引力波是什么_引力波发现的意义

伤我心太深

引力波是什么_引力波发现的意义本文选自：卢昌海　时空的乐章——引力波百年漫谈


　　一. 几乎称不上源头的源头



　　2016 年 2 月 11 日， 美国激光干涉引力波天文台 (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory， 简称 LIGO) 宣布观测到了引力波。 这是在经过近半个世纪的不成功尝试之后， 人类首次观测到了这种曾被爱因斯坦 (Albert Einstein) 预言过的现象。 LIGO 观测到引力波的消息激起了媒体和公众的极大兴趣， 甚至一度致使 LIGO 网站因访客过多而瘫痪。 LIGO 观测到的引力波来自一对黑洞的合并， 这对黑洞的质量均数十倍于太阳质量， 其中数倍于太阳质量的巨大部分在合并过程中转变成了能量， 以引力波的形式释放了出来。 这种引力波的最大功率——即单位时间内释放出的能量的最大值——甚至超过了可观测宇宙中所有星星辐射功率的总和， 实在是惊心动魄到了极致， 而它被 LIGO 探测到的扰动幅度却比原子核线度还小很多个数量级， 又实在是细微到了难以想象。

　　这种壮丽而又精微的现象背后有一连串引人入胜的问题， 比如： 引力波究竟是什么? 什么样的物理过程会发射引力波? LIGO 之前的引力波观测为什么不成功? LIGO 又为什么成功? 我们如何从 LIGO 探测到的比原子核线度还小很多个数量级的扰动中推知出一对黑洞的合并， 甚至还推算出黑洞的质量及合并过程中释放的能量?…… 最后但并非最不重要的则是： 观测引力波的意义何在? 这一领域的前景何在? 在本系列中， 我们将沿着长长的历史足迹， 用文字和数学两种语言， 从理论和观测两个方面， 来讲述引力波的故事， 并对上述问题——以及许许多多其他问题——进行探究。

　　往历史足迹中看， 引力波的基础是引力理论， 引力理论的源头则在一个几乎称不上源头的地方。


　　亚里斯多德 (384BC – 322BC)


　　让我们就从那个几乎称不上源头的源头开始讲述引力波的故事吧。


　　形容一个孩子出生， 乃至形容一个新生事物的诞生， 有一个很俗套的词语， 叫做 “呱呱坠地”。 我们撇开 “呱呱” 不论， 且说说 “坠地”： 重物会 “坠地” 是人类最原始的经验之一， 它的幕后推手则是引力。 因此从某种意义上讲， 引力理论的诞生是真正的 “呱呱坠地”——不只是形容， 而真正是源自对重物 “坠地” 的观察。

　　在这种观察中， 最著名、 影响最大的论述出自公元前 4 世纪的古希腊哲学家亚里斯多德 (Aristotle)。 在他的《论天》(On the Heavens) 一书中， 亚里斯多德对物体的运动进行了详细分析， 其中针对单一质地的重物的下落运动 (即 “坠地”)， 他给出了这样的论述：


　　金、 铅， 或任何其他有重物体的下落运动的快慢正比于它的大小。


　　这一论述中下落运动的 “快慢” 指的是——或者说接近于——后世所说的速度还是加速度? 亚里斯多德未作直接说明， 不过从他的其他论述中可推测出那是指速度[注一]。 类似地， 这一论述中重物的 “大小” 指的是后世所说的体积、 质量还是重量? 他也未明说， 不过由于对单一质地的重物来说， 这几者是互成正比的， 故无需区分。 借助这些词义上的澄清， 我们可用现代符号将亚里斯多德的重物下落规律表示为：


　　v ∝ m(1.1)


　　其中 v 是重物的下落速度， m 是重物的质量。


　　以时间之早、 知名度之高及影响力之大综合而论， 亚里斯多德的重物下落规律称得上是引力理论的源头。 当然， 这一源头与现代引力理论之间横亘了 2,300 多年的岁月， 两者无论从明晰性还是正确性上讲， 都是差得很远的。 事实上， 尽管澄清了词义， 亚里斯多德的重物下落规律依然问题多多。 比如一般的重物下落哪怕在近似意义上也不是匀速的， 却被当成了匀速， 这些就不站在后世的高度上细究了[注二]。

　　但有一点仍值得说明， 那就是我们虽将亚里斯多德的重物下落规律视为引力理论的源头， 但在亚里斯多德时代是不存在 “引力” 一词所包含的 “万有引力” (universal gravity) 概念的。 不仅如此， 亚里斯多德的重物下落规律甚至连地球引力场这一特例下的引力效应都算不上， 因为对亚里斯多德来说， 重物之所以下落， 乃是因为它们有趋向 “宇宙中心” 的天然运动， 跟地球无关。 在《论天》一书中， 亚里斯多德这样写道：

　　若将地球移到如今月球的位置上， 地球上的东西将不再落向它， 而是会落向它目前的位置。

　　这句话清楚地显示出， 亚里斯多德心目中的重物下落并不是落向地球， 而是落向碰巧被地球占据着的当时所谓的 “宇宙中心”， 若将地球移走， 重物是不会被地球吸引走的。 从这个意义上讲， 亚里斯多德的重物下落规律以现象而论虽是对引力效应的一种描述， 就本意而言， 却跟后世所说的引力理论有着显著区别， 因此我们称这一源头为 “几乎称不上源头的源头”。

　　虽然用后世的标准来衡量， 亚里斯多德的重物下落规律无论从明晰性还是正确性上讲都问题多多， 但在 2,300 多年前， 这样的论述较之普通人的日常观察， 乃至普通哲学家的定性论述仍有一个突出的优点， 那就是涉及了数量关系——这也是我们之所以将它视为引力理论的源头。 在人类探索自然的历史上， 从定性的观察和论述过渡到数量关系是一种重大进展， 因为数量关系的出现不仅意味着定量表述的开始， 而且也开启了定量检验的大门[注三]。


　　不过亚里斯多德本人并没有迈进那扇大门， 因为他注重的乃是自然现象， 对在后世科学中扮演重要作用的实验却颇为轻视， 视之为人为现象。
　　由于只注重自然现象， 亚里斯多德的重物下落规律虽涉及了定量表述， 实际上却连定性观察的基础都很薄弱， 而基本是纯粹思辨的结果。 这也并不奇怪， 因为自然现象——尤其是像重物下落那样偶然发生的自然现象——是不受观察者控制， 从而往往出现在观察者未作准备的情形下， 并且往往是转瞬即逝的， 观察者只能作粗略而片面的观察。 粗略而片面的观察， 加上闭门造车式的纯粹思辨， 用这种重思辨轻实证的手段得出既不明晰也不正确的结论是不足为奇的[注四]。


　　遗憾的是， 在实证意识薄弱的早期科学中， 从权威的影响中走出来是不容易的， 因此历史用了很长的时间才完全摆脱亚里斯多德的重物下落规律。
　　当然， 在完全摆脱之前， 零星的异议也是有的。 比如公元前 1 世纪的罗马诗人兼哲学家卢克莱修 (Titus Lucretius Carus) 在著名长诗《物性论》 (On the Nature of Things) 中就曾写道[注五]：


　　物体在水和稀薄空气中下落时， 它们的下落速度必然正比于重量， 因为水和空气不能以同样的程度阻碍它们， 而是更容易在重物面前退让; 另一方面， 真空在任何时候、 任何方向上都不能对任何物体构成阻碍， 而是按其本性持续退让， 由于这个缘故， 任何物体哪怕重量不同， 在真空中都必然以相同的速度下落。


　　严格讲， 卢克莱修这段文字算不上是对亚里斯多德重物下落理论的直接异议， 而只不过是在认可后者的同时， 在后者所考虑的情形之外提出了真空中物体的下落速度与质量无关的附加观点。 而且就连这附加观点也并非卢克莱修的独创。 事实上， 亚里斯多德自己在《物理学》 (Physics) 一书中就曾提出过同样的观点， 只不过他以这一观点跟自己的重物下落规律相矛盾为由， 得出了真空不能存在的结论， 而不像卢克莱修那样给予了认同。


　　用现代符号来表示， 被亚里斯多德提出过， 又被卢克莱修所认同的这一真空中的重物下落规律可以写成：


　　v = 常数(1.2)

　　不过这一规律虽在一定程度上往后世的重物下落理论又靠近了一步——因为具备了重物的下落规律与质量无关的重要特征， 却跟亚里斯多德的重物下落理论一样是纯思辨的， 而且同样是针对速度而非加速度的。

　　随着时间的推移， 开始有人从经验乃至实验的角度对亚里斯多德的重物下落理论提出了直接并且更细致的异议。 比如公元 6 世纪的神学家兼学者菲罗波努斯 (Joannes Philoponus) 在注释亚里斯多德著作时曾经指出：

　　如果你让一个比另一个重好多倍的两个重物从同样的高度落下， 你会看到运动所需的时间并不依赖于重量之比， 而是相差很小。



　　伽利略 (1564 – 1642)


　　菲罗波努斯的这一异议跟晚了 1,000 多年的伽利略 (Galileo Galilei) 对亚里斯多德重物下落理论的质疑是相当接近的， 后者在 1638 年出版的名著《关于两门新科学的对话》 (Dialogues Concerning the Two New Sciences) 中对亚里斯多德是否用实验检验过自己的重物下落规律表示了 “高度怀疑”， 并且以代表伽利略本人的萨耳维亚蒂 (Salviati) 与代表亚里斯多德学说诠释者的辛普里修 (Simplicio) 对话的形式写道[注六]：


　　亚里斯多德说 “一个从一百肘尺高处下落的一百磅铁球在一个一磅铁球下落一肘尺之前就能落地”。 我说他们将同时落地。 你通过实验发现大的比小的领先两个手指的宽度， 也就是说， 当大的落地时， 小的离它只有两个手指的宽度。 我想你该不会将亚里斯多德的九十九肘尺藏在这两个手指的背后， 或只提我的小误差而对他的大错误默不作声吧。


