，但是对于这种构造的理解略有不同。
但是这种先天性会给人一个错觉，我不确定康德具体持什么态度，但是很多之前的人持的态度是：数学的结构是完全先天的。
柏拉图自然也是持这种想法的，当然柏拉图在 Meno 篇中的想法更为 radical 一些，他认为，知识甚至也是先天的，仅仅是因为我们在被 XX 神赋予肉体的过程中不小心遗忘了而已（具体内容和坑爹的希腊神话有关），从这种意义上来说，我们不是 acquire 知识，而是 recall 知识。知识已经在我们的脑袋里了。不过其实虽然 Meno 篇的举例有点扯，但是背后有说明了一个很有趣的问题：人类的逻辑能力某种意义上来说是天生的。（这泥马又是一篇可以长篇大论的东西了）
而即便是在理想国中，Plato 也同样认为数学是一种本体论意义上先天的东西，虽然我们未必能够把握它。

这时我们要提两个问题，请听题：

• 数学是不是在本体论意义上唯一的？
  
• 如果数学在本体论意义上是唯一的，那在认识论意义上呢？
  

后者是很容易否定的。随便举例就是，我们可以假设一种外星人不擅长几何，但是代数研究得很好。我们同时可以想象另外一种外星人生活在 11 维空间中，它们的几何原本有十几万页那么厚。所以，当前者代数已经发展到一个一个很高的水平的时候，后者还在研究几何，此时两个文明在认识论意义上对数学有着不同的把握。并且两者不能相互蕴含。当然，这个举例是粗糙的，因为我们还没有定义数学是什么。
那么在本体论意义上数学是否唯一呢？这取决于数学是什么。
我们不妨来考察一个最为简单的数学系统，群论系统。

• （G1）
  
• （G2）
  
• （G3）
  

但是这还不是标准的一阶公式，因为标准的数理逻辑一阶公式中，函数和关系都是以波兰式（前缀表达式）的形式写出来的。即：

• （G1）
  
• （G2）
  
• （G3）
  

有人会嫌麻烦，但是实际上如果我们知道每个字母代表一个自变量，并且知道函数（乘法算子）和关系（等于关系）是几元的（参考编程的思想，函数的返回值是 X 中的元素，而关系是的返回值是布尔值），那么括号全部都可以省略。但是省略了括号之后估计你也很难一下子看懂这个式子在说什么。
当然，第一个里面的「对于任意的」其实应该拆成三个，这样写依旧不准确。
事实上这个定义仅仅是定义的一部分，或者说，在数理逻辑系统中，并没有严格的定义和公理的区别。这三个公理定义了群论中的乘法算子。而另外的公理定义了等于关系（=）。其实如果写作下面这样看起来就没有那么别扭了：

• （G1）
  
• （G2）
  
• （G3）
  

当有多个符号出现的时候，我们会考虑给这个系统加上标和下标，用上标 n 表示函数或者关系是 n 元的，用下标表示序号。如表示所有二元函数中的第三（四，如果从 0 数起）个。
这还没有完，因为我们仅仅是定义了一个抽象意义上的群的结构，或者是某个具体的群的结构。如果我们用表示所有集合的类，那么对于群的类（），我们是这样定义的：
然后我们会发现我们的一切定义都是基于集合论的语言的。
数学系统都是可以这样形式化的。并且，形式化之后是唯一的。即，如果另一个系统同样也满足这三条公理，而仅仅是符号不同的话，就像我们上面分别用圆圈和 f 表示群论乘法算子那样，那么我们会对这两个系统不加区分。但是数学系统都是非常复杂的，比如说微积分中的「确界存在定理」就已经没有办法用一阶公式来表示了，甚至皮亚诺的算数系统也是二阶的。上面的群论系统中，第一个针对一个群的三条公理都是一阶的，但是下面那个涉及到了群判定的公理就已经是二阶的了。
那么数学是什么呢？直觉上，数学是一族形式系统，把我们的几何、代数、分析各个分支构成的形式系统放在一起，构成一个数学形式系统族。
当然，在直觉上，我们会觉得数学也可以是一个大的系统，因为似乎我们可以把数学中各个分支的公理放在一起，比如群论的系统是 G1 到 G3 公理，然后欧氏几何的系统是 E1 到 E5 公理，等等等等，这些公理的全体构成了我们现在的数学系统。
但是哪有那么简单啊摔！常用的数学系统自然是非常确定的，唯一的，比如说形式数论系统，比如说欧氏几何系统，但是到了一些古怪的地方就有问题了，比如说集合论。
哥德尔不完全性定理的本质就是，将「你不可能证明这句话是真的」形式化。这就构成了一个漏洞（参：
有既不能证实又不能证伪的事物吗？），而这个漏洞最为直接的影响就是导致「连续统假设（CH）」及其否定可以分别作为公理添加入原有的集合论系统中，并且不导致矛盾，而这也就意味着，我们不能把所有的系统不交地并起来，因为所有的系统中有包含了 CH 的形式系统，也有包含了 CH 的数学系统，而这两个系统的公理如果并在一起，就会使得公理集合中有矛盾，而矛盾能够推出一切命题，使得新得到的数学系统就是没有意义的。
事实上不用考虑集合论和哥德尔不完全性定理，我们都已经能找到两个相互矛盾的数学系统：欧氏几何和黎曼几何。这两个形式系统的并是矛盾的（在第五公理的表述上）。因此仅仅是几何学这个分支中，都已经没有办法用一个形式化的几何系统来进行概括，我们至少要三个几何系统：欧氏几何的形式系统，黎曼几何的形式系统以及罗巴切夫斯基几何的形式系统，当然这三个系统中除了黎曼几何都包含了绝对几何系统。
因此这时我们面临的问题就是，如果数学可以同时是很多个系统，并且这些系统有些是相互矛盾的话，那么本体论意义上的数学是什么？所有至少包含一阶谓词演算的不矛盾的公理系统的……类？等价类的类？（因为可能已经不能使用集合这个词了）

