量子力学的概率如何计算？

bigocean

之前好像有看到费曼用路径积分求解。

gating

在量子力学中物理系统的运动状态用态矢量|α》表示，但|α》是个很抽象的表达，就好比我们说在笛卡尔空间中存在某个向量V，为了具体地把V表示出来，我们需要建立一个直角坐标系，然后让V向这个坐标系的各个分量投影，我们实际上是用这些投影来表示向量的。

类似地，我们也需要找到个表达|α》的基矢，这个基矢必须是正交归一完备的。我们可以考虑某个力学量A，A是个算符，它可以把一个态矢映射为另一个态矢，由此我们可以定义本征值问题：A|a'》=a'|a'》，其中a'是本征值，所有的本征矢|a'》可以构成一个正交归一完备的集合。

换句话说|α》可以表示为向各个|a'》的投影，然后再把它们加起来：

|α》=∑|a'》《a'|α》

这里内积《a'|α》表示的就是态矢|α》在|a'》方向上的投影，这个内积一般而言是个复数，它就是平时所说的波函数。

根据量子力学的统计原理，波函数绝对值的平方对应概率，在这里|《a'|α》|的平方对应的就是物理量A取a'的概率。

假设我们考虑的力学量是位置x，位置算符的本征值问题x|x'》=x'|x'》也定义了一个正交归一完备的基矢，只不过这个基矢的指标x'是连续的了。此时波函数是《x'|α》，就是我们经常写的位置表象下的波函数ψ(x')。|ψ(x')|的平方就是粒子在位置x'附近时候的概率。

我们还可以考虑传播子，传播子K定义为粒子由x't'传播到xt的内积：《xt|x't'》。

这个《xt|x't'》其实就是波函数ψ(xt)，我们写成上式的形式就可以发展出费曼路径积分的表述了。


路径积分的意思是最终的波函数《xt|x't'》是粒子由x't'传播到xt所有可能路径上的传播子的一个相干迭加。

我们在t时刻x位置发现t'时刻由x'位置传播来粒子的概率就是|《xt|x't'》|的平方。