从量子力学到经典力学

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量子哈密顿-雅可比方程等价于薛定谔方程，是经典力学中的哈密顿-雅可比方程的直接推广：
，【量子】

。     【经典】

若势不含时，作用量可以变量分量 ，所得哈-雅方程为：

，

这里已经引入正则动量：，其经典对应量为为。

为了简单起见，我们首先分析一维问题：


  …………………………【1】

这里为空间导数。定态薛定谔方程是一个二阶常微分方程，哈-雅方程将其变换为了一个一阶非线性常微分方程。此类方程叫做利卡提方程 (Riccati equation)。我们不应当指望解哈-雅方程比解薛定谔方程更加容易。然而，借助哈-雅方程的一些定性性质，我们可以进一步理解量子力学与经典力学的联系。
我们将方程延拓到的复域。在复平面上，正则动量一般来说是有奇点的。根据定义：，正则动量。因此，波函数的每一个零点给出的一个极点，并且其留数为。薛定谔方程构成斯图-刘维尔问题，因此，波函数的零点的性质可以从斯-刘问题中得到。考虑一个典型的束缚势，波函数的零点分布在经典转向点 (turning points) 之间。经典转向点定义为 的零点。波函数的零点的个数与本征值有关：基态没有零点，第一激发态有一个零点，第二激发态有两个零点，…… 因此，正则动量的极点个数也与本征值直接相关。
下图演示了不同激发态的正则动量在复平面上的解析性质。为经典转向点，一般来说，正则动量在这两点没有奇性。黑色的点表示极点。随着激发态的增高，极点个数越来越多，逐渐布满转向点之间的实轴。


现在来观察经典正则动量 的解析性质。很显然，由于根号的存在，在复域上， 的两个转向点构成其两个支点，其间的实轴用支隔线划开，参看下图。



我们看到，量子与经典的正则动量的解析性质是截然不同的。然而，量子的正则动量在大 （高激发态）的情形下，其转向点之间密布的极点使得转向点之间的实轴近乎于经典情形时的支割线，因此，在高激发态下，量子解趋于经典解：。这正是玻尔有名的对应原理。
应当指出，在一般情况下，乃至的奇性是很复杂的。在复域上的奇点包括极点(poles)、本性奇点 (essential singularities) 和支点 (branch points)，后两者又合称为临界点 (critical points)。另外，由于利卡提方程是微分方程，其奇点可能依赖于一个任意的积分常数。这类奇点叫做移动的奇点 (movable singularities)，因为它会随着积分常数的改变而改变。例如，是利卡提方程的一个解，它就依赖于一个积分常数。一个重要的结果是：利卡提方程没有移动的临界点。这些复杂的结构在一般解（如散射态）中会遇到，我们的讨论局限于简单的束缚态，因此可以依赖斯-刘定理，化简讨论。
通过哈-雅方程，我们找到了从量子力学到经典力学的一些对应，“推导”出了对应原理。然而哈-雅方程不仅仅能够提供定性的图像，它还可以用来做定量的计算。考虑所谓的经典角作用量：

，

这里的环路沿着实轴（参看下图）。


更复杂的情况可以类似定义，注意，可能在实轴上有更多的零点，也可能在复平面其他地方有零点。在一般情况下依赖于环路的拓扑结构。这里仅讨论最简单的情况。
量子的角作用量类似定义（参看下图）：

由于量子正则动量仅仅有极点，其积分实际上非常简单，根据留数定理为。因此，

，

这正是有名的玻尔-索末菲 (Bohr-Sommerfeld) 量子化条件。这个条件可以帮助我们解出能量本征值 来。一般情况下，我们仍需知道 正则动量 的具体性质，不过由于环路可以变形，我们只需要知道 在复平面上部分区域的渐进性质，便可以对能量进行有效的估计。例如下图中使用环路 与环路 得到的结果是相同的。


类似地，知道了正则动量，作用量为：，其中 为一个经典转向点。波函数为： 。
领头阶的WKB和领头阶程函近似使用经典正则动量代替量子正则动量。我们现在知道，对于低激发的束缚态来说，这是不好的近似；对于高激发态（和缓变势中的散射态）来说，这是个好的近似。

最后，尽管这里的分析是一维的，它可以推广到三维：对于感兴趣的问题，例如有心势，作用量可以分离变量为三个一维问题：

对于有严格解的问题，利用角作用量可以解析地求出其能量本征值。对于无法解析求解问题，利用角作用量可以近似地求解其能量本征值。此文目的不在于这些技术细节，因此不再赘述。
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参看：

作者：一点资讯