　　单纯从对上述结论的陈述上讲， 伽利略的质疑跟菲罗波努斯的异议并无太大分别， 都是既指出了亚里斯多德的错误， 也承认了不同的重物往往不会严格地同时落地 (因为有空气阻力的影响)， 从而有基本相同的周详性。 但伽利略的质疑比菲罗波努斯的异议著名得多， 因为伽利略作为现代实验科学的奠基人， 在结论之外所做的 “功课” 要充分得多， 对重物下落的研究也远比前人的系统和深入得多， 不仅指出了亚里斯多德的错误， 而且确立了重物下落的正确规律。


　　与亚里斯多德所推崇的自然现象相比， 实验由于是在观察者有准备乃至精心设计的条件下进行的， 不仅可以得到精密得多的观测结果， 而且还能远远超出自然现象的涵盖范围。 比如在伽利略的时代， 研究重物下落规律的一个很大的困难是地球的表面重力加速度太大， 重物很快就获得了太大的速度， 加上当时的计时手段很不精密， 使人们难以对下落方式进行精密测定。 而伽利略通过诸如斜面上的滚球那样的实验 “稀释” 了重力， 从而确立了重物下落的正确规律为匀加速运动——当然， 假设空气阻力可以忽略。 用现代符号来表示， 伽利略所发现的重物下落规律为 (其中 a 为加速度)：


　　a = 常数(1.3)


　　伽利略的发现不仅再次确立了重物的下落规律与质量无关的重要特征， 而且将其中的核心物理量由速度改为了加速度。 自那之后， 由于实验科学的崛起， 证据以无法遏制的步伐趋向雄辩， 亚里斯多德的重物下落规律很快就被完全摆脱了。 为了纪念伽利略的巨大功绩， 1971 年， 美国登月飞船 “阿波罗 15 号” (Apollo 15) 的宇航员斯科特 (David R. Scott) 在月球表面无空气阻力的环境下， 向地球上的亿万电视观众演示了一个铁锤和一片羽毛以相同方式落向月面的情形， 为伽利略的重物下落规律作了极富戏剧性的展示。


　　不过伽利略对重物下落规律的研究也有一个显著的局限， 那就是只涵盖了运动学——即重物是如何下落的， 而未涉及动力学——即重物为什么会下落， 因为伽利略同样没有万有引力的概念。 不过伽利略的研究虽只涵盖了运动学， 他将核心物理量由速度改为加速度， 却为动力学研究乃至万有引力的发现埋下了伏笔。


　　万有引力的发现还得再等一个人。


　　一个 “万有” 的东西照说该是很容易被发现的， 为何 “万有” 引力却屡屡躲过人们的视线呢? 这是因为引力在普通物体之间十分微弱， 从而使经验范围内的引力效应分成了重物下落和天体运动这两个貌似毫无关联的领域。 从这两个领域中洞察出相似性需要第一流的智慧， 而证明这种相似性则需要第一流的数学。


　　在伽利略去世的那一年——1642 年——一位兼具这种智慧和数学的科学巨匠诞生了， 他的名字叫做牛顿 (Isaac Newton)。


　　注释


　　亚里斯多德的很多著作是由授课或听课笔记拼合而成的， 有些甚至是在他去世多年之后才成文的 (因此严格讲， 所谓亚里斯多德的观点其实有一部分乃是署名为亚里斯多德的观点)， 故结构相当松散， 重复累赘、 主题分拆之处比比皆是， 常需相互比照着理解或诠释。 另外要说明的是， 不能将亚里斯多德未对 “快慢” 的含义作直接说明视为他的疏漏， 因为我们这里所做的乃是用后世的概念去套他的论述， 以便于现代读者理解， 在亚里斯多德自己的时代是不存在这些概念的， 从而未作直接说明是很正常的。 对后文的其他类似分析亦当作如是理解。


　　若一定要细究的话， 则亚里斯多德的重物下落规律在一种特定情形下是近似成立的， 那就是将规律中的速度理解为重物在特定流体中下落时的终端速度 (terminal velocity)——也就是重力与流体阻力平衡时的速度。 但即便作这样的理解， 仍需进一步要求重物的下落运动是所谓的低雷诺数 (low Reynolds number) 运动， 因为这时流体的阻力正比于重物的下落速度， 而重力正比于重物的质量， 故两者的平衡意味着终端速度正比于质量。 不过低雷诺数这一条件这对普通物体在空气里从普通高度的下落往往是不成立的。

　　当然， 亚里斯多德的重物下落规律并非那个时代对自然现象的唯一定量表述， 古代的天文观测也具有令人瞩目的定量性， 不过对于日常现象， 定量表述在当时还是不多见的。

　　重思辨轻实证并非亚里斯多德的个人特色， 事实上， 思辨直到 17 世纪的法国哲学家笛卡尔 (René Descartes) 乃至某些更晚近的哲学家那里， 仍被视为是知识的可靠来源。

　　《物性论》是用所谓 “抑扬六步格” (dactylic hexameter) 的韵律撰写的， 翻译版本众多， 有诗歌型的， 也有非诗歌型的， 这里是从非诗歌型的英文版转译的， 只译含义， 不管韵律。

　　肘尺 (cubit) 是一种粗糙的古代长度单位， 定义为人的前臂长度。 一般认为， 古希腊的肘尺约相当于 0.46 米。


　　时空的乐章——引力波百年漫谈
　　二. 从牛顿引力到爱因斯坦时空


　　1687 年， 牛顿出版了一部名为《自然哲学的数学原理》 (Mathematical Principles of Natural Philosophy) 的著作， 建立了以牛顿三大运动定律 (Newton's Three Laws of Motion) 为基础的动力学体系。 在这一动力学体系中， 与具体计算关系最为密切的 “第二运动定律” 可用现代符号表示为：


　　F = ma(2.1)



　　其中 m 是物体的质量， F 是作用在物体上的力， a 是物体的加速度[注一]。 这一定律引进了作为 (变速) 运动原因的力的概念， 并将之与运动的加速度定量地联系了起来。

　　与引进力的概念相匹配地， 《自然哲学的数学原理》一书的另一项重大成就是具体给出了一种力——而且是有着基础意义的力——的规律， 这种力就是万有引力， 这一规律被称为牛顿万有引力定律 (Newton's law of universal gravitation)。 牛顿万有引力定律给出了两个间距为 r， 质量分别为 M 和 m 的物体之间的引力 F， 其具体形式为[注二]：


　　F = GMm/r2(2.2)


　　出现在这一公式中的 G 是一个普适常数， 称为牛顿万有引力常数 (Newton's universal gravitational constant)。 当然， 这是以现代符号加以表述的结果， 牛顿的《自然哲学的数学原理》一书虽总体上是相当数学化的 (不过所用的数学工具偏于古典几何而非牛顿自创的微积分)， 对定律的表述却是文字化的， 因而并未直接提供如 (2.2) 式那样的数学形式。


　　由上述牛顿第二运动定律 (2.1) 式和万有引力定律 (2.2) 式可以很容易地推出伽利略所发现的重物下落规律 (1.3) 式， 因为 (2.2) 式表明物体所受的引力正比于它的质量， 而 (2.1) 式告诉我们物体在给定外力的作用下运动时， 加速度反比于它的质量。 力正比于质量， 加速度反比于质量， 质量因此而被消去， 从而物体在引力作用下的加速度与它的质量——以及其他性质——无关。 具体地说， 在没有其他外力的情形下 (除非有特殊需要， 这一条件在下文中将不再提及， 但始终假定为成立)， 任何物体在与之相距 r， 质量为 M 的物体的引力作用下运动的加速度为：


　　a = GM/r2(2.3)


　　很明显， (2.3) 式右侧给出的正是 (1.3) 式中的常数， 在后世的术语中， 也被称为质量为 M 的物体在与之相距 r 处产生的引力场——或者更确切地说是引力场的场强[注三]。 利用牛顿的万有引力概念及后世引进的引力场这一术语， 伽利略发现的重物下落规律可以重新表述为： 物体在引力场中的加速度由物体所在之处引力场的场强所决定， 而与它的质量——以及其他性质——无关。 这样， 牛顿万有引力定律就不仅涵盖了伽利略所得到的有关重物如何下落的运动学结论， 而且从动力学上解释了重物为什么会下落， 完成了伽利略未能涉及的部分。


　　牛顿 (1642 – 1727)


　　关于牛顿万有引力定律， 还有一点值得说明的是： 后世的物理学家喜欢把表示万有引力定律的 (2.2) 式中的质量称为 “引力质量” (gravitational mass)， 以区别于表示牛顿第二运动定律的 (2.1) 式中的 “惯性质量” (inertial mass)。 更有甚者， “引力质量” 还被进一步区分为产生引力的所谓 “主动引力质量” (active gravitational mass) 和感受引力的所谓 “被动引力质量” (passive gravitational mass)。 这些质量的彼此相等则被视为额外的原理。 这种后世物理学家出于表述其他观念的便利而引进的繁琐性在牛顿的原始表述中是不存在的。 关于引力与质量的关系， 牛顿的原始表述是：


　　引力普遍存在于所有物体之间， 正比于每个物体的物质的量。


　　而所谓 “物质的量” (quantity of matter) 则正是《自然哲学的数学原理》开篇第一个定义所给出的、 被后世称为 “惯性质量” 的质量， 也是牛顿引进的唯一质量概念。


　　牛顿万有引力定律是真正的引力理论， 而且可以说是物理史上第一个称得上辉煌的理论。 天体的运行、 大海的潮汐都近乎完美地遵循着牛顿万有引力定律， 借助这一定律的威力， 天文学家们甚至像大侦探一样， 依据已知天体的运动推断出了太阳系第八大行星——海王星——的存在乃至位置， 谱写了物理史上最令人印象深刻的篇章之一[注四]。


