无限循环小数悖论如何解决

揭秘者

　　数学史上的第四次危机：无限循环小数悖论，说到数学史上三大重要危机，大家应该都有所耳闻。但是说到第四次可能很多人都摸不着头脑，实际上第四次危机爆发时间至今已经20多年了，不过当时因为网络不发达的缘故，所以不为人所知，下面小编带大家深刻了解一下。

　　数学进制的思辨，为什么无限循环小数是有理数?

　　进制的思辨

　　我们把十进位设为标准进制，从而去研究其它进制，例中将不作特别说明。
　　有理数进制中虽进率不同，但标准单位“1”不变。在“1”以内即纯小数计算中，结果的量恒定，例如：
　　三进制中，“0.1”+“0.2”=1;十进制中，0.1+0.9=1。因为标准单位不变，则“0.1+0.2”=“0.1+0.9”=1。若超过单位范围则不成立，例如：
　　1+2=“10”;1+9=10。则1+2不等于1+9。
　　事实上三进制的0.1等于十进制的0.3333……即1/3，这就是为什么无限循环小数是有理数的原因!
　　因此标准单位之内是不同有理数进制的共同交会区。
　　无理数进制非常复杂，这里略论一下：4=“100”是2进制，而5=“100”是√5进制，就是无理数进制，则：“110”=5+√5


　　如图，-1和1就是交会区。从-1向0进发时，由于进制的等级是无穷的，同时单个进制的自我分割也是无穷的，我们将无法到达原点 ;同祥，我们无法从原点到达 A点，但我们可以超越无限A点去接近B点，但我们同样无法到达B点。因而我们只能说以原点为起点，无限远的B大于无限远的A，至于大多少，则在不同标准、不同进制中有不同的确切数字。
　　标准是精细程度，或者说是超越的幅度。无限是流数形成的，也就是微积分的思维基点。

　　“想”永远比“算”深刻多了。只有理解透了，才能“算”得巧妙!”


　　直尺和圆规的辅助工具：割圆曲线
　　中国的兔子追不上乌龟是因为睡着了;西方的兔子无法追上乌龟是因为不能超越无限分割的悖论。
　　东方重情感，西方尚逻辑。情感倾向于社会，逻辑侧重于科学。
　　中国人发明的火药用来做庆祝的炮仗;落到西洋人手里却变成了枪炮。
　　我们在保持中和的时候是不是也要取法他人的激进?
　　鹿与人的距离，对角线单位1为无理数。
　　自然讲数学总要出数学题吧?
　　开方进制中的0.1是多少?为何√5进制中不可能有0.3，以及0.2是多少?当然了这中多少是指在十进制里的。开方无理数进制中通常表示无理数，那么在什么情况下可表示有理数?
　　给一点提示：√5进制中10是无理数，100是自然数。这就为什么它们都是实数的原因了。


　　π虽是实数，但更复杂，因为他是超越数。






　　数学史上的第四次危机




　　第四次数学危机准确来说是数论，主要是说数论的研究对象不仅仅是数。假如有一门学科分别研究：人、树、花，那么这门学科叫花学，相应理论称为花论，实际上这并不合理，主要讨论的还是第三次数学危机，有关集合论的相关问题。




　　






　　集合的类名用集合中的元素命名实际上并不十分合理，虽然强行命名没有太大的关系，但是有些地方还是比较奇怪。




　　无限循环小数悖论




　　无限循环小数是小学数学中的一些知识，在很多时候会出现除不尽的情况，比如




　　19 = 0.111111(数字1无限循环)




　　13 = 0.333333(数字3无限循环)




　　11.3 = 0.769230769230769230(数字串769230无限循环)




　　无限循环小数具有特殊的性质：




　　(1)它的循环体至少有一位数字;




　　(2)它没有最后一位，永远写不到头。




　　无限循环小数0.999更是奇怪。现有的数学体系既能证明它等于1，又能证明它不等于1。




　　我们首先证明无限循环小数0.999等于1。




　　数学课本上写着：无限循环小数可以转化为分数




　　0.111 = 1/9 (1)




　　两边同时乘以9，得




　　0.999 = 9/9 (2)




　　故有




　　0.999 = 1 (3)




　　证毕。




　　现在，我们再证明无限循环小数 0.999 不等于1。




　　设 n 是无限循环小数0.999中9的个数，根据数学归纳法




　　n = 1时，0.9 1成立;




　　n = 2时，0.99 1成立;




　　n = 3时，0.999 1成立;









　　n = 时，0.999 1成立;




　　于是




　　0.999 1 (4)




　　证毕。




　　这两种办法都是现在数学中比较严谨的证明方法，但是得出的结论却截然不同，互相矛盾，这一悖论被称为无限循环小数悖论。这一悖论的出现严重影响了当代数学，并且带来了比较严重的危机，甚至给摧毁当代数学体系。




　　


　　无限循环小数是小学数学中的知识。

　　在某些除法运算中，会发生“除不尽”的现象，小数点后面的数字反复出现，如
　　1÷9 = 0.111111…(数字1无限循环)
　　1÷3 = 0.333333…(数字3无限循环)
　　1÷1.3 = 0.769230769230769230…(数字串769230无限循环)


　　无限循环小数具有特殊的性质：

　　(1)它的循环体至少有一位数字;
　　(2)它没有最后一位，永远写不到头。
　　无限循环小数0.999…更是奇怪。现有的数学体系既能证明它等于1，又能证明它不等于1。
　　我们首先证明无限循环小数0.999…等于1。

　　数学课本上写着：无限循环小数可以转化为分数

　　0.111… = 1/9 (1)
　　两边同时乘以9，得
　　0.999… = 9/9 (2)
　　故有
　　0.999… = 1 (3)

　　证毕。

　　现在，我们再证明无限循环小数 0.999… 不等于1。
　　设 n 是无限循环小数0.999…中9的个数，根据数学归纳法

　　n = 1时，0.9 ≠ 1成立;
　　n = 2时，0.99 ≠ 1成立;
　　n = 3时，0.999 ≠ 1成立;
　　……
　　n = ∞时，0.999… ≠ 1成立;
　　于是
　　0.999… ≠ 1 (4)
　　证毕。

　　两种方法都是现代数学中最严谨的证明，无懈可击，但结论却互相矛盾，这是 “悖论” 的典型特征，它表明现有的数学理论体系存在着非常严重的缺陷。为了方便，我们称无限循环小数0.999…所引起的这一悖论为“无限循环小数悖论”。

　　这一悖论的出现，给当代数学带来严重的危机，足以动摇数学的基础，甚至可能彻底摧毁现代数学体系。

　　在人类数学的发展史上，以悖论为标志，曾经出现过三次严重的危机，每一次都极大地改变了数学的面貌。第一次是由勾股定理引发的无理数危机，第二次是由微积分引发的无穷小危机，第三次是由无穷集合论引发的最大集合危机，2017年又出现了“无限循环小数悖论”，简称“第四次数学危机”。可以预见，古老的数学即将迎来一场疾风骤雨的洗礼，在旧理论、旧观念的废墟中获得脱胎换骨的新生。






　　结语：在人类数学的发展中，一共出现了三次比较严重的危机，每一次都为数学带来了更多的发展，可以预见经过这次悖论，数学将更加发展进步。