麦克斯韦方程组的科学和物理意义

伤我心太深

　　麦克斯韦方程组的物理意义和发现过程详解

　　我想大家都知道电磁感应现象吧，据说在爱因斯坦在他书房的墙壁上，挂着三幅科学家的肖像：牛顿、法拉第和麦克斯韦。

　　继牛顿之后，以法拉第和麦克斯韦的贡献为基础的经典电磁理论，是物理学发展史上能够浓墨重彩记上一笔的重大事件。

　　人类对电现象和磁现象很早就有所认识，但将它们在本质上关联起来却是1820年之后的事。那年春天，丹麦物理学家奥斯特(Orested，1777—1851)，成功地观察到了电流使磁针转动的事实，从这一天开始，人们才逐渐认识了电和磁之间的紧密联系。

　　之后，法拉第在安培、渥拉斯顿等人工作的基础上，在电磁方面进行了大量的实验，作了详细的记录。他发现了电磁感应效应，并将观测的实验事实总结在《电学的实验研究》这三卷巨著中。

　　1854年，麦克斯韦(Max Well，1831—1879)在英国剑桥大学三一学院完成了研究生的学业。这个古老美丽的建筑物确实不同凡响，从它的大门里走出了32位诺贝尔奖得主、5位菲尔茨奖得主。对于麦克斯韦热衷的物理学而言，这里也是“前有古人后有来者”。80多年前，大名鼎鼎的牛顿就是从这儿走出来的;50多年之后，又跟来了著名的尼尔斯·玻尔，量子力学的奠基人之一。

　　麦克斯韦的导师是当时极具影响力的汤姆森(开尔文爵士)。受汤姆森的影响，麦克斯韦对电磁学产生了浓厚的兴趣，准备向“电”进军。1860年，年仅30岁的麦克斯韦到伦敦第一次拜见了将近70岁的电磁学大师法拉第。从此两人结下忘年之交，共同攻克电磁学难关，最后由麦克斯韦总结、创建了著名的经典电磁场方程。



　　麦克斯韦方程组最开始的版本有20个方程，包括原来就有的由库仑、高斯、法拉第、安培等人研究总结的各种实验现象、电介质的性质、各种电磁现象的规律、麦克斯韦提出的新概念，等等。最后，麦克斯韦天才地将它们高度提炼、简化为四个矢量微分方程，并写成了一种对称而漂亮的数学形式，见图1-2-1中的麦克斯韦方程。

　　粗看图中的麦克斯韦方程组，可能会产生一点误解，以为麦克斯韦的工作只不过是将其他几个定律统一在一起而已。也有些人看见公式就头疼，觉得枯燥乏味。但实际上，麦克斯韦方程组包含了比原来单个方程丰富多得多的物理内容。麦克斯韦方程组的建立，对物理学具有开拓性的理论意义，比起牛顿力学来说也毫不逊色。

　　爱因斯坦曾经在1931年，纪念麦克斯韦诞生100周年时，高度赞扬麦克斯韦对物理学的贡献：“由法拉第和麦克斯韦发动了电磁学和光学革命……这一革命是牛顿革命以后理论物理学的第一次重大的根本性的进展”。并且，爱因斯坦还强调，在电磁学的革命中，麦克斯韦具有“狮子般的领袖地位”。要知道，爱因斯坦是不会轻易将科学上的成果称之为“革命”的，即使谈到他自己对物理学的贡献：光电效应及两个相对论，他也只把光电效应冠以过“革命”二字。

　　爱因斯坦谈到“电磁学革命”时，后来还加上了一个发现证实电磁波的赫兹。这三个电磁学的先驱者各有所长：法拉第玩的是五花八门、形形色色的电磁实验，总结了三卷厚厚的实验经验和资料;麦克斯韦玩的是数学公式，推导简化成了4个方程式;赫兹的贡献则是将前两者的工作推向了应用的大门，第一次发出、接收和证实了如今飞遍世界的“电磁波”。

　　简单通俗地说，麦克斯韦4个方程的意义可以分别用下面四句话来概括：

　　1.电场的散度不为0，说明电场是有源场，电荷就是源(高斯定律);
　　2.磁场的散度为0，说明磁场是无源场，因为不存在磁单极子(高斯磁定律);
　　3.变化的磁场产生涡旋电场，即电场的旋度(法拉第定律);
　　4.变化的电场产生涡旋磁场，即磁场的旋度(安培定律)。

