实践是检验“黎曼几何”的唯一标准（二）

allenliou

实践是检验“黎曼几何”的唯一标准（二）

证明是不是懂得黎曼几何，再出一个最简单的问题。

以r圆为半径，在欧氏几何里的圆周是 2πr，面积是 πr2。

那同样的以r圆为半径，在黎曼几何里的圆周是什么？ 面积是什么？

如果能回答这问题，才有资格说懂黎曼几何，才有资格讨论黎曼几何的真伪。

如果这么简单的问题都不懂，怎能自称黎曼几何的专家，怎敢对黎曼几何评头论足。

伤我心太深

黎曼几何的世界

　　几乎从欧几里得提出第五公设(也称平行公设)以来，数学家们就感到它不像公设，是能够加以证明的．

　　公元1854年，黎曼发表了一篇关于球面(或椭球)几何的论文．文中对平行公设作了以下否定性陈述：“过不在直线上的任一点，不可能引一条直线与已知直线平行．”这相当于对平行公设(①原注：平行公设的一种陈述方法是——过不在直线上的任一点，有且只有一条直线与已知直线平行． )的否证．黎曼还决定看看如果改变欧几里得其他公设的陈述会怎么样，诸如“直线可无限延伸并产生无限长度”改为“直线没有边界，但并非无限长”．也就是说，它没有端点但却具有有限的长度．

　　在球面几何中这种性质是存在的，因为在那上面所有的“直线”都是大圆．(②原注：一个大圆是在球面上的圆周，它的中心即为球心． )研究一个球，注意它任意两个大圆永远相交于两点，这意味着没有两条直线(大圆)是平行的．在球面几何里，我们还发现一个三角形的内角和大于180°．而一个三角形的面积随着角的和的增大而增大．

　　这样的世界在哪里存在？莫非它就是我们的宇宙？如果我们宇宙的质量足够大，使得引力能让它猝然停止膨胀，并紧接着收缩变小，最终形成一个球的形状．这个球状的宇宙经历几十亿年之后，最后会缩成一个点一般大小，这个点具有无限的热量和密度．如果引力的大小不足以使宇宙紧缩，那么大概它会达到一个平衡点，此时膨胀恰好停止．