　　但科学并没有在辉煌中沉醉。 牛顿万有引力定律虽然辉煌， 它的一个特点却在另一位科学巨匠眼里成了问题， 那位科学巨匠的名字叫做爱因斯坦。


　　1905 年， 爱因斯坦提出了著名的狭义相对论 (special relativity)。 狭义相对论一问世， 牛顿万有引力定律就成了一个老大难问题。 这是因为牛顿万有引力定律有一个特点， 那就是不含时间， 从而意味着引力的传播是瞬时的。 不幸的是， 狭义相对论却有一个速度上限： 光速 (speed of light)。 瞬时传播的引力跟有速度上限的狭义相对论显然是相互冲突的， 用爱因斯坦本人的话说： “以自然的方式将引力理论与狭义相对论联系起来很快就被发现是不可能的了”[注五]。




　　爱因斯坦 (1879 – 1955)



　　这个牛顿万有引力定律与狭义相对论相互冲突的问题深深吸引了爱因斯坦的注意力。 1907 年， 他应德国《放射性与电子学年鉴》 (Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik) 期刊编辑斯塔克 (Johannes Stark) 的约稿撰写一篇题为 “关于相对性原理和由此得出的结论” (On the Relativity Principle and the Consequences Drawn From It) 的综述。 在那期间， 他忽然在思考这一问题上取得了后来被他称为 “一生中最快乐的思想” 的概念突破。


　　这一突破究竟是什么， 又是如何产生的呢? 1922 年 12 月 14 日， 爱因斯坦在日本京都大学的一次题为 “我是如何创立相对论的” (How I Created the Theory of Relativity) 的演讲中作了回顾：


　　我坐在伯尔尼专利局的办公室椅上， 一个想法突然闪了出来： 如果一个人自由下落， 他将感受不到自己的重量。 我吃了一惊。 这个简单的思想实验给我留下了深刻印象， 将我引向了引力理论。 我继续自己的思考： 一个下落的人是加速着的， 因此他的感受和判断是在加速参照系中发生的。 我决定将相对论推广到加速参照系。 我觉得这样做将能同时解决引力问题。


　　沿着这一思想实验的启示， 爱因斯坦提出了著名的等效原理 (equivalence principle)， 即引力场中任何一个时空点附近都存在所谓的局域惯性参照系 (locally inertial reference frame)， 其中的物理规律与不存在引力场时的惯性参照系里的物理规律相同[注六]。 依据这条原理， 爱因斯坦思想实验中自由下落的人之所以感受不到自己的重量， 是因为他的自由下落使他处于了局域惯性参照系中， 从而引力场仿佛不存在了。


　　等效原理是一条新原理， 但它的根基是古老的， 深植于被伽利略等人注意到， 并经牛顿万有引力定律所确认的 “物体在引力场中的加速度由物体所在之处引力场的场强所决定， 而与它的质量——以及其他性质——无关” 这一规律上。 因为否则的话， 假如组成人体的各种物质在引力场中的加速度因任何性质的差异而各不相同， 则哪怕自由下落也无法 “感受不到自己的重量”， 更遑论其他物理规律与惯性参照系里的物理规律相同了。


　　等效原理为构建新的引力理论提供了思路， 因为局域惯性参照系里的物理规律既然与不存在引力场时的惯性参照系里的物理规律相同， 那就可以由狭义相对论来描述。 那么引力场中的物理规律是什么呢? 答案就在爱因斯坦那 “一生中最快乐的思想” 里， 也就是 “将相对论推广到加速参照系”。


　　具体地说， 狭义相对论有一条所谓的 “相对性原理” (principle of relativity)， 它要求物理规律在所有惯性参照系中都具有相同形式， 而 “将相对论推广到加速参照系” 则要求物理规律哪怕在非惯性参照系——也就是任意参照系——中也具有相同形式， 这被称为广义相对性原理 (generalized principle of relativity)， 其数学表述被称为广义协变原理 (principle of general covariance)。 在此基础上最终构建出来的引力理论则被称为广义相对论 (general relativity)。


　　依据等效原理， 引力场 “有” 和 “无” 的区别——局域地讲——只是参照系的区别， 从而可以通过从局域惯性参照系到一般参照系的坐标变换来体现， 具体的体现方式则由广义协变原理所确定。 这听起来有些抽象， 做起来其实并不复杂， 因为在狭义相对论之后， 基础物理定律已大都表述为了具有洛仑兹协变性 (Lorentz covariance) 的张量方程， 这种方程距离广义协变原理的要求只有一步之遥， 我们要做的只是将局域惯性参照系中洛仑兹协变的张量方程改写为在任意坐标变换下都成立的所谓广义协变的张量方程即可。 这虽偶尔会出现需通过物理分析加以排除的歧义， 一般而言在数学上是轻而易举的， 往往只需依照所谓的 “最小替换法则” (minimal substitution rule)， 将狭义相对论中的闵科夫斯基度规 (Minkowski metric) ημν 换成一般度规 gμν， 将普通导数 ∂μ 换成协变导数 ∇μ 即可。 从这个意义上讲， 广义协变原理对物理规律基本不构成约束 (但作为数学要求则是很强的)。 一旦物理规律被表述为广义协变形式， 引力场的影响——即引力效应——也就被涵盖在内了。


　　不过这一切对于构建广义相对论来说都是外围的东西， 因为漏掉了一个最重要的因素， 那就是引力场本身的规律。 其他物理规律都可以通过将局域惯性参照系中的——也就是狭义相对论中的——物理规律改写为广义协变形式而得到， 唯独引力场本身的规律不行， 因为引力在局域惯性参照系中是不存在的。


　　那么引力场本身的规律该如何得到呢? 刚才提到的 “最小替换法则” 其实已给出了一个重要提示。 因为 “最小替换法则” 意味着引力效应全都体现在了闵科夫斯基度规与一般度规、 普通导数与协变导数的区别上。 而从数学上讲， 这种区别归根到底就在于度规 (因为普通导数与协变导数的区别实质上亦是度规之别)。 既然引力效应归根到底就体现在度规上， 我们可以猜测， 描述引力场的规律可以用度规 gμν 本身所满足的某个张量方程来描述。


　　爱因斯坦的研究确认了这一点， 这也是他在创立广义相对论过程中付出的最艰辛的努力。


　　为了看出究竟什么样的张量方程可以描述引力场， 我们考察一下在没有其他外力的情形下物体在引力场中运动。 依据等效原理， 在局域惯性系中， 该运动是匀速直线运动， 运动方程为：


　　dxμ/d2τ = 0(2.4)


　　其中 τ 是所谓的仿射参数 (affine parameter)， 对有质量物体来说通常选为固有时 (proper time)。 依据广义协变原理， 引力场中的物体运动方程乃是上述方程的广义协变形式， 也就是众所周知的测地线 (geodesic line) 方程[注七]：


　　dxμ/d2τ + Γμνλ (dxν/dτ) (dxλ/dτ)= 0(2.5)


　　其中的 Γμνλ “马甲” 众多， 名称相当混乱， 有时称为克里斯托费尔联络 (Christoffel connection)， 有时称为列维-奇维塔联络 (Levi-Civita connection)， 有时称为黎曼联络 (Riemannian connection)， 有时甚至笼统而不严格地称为联络。 我们姑取其中最著名的人物， 称其为黎曼联络， 它是由度规的导数构成的。 不难证明， 在物体运动速度远小于光速的情形下， 上式的空间部分可近似为：


　　dxi/d2t = —Γi00(2.6)


　　由于 dxi/d2t 就是物体的加速度， 因此将 (2.6) 式与 (2.3) 式相比较， 并注意到 (2.3) 的右侧乃是引力场的场强， 我们便可得到一个粗略但富有启发性的对应， 那就是黎曼联络对应于引力场的场强[注八]。 如果进一步考虑到引力场的场强是引力势的导数， 而黎曼联络则是由度规的导数构成的， 我们还可以得到另一个粗略但富有启发性的对应， 那就是引力势对应于度规。
　　有了这些启发性的对应， 描述引力场的方程就呼之欲出了， 因为建立在牛顿万有引力定律基础上的引力场方程是所谓的泊松方程 (Poisson's equation)：


　　Δφ = 4πρ(2.7)


　　这里我们略去了牛顿万有引力常数 G。 在本系列中， 这一常数及光速 c 通常将被略去 (相当于采用 c=G=1 的单位制)， 只在有特殊需要——比如计算数值——时才会予以恢复 (恢复的方法是量纲分析)。 由于泊松方程 (2.7) 式是关于引力势的二阶线性微分方程， 而我们刚才已经注意到了引力势对应于度规， 因此它启示我们寻找一个关于度规的二阶微分方程， 并且关于二阶导数是线性的。 当然， 它还必须是张量方程， 以便满足广义协变原理。 另一方面， 泊松方程的右侧是作为引力源的物质的质量密度， 这启示我们引进在狭义相对论中已被普遍采用的描述物质分布的能量动量张量 Tμν 作为引力场方程的右侧， 在非相对论近似下， 它的一个分量正是质量密度。


　　将这些启示综合起来， 引力场方程的形式可确定为右侧是能量动量张量 Tμν， 左侧是一个关于度规 gμν及其导数的二阶张量 (因右侧的能量动量张量是二阶张量， 左侧也必须是二阶张量)。 不仅如此， 左侧的二阶张量还必须只包含度规的不超过二阶的导数， 并且关于二阶导数是线性的。 初看起来， 这样的条件相当宽泛， 但源自广义协变原理的广义协变性极大地限制了方程的形式。 事实上， 在数学上可以证明， 满足上述条件的引力场方程左侧的二阶张量必定具有 αRμν + βgμνR + γgμν 的形式。 这里 Rμν 是所谓的里奇曲率张量 (Ricci curvature tensor)， R 是 Rμν 的缩并， 称为曲率标量 (curvature scalar)， α、 β 和 γ 则皆为常数。 更令人满意的是， 引力场方程右侧的能量动量张量 Tμν 还必须满足广义协变形式的能量动量守恒定律 ∇μTμν = 0， 这对方程左侧作出了进一步限制， 要求 β = —½α。 将这些结果综合在一起， 并辅以弱场近似下引力场方程等同于泊松方程这一额外要求 (这一要求可用来确定左右两侧的比例系数)， 可将引力场方程——也就是广义相对论的基本方程——最终确定为：


　　Rμν — ½gμνR — Λgμν = 8πTμν(2.8)


