中国古代历法中的数学工具

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中国古代数理天文学是一门数理学科，这就意味着它必须拥有一些有力的数学工具，那么，这些工具究竟有哪些呢？他们的原理和效果究竟如何呢？
一：内插法
又称插值法。根据未知函数f(x)在某区间内若干点的函数值，作出在该若干点的函数值与f(x)值相等的特定函数来近似原函数f(x)，进而可用此特定函数算出该区间内其他各点的原函数f(x)的近似值，这种方法，称为内插法。按特定函数的性质分，有线性内插、非线性内插等;按引数(自变量)个数分，有单内插、双内插和三内插等。
古代首先出现在汉代，为一次内插法。其基本原理是通过直线的比例关系导出函数值，其实相当于假设星体在两个内插点间作匀速运动，从而得出星体在任意时刻的位置。他最先被用于《太初历》中，用于计算五星运动。
后来刘焯发明了二次内插法，后来一行发明了不等间距二次内插法，边冈使用双二次内插法，郭守敬又发明了三次内插法，直到朱世杰发明了朱世杰招差公式，中国内插法不断蓬勃发展。
内插法几乎是整个数理天文学的基石，被广泛运用于太阳，五星，日月食的计算之中。
二：上元积年
古代历法中一般都设有历元，作为推算的起点，这个起点，习惯上是取一个理想时刻。通常取一个甲子日的夜半，而且它又是朔，又是冬至节气。从历元更往上推，求一个出现"日月合璧，五星联珠"天象的时刻，即日月的经纬度正好相同，五大行星又聚集在同一个方位的时刻。这个时刻称为上元。
从上元到编历年份的年数叫作积年，通称上元积年。上元实际就是若干天文周期的共同起点。有了上元和上元积年，历法家计算日、月、五星的运动和位置时就比较方便。
上元积年的推算需要一个复杂的同余式，通过“总数法”等数学方法求解，就能得到上元所在的年份，一般要列的同余式有：太阳周期、月亮、五星的回合周期、黄白交点位移、五星近地点周期等等。通过上元积年，就可以推算出当年的冬至，朔日，黄白交点位置，五星会合位置等重要天文参数。
随着观测越来越精密，一次同余式的解也越来越困难，数学运算工作相当繁重，所得上元积年的数字也非常庞大。这样，对于历法工作就很少有实际意义，反而成了累赘。后经曹士、杨忠辅等作尝试性的改革以后，元代郭守敬在创制《授时历》中废除了上元积年。
上元积年作为中国历法的重要部分，推动了中国数学中同余式的快速发展，后来中国剩余定理等成就都与计算上元积年有关。
三：追击公式
按照中国古代天文学家的思路，首先计算理想状态下的星体位置，再加减“盈缩差”，就可以得到星体的真实位置。而对于一些“特殊天象”，则必须使用追击公式进行计算。
\Delta\gamma=y+\frac{c}{va-vb}\ ( \Delta\gamma 是理想状态下“特殊天象”的出现时间与真实状态下的出现时间的时间间隔，c是a的“盈缩差”，y是b的“盈缩差”，va，vb是a和b的视运动速度。）
\Delta\omega=y+(\frac{c}{va-vb}-c) ( \Delta\omega 是理想状态下“特殊天象”的出现位置与真实状态下的出现时间的位置之差）
这是通过方程组
\gamma\cdot va=\alpha-c  
\gamma\cdot vb=\alpha+y （ \alpha 是理性状态与真实状态的天象夹角）
解得的。这个方程组则由追击公式的几何意义得到。
总结：
中国古代数理天文学是一门建立在数学（特别是代数）上的科学，这就意味着他需要几个简明的数学方法，中国天文学家通过大量数据总结出的这几个公式，使天文学拥有了极其简明基石，这也为中国天文学的领先打下了坚实基础。