天体力学之二体问题

Holily1985

概述

顾名思义，“二体问题”就是解决是两个天体之间的力学问题。
二体问题是一个近似模型，前提是，作为研究对象的两个天体，之间的引力足够大，大到其它星体的引力可以忽略不计。
比如在太阳系中，太阳的质量约占太阳系总质量的99.86%，行星基本上是围绕太阳旋转。因此，太阳系中任意行星的运动方程都可以近似简化为该行星与太阳之间的二体问题。
<hr/>基础知识：

1、引力公式
F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\\ 其中： G 为引力常量， m_{1} 、 m_{2} 分别为两个物体的质量， r 为两个物体之间的距离
2、常用导数V=\frac{dS}{dt}=\dot{S}\\a=\frac{dV}{dt}=\dot{V}=\ddot{S}\\ 对行程求导是速度，对速度求导是加速度
3、动量矩


L=mv·r\\ 动量矩可以看做是，质量为 m 的物体，在单位之间内向径扫过的面积速度。
<hr/>\xi\eta\zeta 坐标系下的运动方程



建立三维坐标系 \xi\eta\zeta 。
假设太阳的质量为 m_{0} ，瞬时坐标为 (\xi_{0}, \eta_{0}, \zeta_{0}) 。
假设太阳系中有一颗行星叫做 P_{i} ,他的质量为 m_{i} ，瞬时坐标为 (\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}) 。
假设太阳系中，除了 P_{i} 以外，还有 P_{1}、P_{2}、P_{3}...P_{n} ，共 n 颗行星，计作 P_{j} (j=1,2,3...n) ，质量表示为 m_{j} ，瞬时坐标表示为 (\xi_{j}, \eta_{j}, \zeta_{j}) 。
太阳与行星 P_{i} 之间的距离：
\Delta_{0i}=\sqrt{(\xi_{i}-\xi_{0})^2+(\eta_{i}-\eta_{0})^2+(\eta_{i}-\eta_{0})^2}\\ 行星 P_{i} 和行星 P_{j} 之间的距离：
\Delta_{ij}=\sqrt{(\xi_{j}-\xi_{i})^2+(\eta_{j}-\eta_{i})^2+(\eta_{j}-\eta_{i})^2}\\太阳在宇宙中并非静止不动，而是裹挟着太阳系内的众多行星，围绕银河系中心旋转。假设在 \Delta_{t} 时间内，太阳从坐标0点运动到(\xi_{0}, \eta_{0}, \zeta_{0})，则太阳在行星引力下的运动方程，可以通过 \xi 轴、 \eta 轴、 \zeta 轴的分量来表示为：
m_{0}\ddot{\xi_{0}}=G\frac{m_{0}m_{i}}{{\Delta_{0i}}^2}\cdot{\frac{\xi_{i}-\xi_{0}}{\Delta_{0i}}}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{0}m_{j}}{{\Delta_{0j}}^2}\cdot{\frac{\xi_{j}-\xi_{0}}{\Delta_{0j}}}}\\ =G\frac{m_{0}m_{i}}{{\Delta_{0i}}^3}({\xi_{i}-\xi_{0}})+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{0}m_{j}}{{\Delta_{0j}}^3}}(\xi_{j}-\xi_{0})\\
m_{0}\ddot{\eta_{0}}=G\frac{m_{0}m_{i}}{{\Delta_{0i}}^3}({\eta_{i}-\eta_{0}})+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{0}m_{j}}{{\Delta_{0j}}^3}}(\eta_{j}-\eta_{0})\\m_{0}\ddot{\zeta_{0}}=G\frac{m_{0}m_{i}}{{\Delta_{0i}}^3}({\zeta_{i}-\zeta_{0}})+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{0}m_{j}}{{\Delta_{0j}}^3}}(\zeta_{j}-\zeta_{0})\\
……(1)\\
行星 P_{i} 在太阳和其他行星引力下的运动方程，可以通过 \xi 轴、 \eta 轴、 \zeta 轴的分量来表示为：
m_{i}\ddot{\xi_{i}}=G\frac{m_{0}m_{i}}{{\Delta_{0i}}^3}({\xi_{0}-\xi_{i}})+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{i}m_{j}}{{\Delta_{ij}}^3}}(\xi_{j}-\xi_{i})\\m_{i}\ddot{\eta_{i}}=G\frac{m_{0}m_{i}}{{\Delta_{0i}}^3}({\eta_{0}-\eta_{i}})+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{i}m_{j}}{{\Delta_{ij}}^3}}(\eta_{j}-\eta_{i})\\m_{i}\ddot{\zeta_{i}}=G\frac{m_{0}m_{i}}{{\Delta_{0i}}^3}({\zeta_{0}-\zeta_{i}})+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{i}m_{j}}{{\Delta_{ij}}^3}}(\zeta_{j}-\zeta_{i})\\……(2)\\
xyz 坐标系下的二体问题