　　这其中左侧的最后一项——即 Λgμν 项——被称为宇宙学项 (cosmological term)， 其中的常数 Λ 被称为宇宙学常数 (cosmological constant)。 宇宙学项从单纯理论推导的角度讲处于一个灰色地带， 因为严格贯彻 “弱场近似下引力场方程等同于泊松方程” 这一要求其实是可以排除这一项的， 但只要宇宙学常数 Λ 足够小， 这一项的存在既不破坏广义协变性， 也不会与经验意义上的泊松方程相矛盾， 因此是可以允许的。 在历史上， 宇宙学项的命运颇有戏剧性， 爱因斯坦最初创立广义相对论时是不包含宇宙学项的， 后来出于寻找一个静态宇宙模型的需要， 他引进了宇宙学项。 等到静态宇宙模型被观测否定之后， 宇宙学项也一度失了宠。 但到了 20 世纪末， 精密的宇宙学观测重新确立了宇宙学项的必要性， 使后者 “王者归来”[注九]。


　　宇宙学项对于宇宙的长远未来有着极重要的影响， 但对于本系列所涉及的话题却关系不大， 因此除非有特殊需要， 我们将予以略去。 略去了宇宙学项的引力场方程为：


　　Rμν — ½gμνR = 8πTμν(2.9)


　　这就是本系列将要采用的基本方程， 也称为爱因斯坦场方程 (当然， 包含宇宙学项的场方程也同样称为爱因斯坦场方程)， 是爱因斯坦 1915 年得到的[注十]。 由于整个推导是从局域惯性参照系中满足狭义相对论的物理规律开始延展的， 因此广义相对论确如爱因斯坦所预期的， 自动解决了将他引导到引力理论上来的牛顿万有引力定律与狭义相对论不相容的问题。 当然， 上面的叙述是高度浓缩和简化了的广义相对论发展史， 且偏于概念发展的逻辑线索而并不严格对应于爱因斯坦的努力。 从单纯历史的角度讲， 广义相对论的发现其实还有很多额外的曲折性， 这里就不赘述了[注十一]。


　　爱因斯坦场方程远比电磁场方程复杂， 因为它是非线性的。 不过这是意料中的结果， 因为跟电磁场本身不带电荷不同， 引力场本身就带有能量动量， 从而本身就能产生引力场[注十二]。 此外， 爱因斯坦场方程还有一个鲜明特点， 那就是右侧有赖于物质， 而左侧只跟时空有关——因为左侧的所有项都是由度规及其导数构成的。 不仅如此， 左侧的里奇张量乃是时空曲率张量 (curvature tensor) 的缩并， 在一定程度上描述了时空的弯曲。 这种漂亮的几何意义， 外加前面提到过的引力效应——具体地说是引力对物质运动的影响——体现在度规上这一结论， 使美国物理学家惠勒 (John Archibald Wheeler) 用了一句很精炼的话来概述广义相对论的特点， 那就是 “时空告诉物质如何运动， 物质告诉时空如何弯曲”。


　　在爱因斯坦的这种全新的引力理论中， 传统的牛顿引力消失了， 取而代之的是弯曲的时空， 为了纪念爱因斯坦的巨大贡献， 我们称这种时空为爱因斯坦时空。 在爱因斯坦时空中， 纯粹牛顿引力作用下的曲线运动成了爱因斯坦时空中的 “直线” (即测地线) 运动[注十三]。


　　从亚里斯多德算起， 经过了 2,200 多年; 从伽利略和牛顿算起， 经过了 200 多年， 我们终于迎来了广义相对论与爱因斯坦时空。 从牛顿引力到爱因斯坦时空是科学史上最激动人心的进
展之一。 如今距离那一进展又 100 多年过去了， 在这种全新的引力理论和全新的时空中， 很多新兴研究领域已经发展壮大， 引力波就是那样一个领域。


　　注释


　　确切地说， 为便于跟前文衔接， (2.1) 式采用的是质量不变情形下的牛顿第二运动定律。 牛顿给出的原始形式用现代符号表示为 F = d(mv)/dt， 即力等于动量的变化率， 适用面比 (2.1) 式更广。


　　这里要说明的是： 牛顿对万有引力的研究比《自然哲学的数学原理》一书的出版早了约 20 年就开始了， 其间有过错误和不完善。 与牛顿同时代的学者中有数人也猜到了引力的平方反比规律， 而且从历史的角度讲， 他们与牛顿之间并不愉快的互动对牛顿的研究不无助益。 不过万有引力定律的确立涉及到几个很重要的层面， 比如为了证明万有引力定律可以解释天体运动， 需在开普勒定律与万有引力定律之间进行相互推导 (其中用到了牛顿运动定律); 又比如万有引力定律的原始适用条件是大小相对于间距可以忽略的物体， 这对天体基本成立， 对地球上的重物下落却并不成立 (因为地球本身显然不满足这一条件)， 需额外证明球对称物质分布产生的引力相当于物质全部集中在球心; 而在更一般的物质分布下还需用到微积分手段。 当时能从数学上胜任所有这些的只有牛顿， 因此将万有引力定律的发现归功于牛顿并冠以他的名字是毫不过分的。 另外要补充的是： (2.2) 式给出的只是万有引力的大小， 其方向则由引力的吸引特性所确定， 即每个物体所受来自另一个物体的引力总是指向另一个物体。


　　当然， 无论加速度还是引力场的场强都是有方向的， (2.3) 式给出的只是大小， 其方向则跟引力的方向一样， 指向质量为 M 的物体 (在更一般的物质分布下则大小和方向都要用微积分手段来计算)。 另外要说明的是： 将这些结果具体应用到地球引力场中的重物下落， 除了用到前一注释提到的 “球对称物质分布产生的引力相当于物质全部集中在球心” 这一结果外， 还隐含了物体的大小及下落的高度相对于物体与地心的距离可以忽略这一近似度很高的额外假设。


　　对这一发现感兴趣的读者可参阅拙作《那颗星星不在星图上： 寻找太阳系的疆界》 (清华大学出版社 2013 年 12 月出版)。


　　值得注意的是， 牛顿本人对自己的万有引力定律也不无疑虑， 因为这一定律所描述的是跨越真空而起作用的所谓 “超距作用” (action at a distance)， 在牛顿看来是荒谬的。 虽然牛顿的着眼点是万有引力的 “超距作用” 而非瞬时传播特点， 但这两者是相辅相成的， 并且消解的方法也是共同的， 因此牛顿的疑虑具有令人钦佩的前瞻性。


　　某些广义相对论著作对等效原理进行了细分， 在那样的细分下， 这里所介绍的等效原理被称为 “强等效原理” (strong equivalence principle)。 另外要提醒读者的是， 等效原理其实允许一些微妙的、 并不妨碍广义相对论的例外， 对这一点感兴趣的读者可参阅拙作 从等效原理到爱因斯坦-嘉当理论， 收录于《因为星星在那里： 科学殿堂的砖与瓦》一书 (清华大学出版社 2015 年 6 月出版)。


　　有读者也许会问： 测地线方程可以用前面提到的 “最小替换法则” 得到吗? 答案是肯定的。 事实上， 局域惯性参照系中的运动方程 (2.4) 式可以表示为 uρ∂ρuμ = 0 (其中 uμ 是四维速度)， 运用 “最小替换法则” 可将之改写为 uρ∇ρuμ = 0， 其分量形式正是 (2.5) 式。


　　顺便说一下， 由此可以得到等效原理的一种数学表述， 那就是： 在引力场中任何一个时空点附近都存在特殊的坐标系 (即局域惯性参照系)， 其中的度规为闵科夫斯基度规， 而黎曼联络为零 (即引力场为零)。



　　对宇宙学项的历史感兴趣的读者可参阅拙作 宇宙学常数、 超对称及膜宇宙论。


　　确切地说， 爱因斯坦得到的场方程是 Rμν = —8π(Tμν — ½gμνT)， 其中 T 是 Tμν 的缩并， 不过它与我们采用的形式只有约定等方面的差别， 实质上是等价的。
　　对广义相对论的发展历史感兴趣的读者可参阅拙作 希尔伯特与广义相对论场方程， 收录于《小楼与大师： 科学殿堂的人和事》一书 (清华大学出版社 2014 年 6 月出版)。
　　不过， 引力场本身的能量动量是广义相对论研究中一个很困难的课题， 对这一课题感兴趣的读者可参阅拙作《从奇点到虫洞： 广义相对论专题选讲》 (清华大学出版社 2013 年 12 月出版)。


　　引力理论跟时空结构的这种交融在等效原理中其实已可窥见端倪， 因为等效原理表明引力场中任何一个时空点附近都存在局域惯性参照系， 而局域惯性参照系中的物理规律由狭义相对论所描述， 其中的度规是闵科夫斯基度规， 这跟微分几何中每点的邻域内存在局域笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system) 是完全相似的。 两者在数学结构上的相似和交融也就不足为奇了。



　　时空的乐章——引力波百年漫谈 (三)



　　三. 算不上先驱的先驱


　　在广义相对论之前的物理学中， 时空宛如一个舞台， 物理过程像戏剧一样千变万化， 舞台却是不变的。 广义相对论首次将时空变成了戏剧的一部分， 变成了一个动力学概念， 时空不再是不变的了。 另一方面， 在物理学上， 几乎所有可变的东西都可以有波动式的变化， 时空既然不再是不变的， 就也没理由例外， 从这个意义上讲， 引力波在概念层面上的存在几乎是水到渠成， 甚至显而易见了。


　　在更具体的层面上， 引力波的存在还可以这样来理解， 那就是广义相对论既然解决了牛顿万有引力定律与狭义相对论相互冲突的问题， 那么引力自然不会再像牛顿万有引力定律所隐含的那样瞬时传播了。 而引力既然不再瞬时传播， 就意味着引力源的运动对远处的影响只能逐渐传播开去， 这 “逐渐传播” 的典型形式无疑就是波动。 这种相互作用的非瞬时传播与波动之间的密切关联物理学家们并不陌生， 因为电磁波就是这样一种波动， 一种与电磁相互作用的非瞬时传播有着密切关联的波动。