　　以上提到的“散度”和“旋度”，是矢量分析中的数学专用术语，我们不在这里详细解释，但读者可以从图1-2-2中，对它们得到一些直观印象。




　　下面介绍一下麦克斯韦提出的“涡旋电场”和“位移电流”的概念(图1-2-1)，从中我们可以稍微体会到一些，麦克斯韦是如何将实验得到的规律上升到物理理论的高度的。

　　图1-2-1所示的麦克斯韦方程中的第3个方程，是来自于法拉第电磁感应定律。但法拉第当初只是发现，线圈中的磁通量发生变化时会在线圈中产生电流。麦克斯韦却就此提出了涡旋电场的假设，来解释线圈中电流的来源。意思是说，磁场的变化使得磁场周围的空间中产生了电场，这个电场与我们所熟知的静止电荷产生的电场是不同的。静止电荷产生的电场的力线，从正电荷发出，终止到负电荷，不会闭合;而变化磁场产生的电场，是环绕磁场的闭合曲线。因而，麦克斯韦称之为“涡旋电场”。法拉第观察到的线圈中的电流，便是来源于这个涡旋电场。

　　麦克斯韦方程中的第4个方程，则是从原来的安培定律加上了所谓“位移电流”一项。位移电流不是电荷的移动，而是电场随着时间的变化。麦克斯韦认为，导线中移动的电荷能够产生磁场，电容器或介质中变化的电场也能够产生磁场。因此，变化的电场与某种“电流”等效，他将其称为“位移电流”。

　　从以上的介绍不难看出，麦克斯韦在研究、简化他的方程组的时候，经常运用的法宝是什么。简而言之就是对称性的思维方式。大自然这个“上帝”，除了喜欢我们在上一节中提及的最小作用量这个极值原理之外，还喜欢对称性。麦克斯韦似乎窥视到了造物主的这个秘密。

　　自然界中许多事物都是对称的：左右对称的树叶、六角对称的雪花、球对称的星体……美丽的对称随处可见、数不胜数。那么，描述大自然的物理规律也应该遵循某种对称性。既然磁场变化在它的周围产生电场，电场变化可能也产生磁场，暂且叫它做位移电流。如果这个位移电流产生的磁场又是随时间变化的话，在更远些的地方又会产生电场，这样往返循环，一直产生影响下去……电场磁场、磁场电场……最后是否就会像水波或其他机械波那样，传播到远处去呢?

　　因此，位移电流概念的引入，不仅仅满足了麦克斯韦对方程组的对称之美的要求，而且使他进一步广开思路，朦胧中想到了电磁波的可能性!
　　如果是法拉第早想到了这点，没准儿就会立即开始动手，用实验来探测和证实电磁波。但当时的法拉第太老了，已经力不从心。

　　麦克斯韦有着高明的数学技巧，所以还是继续从理论上玩他的方程吧。脑袋中带着“电磁波”的想法，麦克斯韦将几个方程推来导去，终于推导出了电场和磁场在一定条件下满足的波动方程。从这个波动方程解出的解，不就是麦克斯韦想象中的电磁波吗?麦克斯韦虽然不懂实验和电路，不能在实际上去发现和产生自己所预言的电磁波，但是他的数学、物理的理论武器使他可以研究这种波具有的许多性质。

　　麦克斯韦预言的电磁波有些什么性质呢?首先，他从理论上预言的电磁波是一种横波，也就是说，电场、磁场的方向是与波动传播的方向垂直的。当然，麦克斯韦预言的电磁波与我们现在认识的电磁波有所不同，因为当时的麦克斯韦与大多数物理学家一样，相信宇宙中存在“以太”。以太无所不在、无孔不入，而电磁波就是一种在以太中传播的横波。麦克斯韦也得出电磁波传播的速度就等于光速。而根据当时物理界对光的认识，光也是在以太中的一种横波。麦克斯韦由此而提出一个大胆的假设：光就是一种频率在某一段范围之内的电磁波!基于麦克斯韦的这个假设，物理学家们能够解释光的传播、干涉、衍射、偏振等现象，以及光与物质相互作用的规律。

　　麦克斯韦不幸在49岁就英年早逝，未能为物理学作出更多贡献，也未能亲耳听到他的预言最终被实验证实一事。在麦克斯韦逝世8年之后，德国物理学家赫兹(Hertz，1857—1894)宣布了产生和接收到电磁波的消息，后来的特斯拉、马可尼、波波夫等人，发展了壮观的无线电通信事业。如今，无处不在的电磁波已经为人类文明奏出了一首又一首宏伟的交响曲。电磁理论在工程中的成功应用，算是能足以慰藉伟人的在天之灵了。

　　读到这里，了解了麦克斯韦从“玩弄”他的几个公式玩出了如此重大的成就之后，你还能说数学理论和公式无趣又无用吗?
　　还不仅仅于此，麦克斯韦所喜欢的对称性原理，之后也一直主宰着理论物理学家的思维方式。后来的量子理论、规范场论、粒子物理中标准理论、弦论等，都与对称性密不可分。对称性的概念与物理学中的守恒定律紧密相关。

　　麦克斯韦受到法拉第的启发，第一次提出了“场”的概念。麦克斯韦认识到，电场磁场不仅仅是为了模型的需要而引进的假想数学概念，而是真实存在的物质形态。比如说，电能不是像人们过去所想象的只存在于电荷之中，而是也存在于弥漫于空间的“场”中。这个概念引出了之后现代理论物理中非常重要的场论思想。

