不要问我星星有几颗，我会算给你看

David墨

在数学世界里，重复乘法运算（或者作为运算结果的数字）叫作“乘方运算”（也称“幂运算”，幂即乘方运算的结果）。重复相乘的次数就算看起来没那么多，运算得到的结果却很可能是超出想象的巨大数字。



把一张纸对折重叠42次，就能到达月球通常，一张打印纸的厚度大约是0.1毫米。把这样的纸对半剪开再重叠起来的话，厚度就变成了2张打印纸的厚度，也就是0.2毫米。那么，把叠在一起的2张打印纸再进一步对半剪开重叠起来，厚度就又变成2倍，这样一直重复对半剪开再重叠的话，会变成什么样呢？重叠的打印纸厚度从最开始的0.1毫米逐步变成0.2毫米、0.4毫米、0.8毫米、1.6毫米……


如果增加重复的次数，结果会急剧地增大。到第10次变成大约100毫米（10厘米），可能感觉也不是多大的数。但是，如果再继续重复对半剪开再重叠起来的操作，就会出现让人惊讶的结果。重复到第23次时，厚度会达到约840米，超过世界第一高楼哈利法塔（高828米）的高度。重复到第30次的时候，高度大约会有100千米，已经可以从地表到达宇宙空间。重复到第42次时，高度会变成44万千米，轻松地超过地球到月球的距离（约38万千米）。


不过，这个想法只能在理论上实现，现实生活中并不能如此操作。因为，如果是用一张A4尺寸（长边大约长30厘米）的纸重复42次对半剪开重叠的话，纸的大小（长边的长度）会变成分子的尺寸（100纳米级别）那么小。


经典面试问题：银河系里有多少恒星？有时，我们会把非常大的数字称作“天文数字”。这是因为在以宇宙和天体为研究对象的天文学里，经常会出现很多非常大的数字，很多时候是需要估算，而非精算。例如，“在我们居住的银河系里一共存在多少恒星？”当你被问到这样的问题时，应该如何找到答案？


或许也有很多人被问到后会立刻去网上搜索答案。但是，就算对于这种乍一看感觉毫无下手的问题，也可以利用已经知道的数或设置一些简单的假设条件来获得大概的答案。美国物理学家恩里科·费米（Enrico Fermi，1901～1954）就是一位擅长利用推理来估算数值的人。


恩里科·费米据说费米经常对学生提出像前面提到的恒星数目那样乍一看无从下手的问题。一个著名的费米问题的例子，就是费米向学生提问“在美国芝加哥有多少钢琴调音师”。对于这种不能简单得出答案而是要利用推理来估算大致结果的方法，也被称为“费米估算”。美国谷歌公司为了测试面试者的能力，在其招聘考试中就采用了诸如此类的费米问题。
让我们一起来测算



银河系里有多少颗恒星？1.  假设银河系的半径是5万光年、厚度是1000光年的话，银河系的体积大约是3.14×5万×5万×1000 ≈ 8×1012光年3（立方光年）2.  因为离太阳最近的恒星与太阳相隔4.2光年，我们假设在边长为4光年的立方体（体积是64光年3）的宇宙空间里只有1颗恒星。3.  那么银河系里恒星的总数估计就是8×1012÷64 ≈ 1.3×1011 颗也就是大约1300亿颗根据基于天文学观测数据的研究，银河系中存在的恒星数应该在2000亿颗左右。这样看来，上面列出的估算值的误差不到2倍，也是相对合理的估算。


人体全身总共有多少个细胞？上个例子给出我们解答费米问题的思路。


● 如果用1个细胞的体积去除人体的体积，应该就能得到细胞的总数。● 如果假设人的体重大约70千克，密度和水的密度一样都是1克/立方厘米，那人体的体积是…… 解答


1.  假设人的体重大约70千克，假设密度和水的密度一样都是1克/立方厘米，人体的体积大约就是70000立方厘米。2.  如果细胞的直径是0.001厘米的话，一个细胞的体积大约就是10-9立方厘米。3.  人体的总细胞数就是人的体积除以1个细胞的体积，70000÷10-9= 7×1013个，也就是大约70万亿个细胞。最近的研究结果表明，人体全身的细胞总数估计大约有37万亿个。这样看来，上面列出的估算值在数量级上差不到两倍，可以说是相对合理的估算。由于费米问题的解答只是对数量级的一个大致估算，所以并不能得到精确的答案。但是，通过利用这样的推理对数值进行大致估算，对我们掌握事物的规模和概要等非常有帮助。如果推理出来的估算结果与实际数据出现很大差别，那就说明推理过程中的假设有了比较大的误差。通过修正假设条件，也能够帮助我们更加详细地把握一些事物的概要。本文改编自《科学世界》推出的新版典藏本《图解中学对数与向量》，更多关于指数、对数、向量的精彩问题，还请阅读本书探寻答案吧！