　　不过， 引力的非瞬时传播虽然是由广义相对论所确立的， 相互作用非瞬时传播的概念却并非始于广义相对论， 甚至也并非始于狭义相对论——虽然后者对这一概念取得基础地位具有决定性的影响。 事实上， 比狭义相对论早得多就有科学家猜测过引力的非瞬时传播， 并且作出过跟引力波的存在不无异曲同工之处的猜测。


　　比如著名法国科学家拉普拉斯 (Pierre Simon de Laplace) 早在 1776 年就考虑过修改牛顿万有引力定律的若干可能性， 其中之一就是放弃引力的瞬时传播。 假如引力的传播不是瞬时的， 会有什么可观测效应呢? 拉普拉斯以地球对月球的引力为例作了具体分析[注一]。 他首先假定引力是通过物体之间交换某种微小粒子所产生的， 方向沿那些微小粒子的运动方向[注二]。 对于地球与月球间的引力而言， 如果引力的传播是瞬时的， 产生引力的那种微小粒子的发射方向——也就是引力的方向——无疑就是沿两者的连线方向， 从而跟牛顿万有引力定律相一致。 但假如引力的传播不是瞬时的， 那种微小粒子从地球运动到月球就需要花费时间， 而在这段时间内， 月球本身会沿着公转轨道往前运动一段距离， 因此为了使那种微小粒子能与月球相遇， 它们的发射方向必须稍稍偏往月球的运动方向一点。 很明显， 这种发射方向上的偏角意味着地球对月球的引力将不再沿两者的连线方向， 而是——相对于月球而言——有一个沿切向往后拖拽的分量 (感兴趣的读者可以画一幅示意图论证这一点)。 由于这种拖拽效应的存在， 月球的轨道将会慢慢 “蜕化”， 轨道高度将会逐渐降低， 月球的最终命运——倘不考虑任何其他因素的话——将会是坠落到地球上。


　　拉普拉斯以引力的非瞬时传播为前提所预言的月球轨道的 “蜕化” 在定性上跟引力波造成的效应是相同的。 不过预言虽然相同， 拉普拉斯却并没有提出引力波的概念。 按照现代的思路， 月球轨道的 “蜕化” 意味着轨道能量的损失， 只要问一句 “损失的轨道能量到哪里去了”， 引力波的概念就几乎必然会被引出来。 可惜的是， 今天看来天经地义的推理在拉普拉斯时代却并非如此， 原因很简单： 能量守恒定律在拉普拉斯时代尚不存在。 能量及能量守恒定律的基础地位容易给人一个错觉， 以为这两者都是渊源流长的概念。 但其实， 它们的历史并不悠久， 稍具现代意义的能量概念在拉普拉斯时代尚处于形成之中， 许多形式的能量尚未被认识， 能量守恒的观念也尚未得到确立。 因此对拉普拉斯来说， “损失的轨道能量到哪里去了” 的问题并不显而易见， 更不会引发他往引力波的方向去猜测[注三]。 也正因为如此， 他的猜测只能被称为 “跟引力波的存在不无异曲同工之处的猜测”， 这种猜测相对于引力波研究来说只在很边缘的意义上具有先驱性[注四]。


　　等到英国物理学家麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 建立了完整的经典电磁理论以及爱因斯坦提出了狭义相对论之后， 有关引力波的猜测才真正问世了。 这种猜测有两个主要诱因： 一个是牛顿万有引力定律与描述静电相互作用的库仑定律 (Coulomb's Law) 具有表观上的相似性， 这种相似性启示人们猜测相对论性的引力理论与完整的经典电磁理论会有一定的相似性， 从而会像电磁理论具有电磁波一样具有引力波。 另一个诱因则是前面提到过的相互作用的非瞬时传播与波动之间的密切关联， 狭义相对论所确立的光速上限对这一诱因无疑是一种加强。 在这些诱因的 “引诱” 下， 法国科学家庞加莱 (Henri Poincaré) 早在 1905 年 6 月——比狭义相对论的发表还早——就对引力波的存在做出了明确猜测。 这位在爱因斯坦之前就对狭义相对论的很多结果有过预期的著名科学家在一篇题为 “电子的动力学” (Sur la dynamique de l'électron) 的论文中不仅提出了引力场会像电磁场那样产生以光速传播的波， 而且将这种波明确称为了引力波。 稍后， 庞加莱还进一步猜测引力波造成的能量损失有可能解释水星近日点进动 (perihelion precession of Mercury) 的传统计算与观测值之间的偏差。


　　不过当时距离广义相对论的创立还有 10 年， 庞加莱对符合相对论要求的引力理论的预期只是概念性的， 所提出的引力波也是概念性的， 除猜对了它的传播速度是光速外， 在技术层面上对引力波的其他了解近乎于零， 所猜测的引力波对水星近日点进动的影响也是完全错误的。 从这个意义上讲， 庞加莱这位提出了引力波概念及名称的先驱也是要打折扣的， 姑称为 “算不上先驱的先驱” 吧。


　　四. 广义相对论的弱场近似


　　在引力波的研究中， 真正称得上先驱及提出者的只有一个人， 那就是爱因斯坦本人。


　　爱因斯坦的研究风格具有极强的系统性， 在创立了广义相对论之后仅仅两年左右的时间， 他就再接再厉地开辟了两个全新的分支领域： 一个是相对论宇宙学， 另一个就是引力波研究。 爱因斯坦开辟的这两个领域后来都有了一些戏剧性的曲折， 比如相对论宇宙学的发展在不久之后就使爱因斯坦所青睐的静态宇宙模型遭到了观测否决， 而引力波的研究在爱因斯坦有生之年虽无观测数据， 爱因斯坦自己的观点却几经变化。 我们将在后文中陆续介绍爱因斯坦的观点变化， 在本节中， 让我们先上点 “干货”， 介绍一下广义相对论的弱场近似 (weak field approximation)， 对于引力波研究来说这是最便利的切入点， 也是爱因斯坦研究引力波时最先考虑的情形。


　　有读者也许会问： 讨论电磁波时从来也不需要弱场近似， 为什么引力波研究要以弱场近似为切入点呢? 这是因为电磁理论——确切地说是麦克斯韦的经典电磁理论——是一个线性理论， 这种理论的基本特点是处理的难度与场的强弱无关， 从而没必要对后者作出限制。 但广义相对论不同， 它是一个非线性理论， 这种理论的一个基本特点是场具有所谓的自相互作用 (self-interaction)， 即场的产生不仅取决于源， 而且还取决于它自身。 这种自相互作用的存在使非线性理论的处理比线性理论困难得多， 而且场越强， 自相互作用往往越显著， 处理的难度也就越大。 那么非线性理论——或者具体地说， 广义相对论这一非线性理论——该如何处理呢? 一般来说， 处理的手段有三类： 一类是寻找特殊解， 这类手段通常靠特定的对称性来简化问题， 适用面比较小， 但往往可以得到精确而解析的结果; 另一类是数值计算， 这类手段显著依赖于计算工具， 在早期研究中基本缺席， 在计算机技术日益发展的今天却有着越来越宽广的应用领域; 第三类则是线性近似， 这类手段的适用条件是非线性效应可以忽略， 只要这一条件得到满足， 它的适用面就是普遍的， 不依赖于对称性， 同时却往往可以得到解析结果。 弱场近似下的引力波研究采用的就是第三类手段， 因为弱场的自相互作用可以忽略， 从而广义相对论可以近似为线性理论。


　　关于广义相对论的弱场近似， 首先要问的是： 什么是弱场? 由于广义相对论将引力归结为时空的弯曲， 而没有引力的时空是由闵科夫斯基度规 ημν 所描述的平直时空——也称为闵科夫斯基时空。 因此所谓弱场显然是指时空偏离闵科夫斯基时空的幅度很小的情形。 用数学语言来表示， 广义相对论的弱场指的是形如


　　gμν = ημν + hμν (|hμν| ≪ 1)(4.1)


　　的度规所表示的引力场——其中括号里的 |hμν| ≪ 1 表示时空偏离闵科夫斯基时空的幅度很小。


　　将 (4.1) 式代入爱因斯坦场方程 (2.9) 式[注五]， 并且只保留 hμν 的线性项， 可以得到


　　∂λ∂λhμν — ∂λ∂μhλν — ∂λ∂νhλμ + ∂μ∂νh = —16πG(Tμν — ½ημνT)(4.2)


　　其中 h 是 hμν 的缩并， T 是 Tμν 的缩并。 需要说明的是， (4.2) 式中 hμν 和 Tμν 的所有指标都是用闵科夫斯基度规 ημν 来升降的， 因为否则就会引进 hμν 的非线性项。
　　(4.2) 式虽然是线性的， 却依然有相当的复杂性。 幸运的是， 我们还有一个 “杀手锏” 尚未使用， 那就是广义相对论所具有的广义协变性。 广义协变性使我们可以对 4 个时空坐标进行任意变换， 而在那样的变换下， 广义相对论中的度规、 联络等都将发生相应的变化。 利用这种变化， 我们可以选择特殊的坐标， 使得度规、 联络等具有最易于处理的形式， 这是研究广义相对论问题的重要技巧。 熟悉电磁理论的读者也许看出来了， 广义相对论所具有的广义协变性类似于电磁理论中的规范不变性 (gauge invariance)， 对时空坐标的任意变换类似于电磁理论中的规范变换 (gauge transformation)， 而由此带来的对度规、 联络等的选择则相当于在电磁理论中选择规范条件 (gauge condition)。 所不同的是， 电磁理论中的规范变换只涉及一个任意函数， 相应的规范条件也只有一个， 而广义相对论中的坐标变换涉及 4 个任意函数， 从而可以导致 4 个类似的条件——称为 “坐标条件” (coordinate conditions)。


