《周髀算经》盖天宇宙结构考

UFO中文网

长期以来，《周髀算经》盖天宇宙模型中的天地形状一直被认为是双重球冠形，并将这一点视为《周髀算经》“自相矛盾”之处。本文通过对《周髀算经》全书的系统分析，从演绎体系、数理结构、语词辨析等多方面论证了“双重球冠说”之误。再进而给出了《周髀算经》盖天宇宙模型的正确结构和形状----新给出的结构和形状在全书中非常自洽。

一、问题的提出：《周髀算经》是否“自相矛盾”？

　　在《周髀算经》所述盖天宇宙模型中，天与地的形状如何，现代学者们有着普遍一致的看法，这里 举出叙述最为简洁易懂的一种作为代
表∶

　　《周髀》又认为，“天象盖笠，地法覆盘”，天和地是两个相互平行的穹形曲面。天北极比冬至日道所在的天高60,000里，冬至日道又比天北极下的地面高20,000里。同样，极下地面也比冬至日道下的地面高60,000里。[1]

然而，同样普遍一致地,这种看法的论述者总是在同时指出∶上述天地形状与《周髀算经》中有关计算所 暗含的假设相互矛盾。仍举出一例为代表:

　　天高于地八万里,在《周髀》卷上之二,陈子已经说过，他假定地面是平的；这和极下地面高于四旁地面六万里,显然是矛盾的。……它不以地是平的, 而说地如覆盘。[2]

其实这种认为《周髀算经》在天地形状问题上自相矛盾的说法，早在唐代李淳风为《周髀算经》所作注 文中就已发其端。李淳风认为《周髀算经》在这一问题上“语术相违,是为大失”。[3]
　　但是，所有持上述说法的论著, 事实上都在无意之中犯了一系列未曾觉察的错误。从问题的表层来 看, 这似乎只是误解了《周髀算经》的原文语句,以及过于轻信前贤成说而递相因袭，未加深究而已。然 而再往深一层看,何以会误解原文语句? 原因在于对《周髀算经》体系中两个要点的意义缺乏认识----这两 个要点是: “日影千里差一寸”和“北极璇玑”。前一个要点笔者已有另文专门讨论，[4] 下文仅略述其大 要，重点则在讨论第二个要点，再分析对原文语句的误解问题。

二、“日影千里差一寸”及其意义

　　《周髀算经》中的盖天学说是一个公理化体系，其中的宇宙模型有明确的几何结构，由这一结构进 行推理演绎时又有具体的、绝大部分能够自洽的数理。“日影千里差一寸”正是在一个不证自明的前提、 亦即公理----“天地为平行平面”----之下推论出来的定理。这个定理且能推广其应用，即所谓“勾之损益 寸千里”。
　　然而，认定《周髀算经》是“自相矛盾”的论者，总是勇于指出“天地为平行平面”这一前提之谬误， 却不去注意这条公理在《周髀算经》体系中的地位。“天地为平行平面”固然不符合今天的常识，却未 必不符合古人的常识。更重要的是，在“天地为平行平面”与“日影千里差一寸”这对公理-定理之间， 有严密的数学推理所支持，并无任何矛盾 (俱详见[4])。

三、“北极璇玑”究竟是何物?

　　解决《周髀算经》中盖天宇宙模型天地形状问题的另一关键就是所谓“北极璇玑”。此“北极璇玑” 究竟是何物，现有的各种论著中对此莫衷一是。钱宝琮赞同顾观光之说，认为“北极璇玑也不是一颗实 际的星”，而是“假想的星”。[5] 陈遵妫则明确表示∶

　　“北极璇玑”是指当时观测的北极星；……《周髀》所谓“北极璇玑”，即指北极中的大星，从历史上的考据和天文学方面的推算，大星应该是帝星即小熊座β星。[6]

但是，《周髀算经》谈到“北极璇玑”或“璇玑”至少有三处，而上述论述都只是针对其中一处所作出 的。对于其余几处，论著者们通常都完全避而不谈----实在是不得不如此，因为在“盖天宇宙模型中天地 形状为双重球冠形”的先入之见的框架中，对于《周髀算经》中其余几处涉及“北极璇玑”的论述，根 本不可能作出解释。如果又将思路局限在“北极璇玑”是不是实际的星这样的方向上，那就更加无从措 手了。 　　《周髀算经》中直接明确谈到“璇玑”的共三处，依次见于原书卷下之第8、9、12节，[7] 先依照顺 序录出如下∶

