宇宙学 | 密度微扰与结构的形成

lj1282502016

<hr/>1 研究宇宙微扰的意义

在弗里德曼宇宙模型中，一个重要的假设是：宇宙是均匀且各项同性的。这一假设使得我们可以更加方便地讨论宇宙的演化。
然而，实际情况并没有我们假设的那么绝对的均匀。尽管CMB等证据已经说明，这一假设是合理的，但是在较小的尺度上， 10^{-5} 的微小涨落仍然不可忽略——以太阳系为例，太阳系99.8%的质量都集中在太阳上，这和我们理解的“均匀”相差甚远。



Figure1: CMB

可以说，正是因为宇宙并不是完全均匀的，才能形成各种各样的天体结构，以及丰富多彩的生命。所以研究微扰也是相当重要的。
对于物质的形成来说，我们首先要探究的就是密度微扰。微扰理论是一种找出近似解的数学方法，如果想得到接近真实的情况，我们就需要不断地计算更高阶的微扰。
幸运的是，我们宇宙还是相当均匀的（涨落非常小），以至于我们只需要讨论一阶微扰就可以得到较为精确的结果，这大大方便了我们的数学计算。
<hr/>2 Brihhoff 定理及其推论

Brihhoff定理可表述为：

• 爱因斯坦场方程的任意球对称解必然是静态的。
  

它有一个推论：

• 球对称质量分布的空间中，在其中心的球形空腔内不产生引力场（时空是平坦的）。
  

这一推论是我们下来推导的依据，其实在高中物理中就已经介绍过了。
由于宇宙近似是均匀且各向同性的，随意对于一个半径为 r 的球形区域，其外部的引力场近似为球对称的。因此，在这个球的内部可以看成一个相对独立的体系，类似一个与外界隔开的“小宇宙”。
<hr/>3 密度微扰

考虑密度微扰，就是考虑在各处密度为 \rho_m 的宇宙中，一块区域的密度有一定程度的偏离（并且偏离不大），导致宇宙并不是完全均匀。设这个偏离为 \delta ，则这块区域的密度为 \rho_m(1+\delta) 。
根据Brikhoff定理，我们可以把一块密度偏离 \rho_m 的区域近似当成球对称的，这样就可以不考虑外界物质的影响。宇宙中每一个密度偏离 \rho_m 的扰动都可以看出一个独立的宇宙进行演化。


物质密度和临界密度的比记为，
\Omega_{p}=\frac{\rho_m(1+\delta)}{\rho_c}
利用宇宙模型中的弗里德曼方程，
\left( \frac{H}{H_0} \right)^2=\Omega_{p}\left( \frac{a_0}{a} \right)^3+\left( 1-\Omega_{p} \right)\left( \frac{a_0}{a} \right)^2

这里假设没有辐射，且宇宙学常数为0，由于密度相对临界密度有偏离，空间曲率K也不为0。

利用这一方程可以描述该区域的演化。
<hr/>4 成团结构的形成

上述方程的解和物质占主导的K=1时的宇宙相同，可详见这篇文章：
\begin{cases}  a = \frac{\Omega_{p}}{2(\Omega_{p}-1)}a_0(1-\cos\eta)  \\  t = \frac{\Omega_{p}}{2H_0(\Omega_{p}-1)^{3/2}}(\eta-\sin\eta)  \end{cases}
这个解是一个摆线，标度因子a先上升后下降，意味着该区域先膨胀，后缩小，开始塌缩的时间（开始缩小）为，
t_i=\frac{\pi \Omega_{p}}{2H_0(\Omega_{p}-1)^{3/2}}

a取最大值时的t。

由 \rho_p(t_i)a_i^3=\rho_p(t_0)a_0^3 得，此时的密度为，
\rho_p(t_i)=\rho_p(t_0)\frac{a_0^3}{a_i^3}=\rho_c(t_0)\Omega_p(t_0)\left( \frac{\Omega_p(t_0)-1}{\Omega_p(t_0)} \right)^3=\frac{3\pi}{32Gt_i^2}
而对于平坦宇宙的演化，密度随时间的变化关系为，
\rho_m(t_i)=\frac{1}{6 \pi Gt_i^2}
这两个密度的比值 \chi\approx5.6 ，也就是说开始坍缩时，该区域的能量密度是其他区域的5.6倍。
此外，需要说明的是，该模型预测了“奇点”的存在，而对于少量物质来说，这一现象是不可能的，当体积小到一定程度时，内部的压强会变得很大，最后会达到一种平衡，形成宇宙中的天体结构。
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