　　坐标条件的选择不是唯一的， 就像电磁理论中规范条件的选择不是唯一的。 爱因斯坦在早年的研究中——包括理论框架完成之前的阶段里——往往只采用一个坐标条件， 即 g = —1 (其中 g 是度规张量 gμν 的行列式)。 满足这一条件的坐标被称为 “幺模坐标” (unimodular coordinates)。 不过当他对弱场近似进行更系统的研究时， 很快发现幺模坐标不适合研究引力波， 因而自 1916 年 6 月发表引力波研究的第一篇论文 “引力场方程的近似积分” (Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation) 开始， 转而采用了荷兰物理学家德西特 (Willem de Sitter) 提出的一组坐标条件： ∂μ(hμν — ½ημνh) = 0。 这组条件共有 4 个， 从而充分利用了广义协变性带来的便利， 满足这组条件的坐标被称为 “各向同性坐标” (isotropic coordinates)。


　　利用各向同性坐标， 爱因斯坦于 1918 年给出了有关弱场近似下引力波的若干重要结果。 不过时隔一个世纪， 我们已没有必要重复爱因斯坦的选择， 而将采用一种更受现代研究者青睐的坐标条件： 调和坐标条件 (harmonic coordinate conditions， 也称为 “谐和坐标条件”)。 用数学语言来表示， 调和坐标条件指的是：


　　gμνΓλμν = 0(4.3)


　　满足这组总计 4 个条件的坐标则被称为 “调和坐标” (harmonic coordinates， 也称为 “谐和坐标”)。


　　调和坐标是 20 世纪 20 年代由比利时数学家德唐德 (Théophile de Donder) 和匈牙利物理学家兰佐斯 (Cornelius Lanczos) 彼此独立地提出的[注六]。 调和坐标条件作为一个坐标条件， 本身并不受弱场近似的限制 (这是它优于德西特和爱因斯坦针对弱场近似所采用的各向同性坐标的地方)， 但我们讨论的既然是弱场近似， 则对调和坐标条件也需要作一个弱场近似， 只保留 hμν 的线性项。 不难证明， 这种近似下的调和坐标条件 (4.3) 可以表述为：


　　∂μhμν = ½∂νh(4.4)


　　细心的读者也许注意到了， (4.4) 式跟各向同性坐标所满足的条件是完全相同的， 因此调和坐标与各向同性坐标在弱场近似下是相同的 (这也说明我们对弱场近似的处理跟爱因斯坦原始论文的处理是殊途同归的)。 不过这种相同只限于弱场近似， 普遍情形下的调和坐标是一种不同的坐标。


　　利用 (4.4) 式可以很容易地证明——感兴趣的读者不妨自己试试——(4.2) 式左侧除第一项外的其他三项相互抵消。 由此我们得到一个高度简化了的、 很漂亮的广义相对论弱场近似：


　　∂λ∂λhμν = —16πG(Tμν — ½ημνT)(4.5)


　　这一近似之所以漂亮， 是因为——读者想必认出来了——它正是所谓的波动方程 (wave equation)。 这个波动方程所描述的是一种以物质——具体地说是 Tμν — ½ημνT——为源， 以时空——具体地说是时空偏离平直的程度 hμν——为波幅的波动。 不仅如此， 我们还可以立刻看出这种波动的一个重要特点， 那就是传播速度是光速[注七]。
　　如果说此前有关引力波的一切都是猜测， 那么波动方程的出现改变了事情的性质。 因为波动方程是波动的理论基础， 蕴含着它的定量属性， 也是定量验证的重要依据。 对一般的物理体系来说， 波动方程既然出现了， 波的存在就不言而喻了， 但我们将会看到， 引力波跟一般的波相比有一些概念上的微妙性， 一度甚至妨碍了爱因斯坦本人对它的理解和接受。


　　注释


　　之所以以地球对月球的引力为例， 是因此自牛顿时代起， 月球的运动就是一个老大难问题 (这其实并不意外， 因为一来月球同时受太阳和地球两大天体的引力影响， 且质量与地球质量相比不算太小， 其运动带有较明显的 “三体” 色彩， 二来对月球的观测相对容易， 从而容易发现问题)， 牛顿甚至还因此而怀疑英国天文学家弗拉姆斯蒂德 (John Flamsteed) 没有为他提供最好的观测数据， 两人为此闹僵。 拉普拉斯之所以考虑修改牛顿万有引力定律的可能性， 一个很重要的原因也是因为月球的运动尚未得到满意解决。


　　这一想法跟现代量子场论对相互作用的描述不无相似之处——当然纯属表观。


　　值得一提的是， 哪怕在广义相对论问世之后， 引力波是否真实存在以及它能否携带能量也依然有过争议 (我们在后文中将会提及)。 以这种争议为背景来看， 拉普拉斯从引力的非瞬时传播入手进行的分析具有额外的重要性， 因为它提供了一个独立视角。 事实上， 著名引力理论专家、 美国物理学家惠勒在《引力与时空之旅》 (A Journey into Gravity and Spacetime ) 一书中曾引述过两位现代物理学家提出的有关引力波为何能携带能量的通俗解释， 其实质也正是从引力的非瞬时传播入手， 从而跟拉普拉斯的分析具有完全相似的思路。 从这个意义上讲， 拉普拉斯的分析在定性上可以说是正确的。 如果进一步考虑到当时连麦克斯韦的电磁理论都尚未问世， 则拉普拉斯的分析还可以视为是对 “辐射阻尼” (radiation resistance) 的最早分析。 不过另一方面， 在广义相对论那样的具体理论问世之前， 拉普拉斯的分析注定只能是定性的， 一旦试图超越这一局限就不免走向谬误。 比如他依据自己的分析及月球运动的观测数据估算出的引力的传播速度高达光速的 700 万倍， 就不仅荒谬， 而且几乎对引力的非瞬时传播构成了否定。 当然， 这种谬误也有观测方面的原因， 因为月球轨道因发射引力波而产生的 “蜕化” 哪怕在今天也绝非观测所能企及， 以此为基础推算任何东西都是在沙滩上建城堡， 走向谬误是不足为奇的。


　　拉普拉斯的这种先驱性很少被提及， 因为他的猜测不仅——如前注所述——因他自己得到的引力传播速度高达光速的 700 万倍这一数值结果而显得荒谬， 而且从观念上讲也不受当时人们的亲睐——因为当时天体运动具有永恒性的宗教观念仍很顽固， 月球轨道的 “蜕化” 是跟这种顽固观念相冲突的。

　　确切地说， 是代入 第二节 [注十] 所提到的爱因斯坦本人得到的与 (2.9) 式等价的场方程， 因为那一形式的左侧——即时空几何部分——相对简单。

　　这种坐标之所以被称为调和坐标是因为在这种坐标下， 任何函数 φ 的所谓 “调和算符” 可以简化为 gμν∇μ∇νφ = gμν∂μ∂νφ — gμνΓλμν∂λφ = ∂μ∂μφ， 其中最后一步使用了调和坐标条件 (4.3) 式。 如果 φ 选为坐标 xα 本身， 则由于其相对于坐标的二阶普通导数为零， 则显然有 gμν∇μ∇νxα = 0。 由于满足这一方程式的函数是古典分析中 “调和函数” (harmonic function)——当然一切都是在爱因斯坦时空中的推广， 相应的坐标就因此而被称为了调和坐标。 另外可以补充的是： 调和坐标不仅受到现代研究者的青睐， 在一定程度上甚至可以说是受到了 “溺爱”， 比如苏联物理学家福克 (Vladimir Fock) 试图将调和坐标提升到优越坐标系的地位上， 中国物理学家周培源试图将调和坐标条件与爱因斯坦场方程并称为 “物质的引力规律”， 就都属于 “溺爱”。

　　在本系列中， 我们采用了光速 c = 1 的单位制， 因此在公式中看不到光速， 感兴趣的读者可以通过简单的量纲分析将光速恢复起来。 另外可以顺便说明一下， 这里得到的引力波传播速度是光速这一特点与方向无关， 或者说是各向同性的， 这正是德西特和爱因斯坦所采用的坐标——它在弱场近似下与调和坐标相等价， 从而具有同样特点——被称为 “各向同性坐标” 的原因。



　　时空的乐章——引力波百年漫谈 (四)


　　五. 单极、 偶极和四极辐射


　　波动方程的解是物理学家们非常熟悉的， 在数学上有所谓推迟解 (retarded solution) 和超前解 (advanced solution) 之分， 物理上采用的是推迟解——也称为推迟势 (retarded potential)[注一]。 对于弱场近似下的引力波动方程 (4.5) 式来说， 推迟解为：


　　hμν(x, t) = 4G ∫d3x' Tμν(x', t — |x — x'|)/|x — x'|(5.1)


　　其中 Tμν ≡ Tμν — ½ημνT 是对 (4.5) 式右端所作的符号简化 (这种类型的符号简化在广义相对论中很常见， 所表示的是对一个二阶张量的迹的逆转)， x 和 x' 分别为场和源的三维空间坐标， d3x' 是对源空间坐标的积分， t — |x — x'| 是所谓的推迟时间 (retarded time)——其实是比 t 更早而不是更 “推迟” 的时间， 因推迟解本身所描述的场晚于源的 “推迟” 效应而得名。


　　除 (5.1) 式外， 由于 (4.5) 式是线性方程， 相应的齐次方程 (homogeneous equation)——即源 Tμν 为零的方程——的解也可叠加到推迟解上， 从而得到 (5.1) 式的通解。 各种特解——比如平面波解、 柱面波解， 或满足特定初始及边界条件的解等等——皆可视为通解的特例。


　　对于波——尤其是像电磁波和引力波这样源自基础理论的波——来说， 一个很重要的性质是它的独立分量数目或所谓的物理自由度 (physical degrees of freedom)。 具体到引力波上， 由于 hμν 是对称张量， 从表观上讲有 10 个分量。 但这 10 个分量显然不是独立的， 因为总计有 4 个方程的谐和坐标条件 (4.4) 式可消去 4 个分量， 从而只剩下 6 个。 这 6 个分量是独立的吗? 依然不是， 因为谐和坐标条件并不足以完全确定坐标， 我们还可对 xμ 作形如 xμ → xμ + εμ 的额外坐标变换， 在这种变换下 hμν 将变换为 hμν → hμν — ∂μεν— ∂νεμ。 不难证明， 只要 εμ 满足 ∂λ∂λεμ = 0， 谐和坐标条件就依然成立， 因此这确实是谐和坐标条件已经满足的情形下依然允许的额外坐标变换， 利用这种变换——总计也有 4 个方程——可进一步消去 4 个独立分量， 最终只剩下两个独立分量， 这才是引力波的独立分量——也称为引力波的偏振或极化 (polarization)。


