牟合方盖指的是什么,牟合方盖动态图演示

揭秘者

　　牟合方盖指的是什么？牟合方盖是中同魏晋时期数学家刘徽在研究球的体积与球的直径之间的关系时，提出的问题。牟，相等;盖，伞.“牟合方盖”为中轴线在中点垂直相交的南个相同的圆柱体的公共部分，由于它的形状如把两个方口圆顶的伞对合在一起，故取名“牟合方盖”。




牟合方盖动态图演示

牟合方盖动态图演示

　　牟合方盖听名字是不是非常陌生，这是我国古代数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式，他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误，虽然最终并没有实现，但是这个发现有着重要的意义，下面和小编一起看看吧。



　　牟合方盖


　　






　　这是我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。




　　基本理论




　　其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是牟合方盖，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为：4，他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道牟合方盖的体积跟内接球体体积的比为4：，只要有方法找出牟合方盖的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出外棋的体积，但由于外棋的形状复杂，所以没有成功，无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：




　　






　　观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。




　　但是在刘徽后二百多年贤能之士才出现，这就是中国伟大数学家袓冲之和他的儿子祖暅，他们继承了刘徽的想法，还利用了牟合方盖彻底地解决了球体体积公式的问题。




　　重要发现




　　






　　主要是使用的三个外棋的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为r的正立方体组成的大正立方体，然后用制作牟合方盖的方法把这大正立方体分割，再取其中一个小正立方体部分作分析，分割的结果将跟右图所示的相同，白色部分称为小牟合方盖，它的体积为牟合方盖的八分之一，而紫红、黄和青色的部分便是三个外棋。




　　






　　祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h，三个外?的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a，因此根据勾股定理有：




　　a=r-h




　　另外，因为




　　S=r-a




　　所以




　　S=r-(r-h)=h




　　于所有的h来说，这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥，倒过来立着，与三个外棋的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对于任何的h，方锥截面面积也必为h。换句话说，虽然方锥跟三个外棋的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了，所以祖氏云：




　　缘幂势既同，则积不容异。




　　






　　所以




　　外棋体积之和=方锥体积=小立方体体积/3=r/3




　　即




　　小牟合方盖体积= 2r/3




　　牟合方盖体积=16r/3




　　因此




　　球体体积=(/4)(16r/3)=4r/3




　　这条公式也就是正式的球体体积公式。




　　


　　牟合方盖的意义

　　祖暅利用“牟合方盖”的体积，推得了球的体积公式.这方法虽然较用微积分方法推演球体积公式复杂，但在一千五百年前就解决了球体积公式，不愧是数学丈上一个巨大的成就。
　　“牟合方盖” 是刘徽研究球积公式时创建的几何模型, 这一模型的建立,为最后获得球积公式提供了充分条件。

　　在西方与祖暅原理相似的原理被称为“卡瓦列里原理"。卡瓦列里是意 大利数学家，他在1635年出版了他的数学名著《连续不可分几何》，“卡瓦 列里原理”正是在这本著作中提出的。可见祖暅理比卡氏原理早1000 多年。




　　结语：牟合方盖是中国古代人民智慧的结晶，学习这些才能更好的了解数学知识，并且达到触类旁通的效果。