　　此外，麦克斯韦方程组的建立为物理理论的统一也起了很大作用，因为它成功地将电、磁、光三者统一到了一起，从而引领了物理学中追求统一的热潮，现代物理学的历史强有力地证明了这一点。




　　麦克斯韦方程组



　　关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。

　　麦克斯韦方程组(英语：Maxwell's equations)是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
　　它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
　　麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。
　　在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
　　该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。


　　麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：

　　变化的磁场可以激发涡旋电场，
　　变化的电场可以激发涡旋磁场;
　　电场和磁场不是彼此孤立的，
　　它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场
　　(也是电磁波的形成原理)。


　　麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，
　　建立了完整的电磁场理论体系。
　　这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
　　麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
　　从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
　　麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
　　从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
　　麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
　　他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。


　　现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。

　　麦克斯韦方程组的地位


　　麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
　　以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
　　它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：
　　物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
　　另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。


　　1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：

　　库仑定律(1785年)，
　　安培—毕奥—萨伐尔定律(1820年)，
　　法拉第定律(1831-1845年)
　　已被总结出来，
　　法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。






　　场概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。


　　1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、安培—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。


　　麦克斯韦方程组的积分形式:

　　(1)描述了电场的性质。

　　电荷是如何产生电场的高斯定理。

麦克斯韦方程组的物理意义

　　(静电场的高斯定理)


　　电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
　　电场 E (矢量)通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。
　　静电场(见电场)的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
　　根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和

　　通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。

　　电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
　　在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。

　　当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
　　在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正(或负)电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场;
　　高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。
　　凡是有正电荷的地方，必有电力线发出;凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。
　　正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。

　　高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。
　　把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
　　对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。
　　电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。


　　(2)描述了变化的磁场激发电场的规律。


　　磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。

麦克斯韦方程组的物理意义

　　(静电场的环路定理)


　　在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
　　在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。
　　麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。

　　(3)描述了磁场的性质。


　　论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律

麦克斯韦方程组的物理意义

　　(稳恒磁场的高斯定理)


　　在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
　　由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
　　这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。


　　(4)描述了变化的电场激发磁场的规律。


　　电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。


  

麦克斯韦方程组的物理意义

　　(磁场的安培环路定理)


　　变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用。
　　在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。

　　磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。
　　麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。


　　合体：

麦克斯韦方程组的物理意义

　　式中H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度，B为磁通密度。
　　在采用其他单位制时,方程中有些项将出现一常数因子,如光速c等。


　　上面四个方程组成：

　　描述电荷如何产生电场的高斯定律、
　　描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律、
　　论述磁单极子不存在的高斯磁定律、
　　描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。


　　综合上述可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。


　　这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
　　麦克斯韦方程组的积分形式
　　反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。


　　麦克斯韦方程组微分形式：

麦克斯韦方程组的物理意义

　　式中J为电流密度,，ρ为电荷密度。
　　H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度，B为磁通密度。


　　上图分别表示为：


　　(1)磁场强度的旋度(全电流定律)等于该点处传导电流密度 与位移电流密度 的矢量和;
　　(2)电场强度的旋度(法拉第电磁感应定律)等于该点处磁感强度变化率的负值;
　　(3)磁感强度的散度处处等于零 (磁通连续性原理) 。
　　(4)电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度 (高斯定理) 。


　　在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。
　　从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。

麦克斯韦方程组的物理意义

　　上面的微分形式分别表示：


　　(1)电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度 (高斯定理) 。
　　(2)磁感强度的散度处处等于零 (磁通连续性原理) 。
　　(3)电场强度的旋度(法拉第电磁感应定律)等于该点处磁感强度变化率的负值;
　　(4)磁场强度的旋度(全电流定律)等于该点处传导电流密度 与位移电流密度 的矢量和;


　　利用矢量分析方法，可得：


　　(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。
　　(2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。


　　例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：

　　在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。

　　在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

麦克斯韦方程组的物理意义

　　麦克斯韦方程组的科学意义


　　经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律
　　并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。
　　但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚：
　　在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。
　　这两条是发现电磁波方程的基础。

　　这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论。

麦克斯韦方程组的科学和物理意义

　　现代数学，Hilbert空间中的数学分析是在19世纪与20世纪之交的时候才出现的。

　　而量子力学的物质波的概念则在更晚的时候才被发现，特别是对于现代数学与量子物理学之间的不可分割的数理逻辑联系至今也还没有完全被人们所理解和接受。
　　从麦克斯韦建立电磁场理论到现在，人们一直以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程组的基本方法。



　　我们从麦克斯韦方程组的产生,形式,内容和它的历史过程中可以看到：



　　第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。
　　第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的"存在"。
　　第三，我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。


　　麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。
　　但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)，但另一方面，我们也不应当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。

　　因此我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质。