　　进一步的分析还表明， 引力波的这两个独立分量和电磁波的独立分量一样都是横波分量——即都是垂直于波矢方向的分量， 而且波的振幅是 “无迹” (traceless) 的， 即 hμμ = 0， 使这些特征成立的坐标也因此而被称为横向无迹坐标 (transverse-traceless coordinates)， 简称 TT 坐标。 可以证明， 横向无迹坐标恰好是自由漂浮观测者所用的坐标。 另外值得一提的是， 引力波的这两个横波分量在以波矢为轴的空间转动下按两倍于转角的方式转动 (转动方向则彼此相反)， 因而具有螺旋度 (helicity) ±2， 人们通常所说的引力子 (graviton， 即所谓引力场的量子) 是自旋 2 的无质量粒子， 指的就是这一结果。 不过要注意的是， 这些概念都是在闵科夫斯基度规下定义的， 与我们所讨论的弱场近似一脉相承， 在一般的广义相对论中却并无明确定义， 因此将广义相对论本身笼统地视为自旋 2 的无质量场的理论是不妥的——起码是有争议的。


　　推迟解 (5.1) 式虽是弱场近似的产物， 对一般的源分布来说依然是相当复杂的， 具体计算时往往还需采取进一步的近似， 其中一种典型的近似手段是所谓的多极展开 (multipole expansion)。 这种手段的一个重要优点是： 在源——即物质分布——的尺度远小于引力波的波长 (这被称为低速近似或非相对论近似[注二])， 并且场点离源的距离远大于引力波的波长 (这被称为远场近似[注三]) 的情形下， 多极展开由最低阶——即 “极” 数最少——的项所主导， 其他——即 “极” 数更多——的项皆可忽略， 从而能极大地降低计算的复杂性。
　　具体地说， 在多极展开下， 选用横向无迹坐标， (5.1) 式的主导项是所谓的 “四极辐射” (quadrupole radiation)。 由于横向无迹坐标下引力波的两个独立分量——即横波分量——都是空间分量， 因此我们只需给出 hμν 的空间部分 hij 即可， 其结果为：


　　hij(x, t) = (2G/r) ∂2Qij/∂t2(5.2)


　　其中 r 是场点 x 离源的距离 (在所考虑的远场近似下源的尺度远小于场点离源的距离， 因此可以忽略源的不同部分与场点距离的差别)， Qij 是源的四极矩， 定义为：

　　Qij = ∫d3x' ρ(x') (x'ix'j — ⅓|x'|2δij)(5.3)


　　其中 ρ 是源的质量密度。 这里需要说明的是， 为表述简洁起见， 我们自此处开始将略去时间变量， (5.2) 式的右侧和 (5.3) 式， 以及后文中任何与源有关的计算， 其实都是在推迟时刻 t — r 计算的， 这是 (5.1) 式或者说引力波的传播速度为光速的直接要求。 另外， (5.2) 式只包含了来自物质质量密度的贡献， 这是低速近似或非相对论近似的结果。


　　引力波多极展开中的最低阶项为四极辐射， 这是一个很独特的结果， 比如跟电磁波就完全不同， 因为后者具有所谓的偶极辐射 (dipole radiation)。 两种表面上看起来颇为相似——比如万有引力定律与库仑定律都是平方反比律， 波动方程更是具有相同形式——的理论在这方面为何会如此不同， 引力波为何没有偶极辐射呢? 这是由守恒定律所决定的。 我们知道， 偶极矩的定义为 Pi = ∫d3x' ρ(x') x'i， 对电磁理论来说， ρ 是电荷密度， 上述偶极矩对时间的各阶导数可以是非零的， 从而可以有偶极辐射。 但引力理论的情况完全不同， 对它来说 ρ 是质量密度， 因而偶极矩 Pi 正比于源的质心位置， 其对时间的一阶导数正比于源的总动量， 在所考虑的近似下是一个守恒量。 这就意味着其对时间的二阶导数——这是辐射场及辐射能流所包含的导数——恒为零， 这是引力波不存在偶极辐射的根本原因。


　　更一般地说， 在单极、 偶极和四极这几种最低阶的多极展开项中， 单极辐射出现的条件是源的总量不守恒， 由于电荷和能量都是守恒的， 因此电磁理论和引力理论都没有单极辐射[注四]; 偶极辐射出现的条件则是源的 “荷动量” (charge-momentum) 不守恒， 由于电磁理论的 “荷动量” 确实不守恒， 因此电磁理论有偶极辐射， 而引力理论的 “荷动量” 乃是普通的动量， 是守恒的， 因此引力理论没有偶极辐射[注五]。


　　引力波多极展开的最低阶是四极辐射这一特点也使得引力波更为微弱， 因为在所考虑的近似条件下辐射的 “极” 数越多， 辐射就越微弱 (感兴趣的读者可以定性地估计一下辐射强度与辐射的 “极” 数之间的关系)。 当然， 这只是使得引力辐射微弱的原因之一， 而且并非最主要的原因， 最主要的原因是引力相互作用本身是目前已知的四种基本相互作用中最弱的， 比另三种相互作用——强相互作用、 电磁相互作用、 弱相互作用——都弱几十个数量级。 当然， 基本相互作用之间的这种比较是以微观世界为标准进行的， 从而不能一概而论。 比如引力本身在天体尺度上就绝不微弱， 而引力波虽然在普通的天体尺度上依然微弱， 却也并非总是微弱， 在特殊的强引力场天体的特殊运动中可以变得很强， 甚至强到令人难以想象， 这些我们在后文中将会看到。


　　引力波多极展开的最低阶是四极辐射还有一个微妙的 “副作用”， 那就是在历史上曾使一些物理学家对引力波的存在做出过错误判断。 比如继庞加莱之后引力波研究中的另一位 “算不上先驱的先驱”， 德国物理学家亚伯拉罕 (Max Abraham) 曾于 1912 年提出了自己的引力理论， 并正确地意识到了引力波不存在偶极辐射 (如前所述， 这一特点源自守恒定律， 从而可以不依赖于广义相对论而得到)。 但也许是太看重引力波与电磁波的相似性， 亚伯拉罕从不存在偶极辐射这一特点中鲁莽地舍弃了引力波的存在 (当然， 由于他的引力理论是错误的， 即便没有舍弃引力波的存在， 也难以得到正确的定量结果)。 无独有偶， 爱因斯坦本人在研究引力波之初也曾对引力波的存在作出过有可能是否定的判断。 在 1916 年 2 月 19 日给德国同事施瓦西 (Karl Schwarzschild) 的一封信里， 爱因斯坦表示在得到了完整的广义相对论之后， 自己已用不同的方法处理了牛顿近似， 得出的结论是 “不存在与光波相类似的引力波” (there are no gravitational waves analogous to light waves)。


　　爱因斯坦的这一结论引起了一些好奇， 比如《爱因斯坦全集》的编者之一、 美国阿肯色大学的物理学家坎尼菲克 (Daniel Kennefick) 就对爱因斯坦得出这一结论的原因作了若干猜测。 其中首先被猜测为原因的就是引力波不存在偶极辐射这一特点， 因为爱因斯坦在信中直接提及了这一特点——虽然并未将之称为原因。 除此之外， 由于爱因斯坦提到了牛顿近似， 坎尼菲克猜测他有可能尝试过从所谓的 “后牛顿近似” (post-Newtonian approximation) 入手研究引力波。 后牛顿近似并不是研究引力波的方便手段， 因为在这种近似中， 以源的运动速度——确切地说是其与光速的比值 v/c——的幂次来排序的话， 要计算到五次项才能显示引力波的存在 (五次项对应的是引力波四极辐射带来的辐射阻尼效应)， 这远远超出了早期广义相对论研究的范围[注六]。 坎尼菲克认为， 后牛顿近似中的低次项未能显示引力波的存在也有可能是爱因斯坦认为引力波不存在的原因。


　　坎尼菲克的这些猜测不能说没有道理， 但在我看来有一定的过度解读之嫌， 因为爱因斯坦所谓的 “不存在与光波相类似的引力波”， 从字面上看， 完全有可能只是说引力波哪怕存在， 也并不 “与光波相类似” (比如不存在偶极辐射)， 而未必是全盘否定引力波的存在 (因此我们在上文中只称之为 “有可能是否定的判断”)。 由于爱因斯坦没有在其他文字中对这句话作出过进一步说明 (事实上也没有进一步说明的必要了， 因为通信对象施瓦西在不到三个月之后就不幸去世了)， 他这句话的真实含义可能永远只能从猜测的意义上去解读了。 但考虑到此后不久爱因斯坦就发表了明确肯定引力波存在的论文——即我们在 第四节 中提到过的他的第一篇引力波论文 “引力场方程的近似积分”， 我倾向于猜测 “不存在与光波相类似的引力波” 并不是对引力波的全盘否定， 而很可能只是对研究过程中发现的诸如不存在偶极辐射之类有别于电磁波的引力波特性的一种表述。


　　有关引力波的另一个微妙的问题是它是否携带能量。 从前面的介绍中我们看到， 引力波是时空本身的波动——因为其波幅是时空偏离平直的程度 hμν。 如果说音乐是空气的波动， 那么引力波不妨称之为时空的乐章。 但这个浪漫的名称掩不住一个问题， 那就是时空是看不见摸不着的， 我们对它的量度依赖于度规， 度规又跟坐标的选择有关， 而坐标的选择在广义相对论中却是任意的。 那么， 所谓时空的乐章， 所谓时空本身的波动， 会不会纯粹是一种坐标带来的幻象呢? 这不是钻牛角尖， 而是一个很正经的问题， 因为如果坐标本身在波动， 那么哪怕平直的时空也会看上去仿佛是波动着的， 就好比用一把本身就在伸缩的尺子去量一个物体， 哪怕物体的长度是固定的， 每次量得的结果也可以是不同的， 但那显然是尺子的问题而不是物体的长度在变。


