天文学中的数值模拟：SDSS的模拟星表

伤我心太深

斯隆数字巡天（SDSS）是如今最具影响力的天文项目之一，它得出的数据是无数星系天文学以及宇宙学研究者的重要资料。不过本文要说的不是SDSS得出的真实星表，而是该项目使用的模拟星表。在项目的预研期，以宇宙学数值模拟为基础的模拟星表起了关键的论证作用。
为了得到直观印象，不妨先比较一下模拟星表中的星系随红移的分布与真实巡天得到的分布：

SDSS模拟星表中的星系分布（上）以及真实的星系分布（下），其中下图对应的纵深比上图大一些，为20亿光年。（图片提供：Sloan Digital Sky Survey）

不提其他，乍看两张图真的很类似。换句话说，当代由数值模拟创建的虚拟宇宙在形态上已经和实际的宇宙很接近了。当然，这是SDSS模拟星表真正能发挥作用的前提。
构造SDSS模拟星表的基础是Lambda-CDM模型，也就是Lambda-冷暗物质模型。它是大爆炸宇宙学的基础模型，也是最简单的一种理论，可以解释微波背景辐射的形成、星系团大尺度结构以及宇宙的加速膨胀等观测事实。在这一框架下，Lambda指与暗能量相关的宇宙学常数，暗物质成分以非重子的低速物质为主，用Friedmann方程、Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker度规和宇宙状态方程描述可观测宇宙，而基本参数则包括重子密度、暗物质密度、暗能量密度、再电离光深、标量谱指数和曲率涨落振幅6个，包括哈勃常数在内的其他参数可以由这6个基本参数导出。
SDSS的模拟星表采取的参数是以20世纪90年代初COBE卫星的测量为基础的，所以与现在WMAP给出的新值相比有很大的差异，比如哈勃常数是在60上下，而非70有余。另外由于在90年代末，人们只是刚刚发现了宇宙加速膨胀的迹象，暗能量的存在尚未被更多Ia型超新星的观测所证实，因此这里所谓Lambda-CDM，实际上是确切的CDM，再加上为了保持时空平直而单纯从理论上引入的宇宙学常数Lambda。而这里暗能量密度和物质密度的比例是也与今天的测量有所不同，是0.6:0.4。
基本计算是在1993年进行的，算法是用粒子—网格来求解N体相互作用，在边长600 h-1Mpc空间中安置了3803个粒子（h-1指哈勃常数除以100）。之前在介绍千年模拟的时候曾经提到过粒子网格，这里再详细说一下。
粒子—网格应该算是N体模拟速度比较快的算法了，主要思路是将作用力视为场量，折算到网格上。计算时，先将粒子的质量加权分配到格点上（格点距离通常要小于物理系统的特征长度），把粒子质量转化成网格密度，然后求解网格的势场泊松方程，并根据网格势求算受力情况，再通过内插网格定义的作用力来计算粒子受力。接下来的运算与直接求算粒子相互作用类似，根据受力求出粒子的位置和速度就是了，然后再如法计算下一时间点的情况。
与粒子—粒子相互作用的N2（N指粒子数目）计算量相比，粒子—网格的计算量是N + Ng log Ng（Ng指格点数），显然要快上很多。其中主要的时间消耗是泊松方程的求解，原因是这一步往往需要进行快速傅立叶变换。除了速度，粒子网格的又一优势是可以有效抑制粒子相互碰撞，不过由于没有亲自进行过计算，所以细节也说不了太多。至于粒子—网格的缺陷，则在于对近场计算的粗糙，还有对非均匀分布粒子的处理较困难。
为了计算SDSS的模拟星表，600 h-1Mpc边长的空间被划分成了6003（但是为什么不是601？）个格点，这样这样模拟的分辨率就是1 h-1Mpc。并非计算所用的每个粒子都可以用来代表星系，只有密度起伏高于一定数值的8292455个粒子才被当作星系的代表。
有了计算数据，就能构筑出模拟星表以及星系的大尺度分布了，由此可以推测出SDSS巡天的预期结果，还能帮助完善巡天的策略和配套软件。星系选择的一个标准是亮度，采用了Petrosian亮度，这里对应是2倍Petrosian半径之内的亮度，而所用Petrosian半径的定义是星系表面亮度降到平均值1/8时对应的半径。按照模拟星表提出时的说法，真正的巡天Petrosian亮度的参数选择可能与模拟不同，不过这并不影响本质。
不过对于模拟出的星系来说，这个亮度要如何分配？模拟星表是根据Schechter在1976年提出的光度函数随机赋予亮度的，光度函数中的参数则是根据模拟而来的星系数密度作了调整。为计算Petrosian半径，星系的亮度分布采取了针对核球的de Vaucouleurs模型以及针对星系盘部分的指数模型。另外星系外观的哈勃分类也是随机分配，且各类型在不同红移处的比例按当时的已有文献作了修正。而星系的核球—盘比例、星系盘半光度半径、核球长短轴之比等其他参数也是根据以往的研究结果确定。

SDSS巡天区域内的模拟星系分布。（图片来源：Colley et al. 2000）

列入模拟星表的星系是通过多条亮度标准选择而出的。然后是选择分析区域。计划中在北银极附近SDSS的巡天范围近似是一个长130度、宽110度的椭圆，模拟星表据此在进行坐标变换之后挑出了待分析的星系，一共有87万余个。这其中一部分星系的分布也就是本文的第一张图片所展示的了，全部星系则如上图所示。
低红移区星系数目的缺乏可以归结为选择标准以及同样的天区张角在邻近宇宙中对应较短的实际距离。在星系成团性最为清晰的130到400 h-1Mpc区域，与真实星系分布类似的大尺度结构清晰可见：星系团、空穴、和“星系长城”，这是应用了高斯随机相初始条件的Lambda-CDM模型很自然的结果。SDSS的模拟星表与参数不同的同类模型以及当时已有的观测数据并无本质差别，只是结构的具体尺度可能有所不同。

模拟宇宙中的密度分布，可见多孔的海绵状结构。（图片来源：Colley et al. 2000）

接下来探讨的是宇宙大尺度结构。上面的多孔密度图中包括数以百计的结构，可以用于探讨巡天的预期结果。星系分布是用所谓genus curve来度量的，它涉及密度场分布的功率谱，其具体定义比较复杂，可参考Gott, Melott, & Dickinson 1986、Gott, Weinberg, & Melott 1987等文献，在此不详谈。而由于genus curve的形态和宇宙暴涨的高斯随机相初始条件息息相关，因此巡天所得的结果可以用于探讨宇宙创生后一瞬间的情况。用模拟星表计算出的genus curve与暴涨预言一致，这为日后的巡天提供了参考。但在模拟数据中照样存在与高斯随机相初始条件的偏离，这可能是由于引力主导非线性的演化导致的。
最后要说说构造模拟星表的理由。SDSS并非第一个红移巡天，然而却是提出时规模最大的红移巡天。先前的巡天范围没有做到如此之大，怕是产出的数据不足以应付探讨未来大规模观测的需要；如此反倒是数值模拟领先了一步，先构筑出了规模空前的虚拟宇宙，于是对大尺度结构的预分析也达到了空前的精度。