\xi\eta\zeta 坐标系下的运动方程相对复杂，考虑到太阳的质量约占太阳系总质量的99.86%，行星基本上是围绕太阳旋转，因此不妨以太阳的质量中心为原点，直接讨论行星相对于太阳的运动。
平移坐标系，将\xi\eta\zeta 坐标系的原点，移动到太阳的质量中心。


x_{i}=\xi_{i}-\xi_{0}， y_{i}=\eta_{i}-\eta_{0}，z_{i}=\zeta_{i}-\zeta_{0}\\x_{j}-x_{i}=\xi_{j}-\xi_{i}， y_{j}-y_{i}=\eta_{j}-\eta_{i}，z_{j}-z_{i}=\zeta_{j}-\zeta_{i}\\\Delta_{0i}=\sqrt{x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2}=r_{i}\\\Delta_{ij}=\sqrt{(x_{j}-x_{i})^2+(y_{j}-y_{i})^2+(z_{j}-z_{i})^2}\\ 公式(1)改写为：
m_{0}\ddot{\xi_{0}} =G\frac{m_{0}m_{i}}{{r_{i}}^3}x_{i}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{0}m_{j}}{{r_{j}}^3}}x_{j}\\ \ddot{\xi_{0}} =G\frac{m_{i}}{{r_{i}}^3}x_{i}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{j}}{{r_{j}}^3}}x_{j}\\\ddot{\eta_{0}} =G\frac{m_{i}}{{r_{i}}^3}y_{i}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{j}}{{r_{j}}^3}}y_{j}\\\ddot{\zeta_{0}} =G\frac{m_{i}}{{r_{i}}^3}z_{i}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{j}}{{r_{j}}^3}}z_{j}\\
公式(2)改写为：
\ddot{\xi_{i}}=-G\frac{m_{0}}{{r_{i}}^3}x_{i}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{j}}{{\Delta_{ij}}^3}}(x_{j}-x_{i})\\\ddot{\eta_{i}}=-G\frac{m_{0}}{{r_{i}}^3}y_{i}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{j}}{{\Delta_{ij}}^3}}(y_{j}-y_{i})\\\ddot{\zeta_{i}}=-G\frac{m_{0}}{{r_{i}}^3}z_{i}+\sum_{j=1}^{n}{G\frac{m_{j}}{{\Delta_{ij}}^3}}(z_{j}-z_{i})\\ 则
\ddot{x_{i}}=\ddot{\xi_{i}}-\ddot{\xi_{0}}=-G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^3}x_{i}+\sum_{j=1}^{n}{Gm_{j}(\frac{x_{j}-x_{i}}{{\Delta_{ij}}^3}}-\frac{x_{j}}{{r_{j}}^3})\\\ddot{z_{i}}=\ddot{\zeta_{i}}-\ddot{\zeta_{0}}=-G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^3}z_{i}+\sum_{j=1}^{n}{Gm_{j}(\frac{z_{j}-z_{i}}{{\Delta_{ij}}^3}}-\frac{z_{j}}{{r_{j}}^3})\\\ddot{y_{i}}=\ddot{\eta_{i}}-\ddot{\eta_{0}}=-G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^3}y_{i}+\sum_{j=1}^{n}{Gm_{j}(\frac{y_{j}-y_{i}}{{\Delta_{ij}}^3}}-\frac{y_{j}}{{r_{j}}^3})\\ 由于太阳的质量约占太阳系总质量的99.86%，因此其他行星对行星 P_{i} 的引力基本上可以忽略。所以，令 m_{j}=0 ，得到：
\ddot{x_{i}}+G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^3}x_{i}=0\tag{3}\ddot{y_{i}}+G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^3}y_{i}=0\\\tag{4}\ddot{z_{i}}+G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^3}z_{i}=0\\\tag{5}
面积速度

(4)乘以 x_{i} ，减(3)乘以 y_{i} ，得到：\ddot{y_{i}}x_{i}-\ddot{x_{i}}y_{i}=0\\ 上式中， x_{i} 和 y_{i} 是行程， \ddot{x_{i}} 和 \ddot{y_{i}} 是关于时间的二阶导数，即：
\frac{d}{dt}(\dot{y_{i}}x_{i}-\dot{x_{i}}y_{i})=0\\ 因此\dot{y_{i}}x_{i}-\dot{x_{i}}y_{i}=D_{1}\\\tag{6} 同理
\dot{x_{i}}z_{i}-\dot{z_{i}}x_{i}=D_{2}\\\tag{7}\dot{z_{i}}y_{i}-\dot{y_{i}}z_{i}=D_{3}\\\tag{8} (6)、(7)、(8)是两边消去质量因子的动量矩积分。如下图所示，行星 P_{i} 围绕太阳旋转，圆周切线上的线速度，可以分解为沿 x轴方向的 -\dot{x_{i}} ，以及沿 y轴方向的 \dot{y_{i}}。
其中，绿色三角形所围面积速度为 -\frac{1}{2}\dot{x_{i}}y_{i} ，黄色三角形所围面积速度为 \frac{1}{2}\dot{y_{i}}x_{i} 。由此可见， D_{2} 为向径扫过面积速度的2倍。
因此， D_{1} 、 D_{2} 、 D_{3} 又称作面积常数。



能量积分

{r_{i}}^2=x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2\\ 对上式两边求导，得到：
r_{i}\dot{r_{i}}=x_{i}\dot{x_{i}}+y_{i}\dot{y_{i}}+z_{i}\dot{z_{i}}\\\tag{9}
根据能量守恒定律，公式(3)乘以 \dot{x_{i}} ，加上(4)乘以 \dot{y_{i}}，加上(5)乘以 \dot{z_{i}}，得到：\ddot{x_{i}}\dot{x_{i}}+\ddot{y_{i}}\dot{y_{i}}+\ddot{z_{i}}\dot{z_{i}}=-G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^3}({x_{i}{\dot{x_{i}}}+{y_{i}{\dot{y_{i}}}}}+{z_{i}{\dot{z_{i}}}})=-G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}^2}\dot{r_{i}}\\
对上式两边积分，得到：
\frac{1}{2}({\dot{x_{i}}}^2+{\dot{y_{i}}}^2+{\dot{z_{i}}}^2) =G\frac{m_{0}+m_{i}}{{r_{i}}}+K\\

参考文献
《天体力学》，上海科学技术出版社，赵进义