　　事实上， 爱因斯坦本人就曾注意到， 采用不同的坐标可以得到不同类型的引力波， 其中的某些类型确实只是坐标本身相对于平直时空的波动， 而不是真实的引力波。 以 验证广义相对论的光线偏折效应 而成名的英国物理学家爱丁顿 (Arthur Eddington) 也从坐标角度出发质疑过引力波， 他发现引力波的某些分量的传播速度是跟坐标的选择有关的， 从而十分可疑， 他并且将这种引力波的传播速度戏称为 “思维的速度” (speed of thought)[注七]。 这种因坐标的选择而产生的问题也可以从另一个角度来看， 那就是引力场——如我们在 第二节 中详细介绍过的——在局域惯性系中是不存在的， 或者说引力场能通过坐标变换局域地消去。 这个特点意味着对一个自由漂浮的质点——真正意义上没有大小的质点——来说， 无论多么强大的引力波都是不存在的——美国物理学家惠勒曾用 “自由漂浮就是自由漂浮就是自由漂浮” (free float is free float is free float) 来强调这一引人注目的特点。 假如无论多么强大的引力波对于一个自由漂浮的质点来说都是不存在的， 那引力波还有实在性吗?


　　答案是肯定的。


　　得出肯定答案的最简单的办法就是计算曲率张量， 因为曲率张量——乃至一切张量——是否为零是一个与坐标选择无关的特征， 因此引力波若果真只是坐标本身相对于平直时空波动带来的幻象， 曲率张量就该为零。 反之， 若曲率张量不为零， 则引力波就不只是幻象， 而是货真价实的 (虽然其中的某些分量依然可以有 “水分”)。 计算表明， 对于上文给出的弱场近似下的引力波动方程的推迟解来说， 曲率张量的非零分量为： Ri0j0 = —½∂2hij/∂t2。 由于引力波的非零分量 hij 是周期变化的， 其对时间的二阶导数不为零， 因此相应的 Ri0j0 也不为零。 这说明引力波是不能用坐标变换消去的， 从而并不只是坐标带来的幻象。 这跟惠勒那句 “自由漂浮就是自由漂浮就是自由漂浮” 是不矛盾的， 因为曲率张量的不为零说明引力波的效应跟一切其他引力效应一样， 虽然能被局域地消去， 在全局意义上却是抹煞不了的， 一个自由飘浮的质点虽 “感觉” 不到引力波， 一根长杆、 一个圆柱…… 乃至任何具有广延的物体却完全可以受到引力波的影响——事实上那正是引力波的检测途径。


　　从单纯的理论角度讲， 对引力波实在性的最具体的论证当然是直接计算它所携带的能量。 这个计算本身也有一定的微妙性， 因为它所涉及的是引力场的能量动量， 而那本身就是广义相对论的一个著名难题。 这个难题追根溯源， 也是来自引力场能被局域消去这一特点， 因为它意味着引力场的能量动量具有非定域性。 几十年来， 物理学家们对引力场的能量动量进行了大量研究， 给出过许多具体结果， 都称不上完美， 也始终存在争议。 不过对引力波来说， 人们通常假定时空是所谓的渐近平直时空 (asymptotically flat spacetime)[注八]， 在这种情形下， 只要所考虑的时空区域的线度显著大于引力波的周期和波长， 或者只考虑引力波的辐射功率 (它涉及的只是总能量)， 那些本质上源自引力场能量动量的非定域性的歧义就能消除。 对于我们所考虑的弱场近似来说， 情况更为乐观， 我们甚至不必利用物理学家们出于普遍目的而提出的那些引力场的能量动量表达式， 而可以直接地将引力场方程 (2.9) 式左侧除 hμν 的线性项以外的其他项——事实上只需平方项， 因其余在弱场近似下皆可忽略——移到右侧， 作为引力场的能量动量——即将 (2.9) 式改写为：

　　R(1)μν — ½ημνR(1) = 8π(Tμν + tμν)(5.4)

　　其中左侧的 R(1)μν 和 R(1) 分别是里奇曲率张量 Rμν 和曲率标量 R 中 hμν 的线性项， 右侧的 tμν 是 Rμν — ½gμνR 中 hμν 的平方项移到右侧与 Tμν 并列的结果， 就不具体写出了。 将 hμν 的四极矩解 (5.2) 式代入 tμν便可得到引力波的能量动量分布。 这个分布作为定域分布是跟物理学家们出于普遍目的而提出的那些引力场的能量动量表达式一样有争议的， 但取其中的能流部分对一个远离源的闭和曲面——通常选为球面——积分， 却可以得到无争议的引力波四极辐射的辐射功率， 具体的形式为：

　　dE/dt = —⅕G (∂3Qij/∂t3) (∂3Qij/∂t3)(5.5)

　　其中右侧的负号表明引力波导致的是能量损失——即源因辐射引力波而损失能量。 (5.5) 式的推导如今已是很多广义相对论教材的标准内容， 但除求导和积分外， 还涉及对偏振方向的平均等， 计算是相当繁复的， 当年就连爱因斯坦本人在有关引力波的第一篇论文中都没能算对， 直到 1918 年发表的题为 “论引力波” (On Gravitational Waves) 的后续论文中才得以纠正[注九]。

　　(5.5) 式给出的引力波的辐射功率究竟有多大呢? 我们将在下节中揭开谜底， 我们将具体计算或估算一些典型物理体系——其中包括 第三节 中提到的拉普拉斯考虑过的月球轨道运动——的引力波辐射功率。 那也将是我们首次有机会通过一个具有日常含义的物理量——功率——来直观地了解引力波。 我们会看到， 月球轨道因引力波造成的 “蜕化” 为什么是如 第三节 [注三] 所说的 “绝非观测所能企及”， 以及庞加莱所寄望的用引力波造成的能量损失来解释水星近日点的进动为什么是完全错误的。 我们也会初步看到， 在某些特殊体系中的引力波辐射功率可以达到惊人的程度。


　　注释


　　在我们所采用的波速 c = 1 的单位制下， 推迟解与超前解的区别在于前者由 t — r 时刻的源决定 t 时刻与源相距 r 处的场， 而后者由 t + r 时刻的源决定 t 时刻与源相距 r 处的场。 从数学上讲两者都是波动方程的解——因波动方程是时间反演不变的， 但从物理上讲， 源是因场是果， 因果关系要求因早于果， 从而应该只用推迟解。 不过也有物理学家有不同看法或作过不同尝试， 比如惠勒和他的学生、 著名美国物理学家费曼 (Richard Feynman) 曾尝试用超前解处理电磁理论的某些基础问题， 丹麦物理学家莫勒 (Christian Møller) 则主张对引力波不能排除超前解。 不过这些尝试或主张都未得出有建设性的结果。


　　这一近似之所以被称为低速近似或非相对论近似， 是因为引力波的典型波长取决于源的运动。 具体地说， 若源的尺度为 R， 典型运动速度为 v， 则源的典型运动周期——同时也是其所发射的引力波的典型周期——为 T ～ R/v， 相应的引力波典型波长则为 λ = cT ～ Rc/v， 因此源的尺度远小于引力波的波长意味着 R ≪ λ ～ Rc/v， 即 v ≪ c， 这正是低速近似或非相对论近似。


　　一般情形下的远场近似要求场点离源的距离 r 不仅远大于引力波的波长 λ (即 r ≫ λ)， 而且还远大于源的尺度 R (即 r ≫ R)， 不过多极近似已假定了源的尺度远小于引力波的波长 (即 R ≪ λ)， 因此后一条件 (即 r ≫ R) 是自动成立、 不言而喻的。

　　电磁理论和引力理论都没有单极辐射还可以这么理解： 单极辐射是球对称源——比如球对称电荷或质量分布的脉动——所发射的辐射。 但对于像库仑力和引力这种满足平方反比律的场， 早在牛顿时代人们就已知道， 球对称源的外部场只与源的总量有关， 因此这种源的任何运动——只要维持源的总量守恒——从外部场的角度看都等于是不存在的， 从而不可能产生单极辐射 (这同时也印证了单极辐射出现的条件是源的总量不守恒)。


　　可以证明， 引力波没有偶极辐射——或者更确切地说， 引力波的最低 “极” 辐射为四极辐射——跟前文分析引力波独立分量数目时提到过的引力子是自旋 2 的无质量粒子是完全一致的 (相应地， 电磁波的最低 “极” 辐射为偶极辐射跟光子是自旋 1 的无质量粒子也是完全一致的)。


　　通过后牛顿近似研究引力波——主要是研究引力波的辐射阻尼效应——直到数十年后才有显著进展， 中国物理学家胡宁等也在这一领域做过工作。 另外， 作为比较， 著名的水星近日点进动只涉及到后牛顿近似中的二次项， 在次数上远低于显示引力波存在所需的五次项——这也说明了庞加莱所猜测的引力波对水星近日点进动的影响 (参阅 第三节) 是完全错误的。


　　由于这个缘故， 有些人将爱丁顿视为引力波的早期怀疑者。 不过爱丁顿同时也发现了引力波横波分量的速度是光速， 并且与坐标的选择无关， 因此撇开措辞不论， 他的发现跟现代研究其实并不矛盾， 他认为可疑的分量只是那些可以通过坐标变换消去、 从而本就不具有实在性的分量， 并不构成对引力波的全面怀疑。


　　对于我们所考虑的情形来说， 渐近平直时空粗略地讲就是在远离源的地方 hμν → 0。 严格的定义则可参阅拙作 从奇点到虫洞 的 第 3.1 节。
　　不过计算虽然繁复， 最终的结果跟电磁理论的相应结果——即电磁四极辐射的辐射功率——其实只差一个比例系数， 正所谓 “魔鬼存在于细节之中” (the devil is in the details)。