首先，一个形式化的数学系统必然是一个一阶系统的扩充（即一阶谓词逻辑（L）加上一系列公理，并且我们希望这个扩充是不矛盾的），在特定的情况下，一个数学系统还需要是一个二阶系统的扩充，但是考虑到二阶系统本身就是一阶系统的扩充，所以并不用特别强调是「一阶或者二阶系统的扩充」。
而本体论意义上的数学就是应该是所有数学系统构成的集合（或者是类（class），我不确定「所有数学系统」是否还能充当一个集合）
同时，我们会发现这些数学系统中，有一些蕴含另一些，比如说前面的群论三条公理分别是 G1、G2、G3，那么，群论系统肯定就蕴含 L+G1。但是只有包含了矛盾的系统可以蕴含一切数学系统。因此我们不能说数学是一个系统，即不能把各种公理都放在一起。
另一方面，有一些公理，虽然不同，但是实际上会使得两个公理系统等价，比如说用收敛定义拓扑和用开集定义拓扑，比如说群论中第二个公式虽然定义的是一边的恒等，但是如果我们同时把 G2 和 G3 替换成：

那么系统和原来依旧是等价的。
为了方便起见，我们希望给把上面的那个集合缩小，即，如果集合中的两个元素（这里的元素是数学系统）是相互等价的，那么这两个元素就属于同一个等价类，进而，将数学重新定义为形式系统的等价类的集合（类）。

最后我们要问，如何判断两个文明的数学是否相同。
很简单，假设其中一个的数学中的每一个等价类都被另外一个文明的数学中的某个等价类所蕴含，那么后者的数学就不弱于前者的。
思考题：

• 为什么不能说「如果前者的数学中的每一个等价类都能被后者的若干个系统的并所蕴含」？
  
• 为什么不必说「如果前者的数学中的每一个等价类都被后者的若干个系统的一致并所蕴含」？
  

如果两个文明的数学系统相互不弱于对方，那我们认为这两个文明有着相同的数学。
显然这里的关系不是一个全序，而仅仅是一个不严格的偏序关系。

以上是基于逻辑语言中的句法（syntax）和证明系统（proof system）来讲的，但是我们还有另外一个问题：数学系统并不是纯粹句法上的，数学系统本身也是有语义（semantics）的。那么，数学系统的语义是如何体现的？
同时，我们还有另外一个问题，一个数学系统虽然构造好了，但是其中有很多命题是没有办法证明的，这种证明是如此之复杂，以至于我们完成了证明就仿佛获得了某种新的知识，即便你如果把证明过程写出看来，对方可以通过先天的逻辑能力检验证明过程是否正确，就像 Plato 的 Meno 篇中的那个小孩那样，他并不知道如何将一个正方形的面积翻倍，但是如果你把辅助线画好了问他，他会很确定地告诉你这个以对角线为边的正方形的面积是原来正方形面积的两倍。
公理系统构建好了，是否绝对能够保证系统中所有的定理能够被证明出来？（这显然是不行的，因为定理的数目理论上有无限条，但是另一方面，是否存在一种统一的套路？）
最重要的是，其实上面的形式系统的构建具有一个严重的问题，就是这这样定义的一个称为「数学」的类（class）很难将一般意义上的非数学理论（或者说普通的数学模型）排除出去。比起数学，这个类更像是所有人类能够形式化的理论组成的类。

