值得留意的是,三维空间中,立方体内接球体所占的空间比例小于二维空间正方形内接圆所占的比例,照此类比,随着空间维度的增加,这个比例会减小,也就是说,随着 n 的增大,n 维球体占据的 n 维空间越来越小。
这个问题可以利用微积分来详细计算,但是这里也可以利用角的数目来理解。在每个维度中,我们都在 n 维的立方体中插入了 n 维的球体。球体的边接触了立方体的面,但是没有接触立方体的角,这代表立方体的每个角附近的区域都是在立方体的内部,球体的外部。但是一个 n 维的盒子中,有 个角,这代表随着 n 的增加,球体未覆盖的部分呈指数增长。不仅如此,角之间的距离和球体之间的距离也会随之增长。这代表着,从长远来看,n 维立方体内部,n 维球体外部的空间会越来越多,使得球体所占的空间相比越来越少。