　　欲知北极枢、璇玑四极，常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极，此北极璇玑四游。正北极璇玑之中，正北天之中，正极之所游…… 　　(以下为具体观测方案)。 　　
　　璇玑径二万三千里，周六万九千里 (《周髀算经》全书皆取圆周率=3)。此阳绝阴彰，故不生万物。 　　
　　牵牛去北极……。术曰∶置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里，……。东井去北极……。术曰∶置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，……。

从上列第一条论述可以清楚地看到，“北极”、“北极枢”和“璇玑”是三个有明确区分的概念∶
　　那个“四游”而划出圆圈的天体，陈遵妫认为就是当时的北极星，这是对的，但必须注意，《周髀算 经》原文中分明将这一天体称为“北极”，而不是如上引陈遵妫论述中所说的“北极璇玑”。 “璇玑”则是天地之间的一个柱状空间，这个圆柱的截面就是“北极”----当时的北极星 (究竟是今 天的哪一颗星还有争议)----作拱极运动在天上所划出的圆。
　　至于“北极枢”，则显然就是北极星所划圆的圆心----它才能真正对应于天文学意义上的北极。
　　在上面所作分析的基础上，我们就完全不必再回避上面所引《周髀算经》第9、第12节中的论述了。 由这两处论述可知，“璇玑”并非假想的空间，而是被认为实际存在于大地之上----处在天上北极的正下 方，它的截面直径为23,000里，这个数值对应于《周髀算经》第8节中所述在周地地面测得的北极东、西 游所极相差2尺3寸，仍是由“勾之损益寸千里”推导而得。北极之下大地上的这个直径为23,000里的特殊 区域在《周髀算经》中又被称为“极下”，这是“璇玑”的同义语。
　　如果仅仅到此为止，我们对“璇玑”的了解仍是不完备的。所幸《周髀算经》还有几处对这一问题的 论述，可以帮助我们解破疑团。这些论述见于原书卷下第7、第9节∶

　　极下者，其地高人所居六万里，滂沲四颓而下。
　　极下不生万物，何以知之? ……

于是又可知∶“璇玑”又指一个实体，它高达60,000里，上端是尖的，以弧线向下逐渐增粗，至地面时， 其底的直径为23,000里 (参见本文图1)；而在此69,000里圆周范围内，如前所述是“阳绝阴彰，故不生万 物”。
　　这里必须特别讨论一下“滂沲四颓而下”这句话。所有主张《周髀算经》宇宙模型中天地形状为双重 球冠形的论著，几乎都援引“滂沲四颓而下”一语作为证据，却从未注意到“极下者，其地高人所居六 万里”这句话早已完全排除了天地为双重球冠形的任何可能性。其实只要稍作分析就可发现，按照天地 形状为双重球冠形的理解，大地的中央 (北极之下) 比这一球冠的边缘----亦即整个大地的边界----高六万 里；但这样一来，“极下者，其地高人所居六万里”这句话就绝对无法成立了，因为在球冠形模式中， 大地上比极下低六万里的面积实际上为零----只有球冠边缘这一线圆周是如此，而“人所居”的任何有效 面积所在都不可能低于极下六万里。比如，周地作为《周髀算经》作者心目中最典型的“人所居”之处， 按照双重球冠模式就绝对不可能低于极下六万里。
　　此外，如果接受双重球冠模式，则极下之地就会与整个大地合为一体，没有任何实际的边界可以将两 者区分，这也是明显违背《周髀算经》原意的----如前所述，极下之地本是一个直径23,000里、其中“阳 绝阴彰，不生万物”、阴寒死寂的特殊圆形区域。

四、《周髀算经》盖天宇宙模型的正确形状

　　根据前面几节的讨论，我们已经知道《周髀算经》所述盖天宇宙模型的基本结构是∶
　　天与地为平行平面，在北极下方的大地中央矗立着高60,000里、底面直径为23,000里的上尖下粗的 “璇玑”。剩下需要补充的细节还有三点∶
　　一是天在北极处的形状。大地在北极下方有矗立的“璇玑”，天在北极处也并非平面，《周髀算经》 在卷下第7节对此叙述得非常明确∶

　　极下者，其地高人所居六万里，滂沲四颓而下。天之中央，亦高四旁六万里。

也就是说，天在北极处也有柱形向上耸立----其形状与地上的“璇玑”一样。这一结构已明确表示于本文 图1。该图为《周髀算经》盖天宇宙模型的侧视剖面图，由于以北极为中心，图形是轴对称的，故只需绘 出其一半；图中左端即“璇玑”的侧视半剖面。
　　二是天、地两平面之间的距离。在天地为平行平面的基本假设之下，这一距离很容易利用表影测量和 勾股定理推算而得 (推算之法及其有关讨论详见[4])。即《周髀算经》卷上第3节所说的“从髀至日下六万 里而髀无影，从此以上至日则八万里”。日在天上，天地又为平行平面，故日与“日下”之地的距离也 就是天与地的距离。而如果将盖天宇宙模型的天地理解成双重球冠形曲面，这些推算都无法成立。李淳 风以下，就是因此而误斥《周髀算经》为“自相矛盾”。其实，《周髀算经》关于天地为平行平面以及 天地距离还有一处明确论述，见卷下第7节∶ 　　