总之，我旗帜鲜明地反对数学在认识论意义上是唯一的，而对数学的本体论唯一性表示怀疑。

然后从这里开始补漏洞。
不同的公理刻画了不同强度的系统，比如说拓扑公理是非常弱的，以至于世界上有很多拓扑空间。各种奇奇怪怪的拓扑空间。也即，满足拓扑空间定义的结构非常多，但是如果我们逐步限制，比如说加上局部紧致性、正则，那么满足条件的空间个数会越来越少，最终会变成。但是另一方面，数学系统之间有一些不太显然的等价性。比如说平面和二元实数组的关系（当然这个例子举的不好，但是考虑某些拓扑结构和群结构的等价性呢）。这种差别或许在逻辑结构上是体现不出来的，反而，正是因为他们有相同的逻辑结构，所以才能相互转化。甚至这种结构体现在最原始的代数和几何中，貌似是去掉第五公理的几何系统是和某个我们非常熟悉的系统是逻辑等价的（摔！我忘了绝对几何和哪个系统等价了）。但是这两个系统对于人来说有着完全不同的意义。形式化的好处是看到共性，但是坏处是看不到区别。但是数学的出发点一般来说是直观，先有直观然后再抽象。
数学无论如何都不可能是单纯的逻辑符号，因为数学证明并不是完全逻辑性的，数学证明虽然有很多典型的分析性的，比如通过群论的左单位元和左逆元公理证明右单位元存在并且与左单位元相等，但是那些我们认为是伟大的数学证明，往往都是超越了分析性的，在证明的过程中，数学家会进行各种各样的转换和类比，当然少不了各种构造，最后得到一个非常漂亮（也有可能非常难看）的结论。单纯通过逻辑和分析性可以从逻辑的层面上理解知道这个证明是「有效」的，但是我们不能理解它。
因此，从上面这层意义上来说，前面关于数学系统等价的定义似乎过于宽松了。
同时，前面的定义还会囊括进来太多其他乱七八糟的东西。举一个例子，比如说投票制度，我们会采用公理来刻画投票制度，这在学科分类中可能是属于逻辑学或者是政治学的东西，但是最终这个系统同样可以完全地形式化，并且得到一系列的推论，我们没有办法从形式的意义上去区分一个这样的系统和一个数学系统，但是我们却不会说这是一个数学系统。类似地，牛顿力学也是可以形式化的，相对论和量子力学同样也是可以形式化的，形式化之后得到的系统就不再是一个物理系统，而是一个理想的数学模型了，但是大多数人应该会对这个模型没有数学方面的兴趣。这种问题不仅仅出现在离散结构的投票和连续结构的物理中，还出现在生活中的每一个角落里面，任何可以研究的对象，研究的一个最终目的都是给出一个数学模型然后进行计算预测。这个数学模型自然可以形式化，但是这个模型本身仅仅是数学的应用，而并不是数学本身，或者说，在构建这个模型的过程中，很少会有对于数学本身结构增加的促进。这也就使得我们很难区分一个应用系统和一个真正意义上的理论数学（基础数学）的系统。
这个问题的另一重意义是，在不同的文化环境中，甚至有可能没有办法清晰地区分各种研究对象。
因为现代的学科发展是有着非常深厚的历史背景的，比如说作为典范的物理学，和飞速发展的数学，本身都仅仅是因为历史的原因而快速发展起来，并没有决定性的因素保证这些学科会如此这般发展。生物学就更不用说了，外星人的生物学可能就是物理学。而且如果他们有着较为不同的构造的话，可能会出现人类比动物更适合于做实验的情形，以至于他们的物理学发展是基于医学的。
同时，我们要注意到，数学能够快速发展，或者说，成为一门独立学科的主要原因是数学提前发展了很久，如果在另一个文化中，数学永远落后于物理学，那么一切问题都可能会变成物理学问题，理论数学的概念将不复存在，比如说到了要解决相对论的时空刻画问题的时候才开始发展一种等价于黎曼几何的结构。
总而言之，考虑不同人类的文明，乃至不同物种之间的文明差异，会让我们看到太多的可能。连学科的形态都未必会和我们的一样，更别说学科的内容了。


不过话说回来，我还是觉得有一些东西应该是共通的，比如说最为基本的加减法，四则运算（但是代数数和超越数的运算的发展未必就会如此显然），比如说对于圆周率的估计，比如说欧氏空间中的几何必然优先于非欧几何的发展（因为一般来说正常生物能够认知的空间附近的一个领域都可以近似看作是平直的）。或许题主想要的是这种共性吧。


[1] Meno 篇，一般译作美诺篇，有兴趣的可以去查英译本全文，
The Internet Classics Archive，原文很短，英语好的孩子很快就能看完。内容的重点是从整篇中第二个「boy」开始往下的部分。（Ctrl + F 是搜索）
至于理想国里面的三喻，另开一个问题吧……三喻写完都可以当论文了。
[2] 《未来形而上学导论》，第三节，关于分析判断和综合判断的一般区分
[3] ibid.，第七节
[4] 加法公理：

其中 是后继映射，即，、 的论域都是由 Peano 算数公理构建出来的自然数集（含）。
以为例，，其中。带入得
而是的缩写，进而得。
我们将记作（这个「」是我们构建出来表示的符号）