如何理解 Grothendieck 宇宙？

冯武鸣

在阅读李文威《代数学方法》中，提到了 Grothendieck 宇宙这个概念。按照我的理解，一个宇宙是一个很大很大的集合，如果 A、B 在宇宙里面，那么 A 和 B 的所有运算也都在集合里面，就是说 Grothendieck 宇宙是一个关于集合运算封闭的集合。
但是这一段，不是很好理解：
对于强不可达基数 \kappa，宇宙U:= V{\kappa} …… 构成了 ZFC 的一个模型，相当于在集合论内部虚拟地运行了一套集合论。不妨这么看：若把 V 的元素看作「集合」，则就模型 (V,\in) 观之，「类」就是 V{\kappa+1} = P(V_kappa) 的元素。
根据我的理解，集合和不是集合的类，是泾渭分明的。比如全体集合合在一起，形成的东西，就不是集合。但是按照李文威在《代数学方法》中的表达，似乎在某个宇宙里面，全体集合本身也是一个集合。怎么去理解这个东西？如果在一个宇宙里面，所有集合是一个集合，那么怎样规避罗素悖论？

凑热闹好玩岳

很简单，之所以存在大到不能为集合的汇集，是因为这个集合的概念不够强大。当我们把这种真类也断定为集合时，或不断地允许“…的集合”迭代，我们就获得了更强的集合概念。所谓集合的大小取决于势，而基数定义来自于公理，“一切”这种全称量词不过是遍历系统的论域，系统能够构造的基数均处于这个论域当中，也就是通常所谓的真类。当我能够构造更强大的基数时，足够充当该论域的基数时，那么在我看来真类也不过是一个集合了。特别地，系统无法自证一致性，而大基数的存在则能。可以说汝之一切所能涵盖的范围若能包括这种集合，只能说明你的集合概念是不一致的。实际上，断言真类是某种大基数都能够获得更强的证明论强度。
事实上，只要你的系统足够弱，自然数集都能够成为一切集合的类。
在去掉无穷公理的ZFC中，Vω就是全域。
在去掉幂集公理的ZFC中，Vω+1就是全域。
在去掉替换公理的ZC中，Vω·2就是全域。
无他，因为你没有定义。
古人谈论之一切与现代人谈论的一切有着明显的不同，而这并不妨碍他们谈论本体论。只是相衬之下，我们活在一个形而上的世界中这一事实难免会感到有些怪异。
综上所述，我们谈论的一切集合的总体V实际上总是V的前段Vα。无他，因为你总能管更大的汇总叫“集合”，所以那些关于真类或超类的理论总能被转述进另一个集合论中。不然为这些新汇总一个个取新名也行，但总的来说，你的命名总是不够用的，而命名什么的数学真的不计较。因为不管叫什么，都无损于全新表达的数学实体。

兔仔妹致

解释起来可能需要一些集合论和一阶逻辑的知识。
所有集合的全域可以如下递归地的定义：
， 是空集
，  是任意序数
  ， 是极限序数。
最后令 ，ON是所有序数的类。在  里可以证明 就是所有集合的全域。
对任意集合 x，可以定义x在全域V中的秩， ，可以证明对每一序数  ，  就是那些所有秩小于  的集合构成的集合，即 。直观的说，每个集合都是由幂集算子沿着序数不断迭代产生的，每个集合都在V的某个序数前段中被创造出来。而类可能无法属于任何一个序数前段（即  )，真类与集合全域V一样“高”。
设  是一个强不可达基数，那么  就是一个Grothendieck宇宙。并且，我们可以证明  是  的一个传递模型。在假设选择公理的情况下，  也是 的一个传递模型。反过来，假设 是一个Grothendieck宇宙，那么它的基数 是强不可达的并且 ，其中 。因此，存在Grothendieck宇宙与存在强不可达基数是等价的。
虽然也是V的一个序数前段，但是  对于它之下的那些序数是“不可达的”。对于  之下的那些序数来说，  就像所有序数的类ON一样，而  对于那些属于  的集合（即秩小于  的集合）就像所有集合的全域V一样。
所以，在范畴论里将某个宇宙U元素称为“集合”无非就是指那些秩小于某个强不可达基数的集合而已。
通过假设存在Grothendick宇宙U，我们可以自由地谈论那些（相对于ZFC的）“大范畴”。通常，我们会添加Tarski-Gronthendieck公理：
                    对任意集合x，都存在一个宇宙U，使得 。
即每个集合属于某一个强不可达基数前段  。由简单的绝对性论证可知，对一个强不可达基数  ，在一个比  更高的强不可达基数前段  中仍然被  认为是强不可达基数。
对任意一个宇宙U，定义U-small集合就是U中元素，U-large集合就是U的子集（相对于U的类），但是U-large集合在某个比U更大的宇宙里又是“小集合”了。类似的可以定义U-small范畴和U-large范畴。这样在使用范畴论的时候，我们总可以在一个足够大的Grothendieck宇宙中工作，从而避免在ZFC中无法直接操作大范畴的困难。

未来看得见吗敲

建议把 Grothendieck 宇宙想象成一种广义的“代数结构”。就拿群来打个比方吧，一个群可以包含其他子群，也可以以其他群为元素。一个群不以自己为元素并不妨碍它会成为一个更大的群的元素。这些没有什么稀奇的，对吧？现在回到 Grothendieck 宇宙，实际上每个 Grothendieck 宇宙对应着一个“集合的范畴”。对一个“集合的范畴”来说，它自身可以是一个更大的“集合的范畴”里的对象。对一个“集合的范畴”，我们也可以从中挑选出一些对象，考虑一个子范畴，而且这个子范畴满足“集合的范畴”的条件。这就相当于在一个 Grothendieck 宇宙里划出了一个小宇宙来。