　　天离地八万里，冬至只日虽在外衡，常出极下地上二万里。

“极下地”即“璇玑”的顶部，它高出地面六万里，故上距天为二万里。



三是盖天宇宙的总尺度。盖天宇宙是一个有限宇宙，天与地为两个平行的平面大圆形，此两大圆平面 的直径皆为810,000里----此值是《周髀算经》依据另一条公理“日照四旁各十六万七千里”推论而得出 (参 见[4])，有关论述见于卷上第4、第6节∶

　　冬至昼，夏至夜，差数所及，日光所逮观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。 　　
　　日冬至所照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。

北衡亦即外衡，这是盖天宇宙模型中太阳运行到距其轨道中心----北极----最远之处，此处的日轨半径为 238,000里，太阳在此处又可将其光芒向四周射出167,000里，两值相加得宇宙半径为405,000里，故宇宙直 径为810,000里。
　　上图中各参数之意义及其数值，依据《周髀算经》原文所载，开列如下∶
J 北极(天中) 　　
Z 周地(洛邑)所在 　　
X 夏至日所在(日中之时) 　　
F 春、秋分日所在(日中之时) 　　
D 冬至日所在(日中之时) 　　
r 极下璇玑半径 = 11,500里 　　
Rx 夏至日道半径 = 119,000里 　　
Rf 春、秋分日道半径 = 178,500里 　　
Rd 冬至日道半径 = 238,000里 　　
L 周地距极远近 = 103,000里 　　
H 天地距离 = 80,000里 　　
h 极下璇玑之高 = 60,000里
　　综上所述，《周髀算经》中盖天宇宙几何模型的正确形状结构如图1所示。这一模型既然处处与《周 髀算经》原文文意吻合，在《周髀算经》的数理结构中也完全自洽可通，为何前贤却一直将天地形状误 认为双重球冠形曲面呢? 这就必须仔细辨析“天象盖笠，地法覆盘”八个字了。

五、对“天象盖笠，地法覆盘”的明显误解

　　《周髀算经》卷下第7节有“天象盖笠，地法覆盘”一语，这八个字是双重球冠说最主要的依据，不 可不详加辨析。
　　这八个字本来只是一种文学性的比拟和描述，正如赵爽在此八字的注文中所阐述的那样∶

　　见乃谓之象，形乃谓之法。在上故准盖，在下故拟盘。象法义同，盖盘形等。互文异器，以别尊卑；仰象俯法，名号殊矣。

这里赵爽强调，盖、盘只是比拟。这样一句文学性的比喻之辞，至多也只能是表示宇宙的大致形状，其 重要性与可信程度根本无法和《周髀算经》的整个体系以及其中的数理结构----我们的讨论已经表明，“天 地为平行平面”是上述体系结构中必不可少的前提----相提并论。
　　再退一步说，即使要依据这八个字去判断《周髀算经》中盖天宇宙模型的形状，也无论如何推论不出 “双重球冠”的形状----恰恰相反，仍然只能得出“天地为平行平面”的结论。试逐字分析如次∶
　　盖，车盖、伞盖之属也。其实物形象，今天仍可从传世的古代绘画、画像砖等处看到----它们几乎无 一例外都是圆形平面的，四周有一圈下垂之物，中央有一突起 (连接曲柄之处)，正与本文图1所示天地形 状极为吻合。而球冠形的盖，至少笔者从未见到过。
　　笠，斗笠之属，今日仍可在许多地方。通常也呈圆形平面，中心有圆锥形凸起，亦与本文图1所示天 地形状吻合。而球冠形的斗笠，不知何处有之?
　　覆盘，倒扣着的盘子。盘子是古今常用的器皿，自然也只能是平底的，试问谁见过球冠形的盘子---- 那样的话它还能放得稳吗?
　　综上所述，用“天象盖笠，地法覆盘”八字去论证双重球冠之说，实在不知道是何所据而云然。而前 贤递相祖述，俱不深察，甚可怪也。究其原因，或许是因为首创此说者权威之大，后人崇敬之余，难以 想象智者之千虑一失。