宇宙学入门

三个捌

全文约11,000字
上学期最后一次学术沙龙是由 @兎旻旻 带来的“宇宙学入门”，本文以讲座内容为基础，有所补充。
上世纪广义相对论的提出使人们了解宇宙成为可能：从广义相对论得到宇宙线性演化的解。另一方面，哈勃定律、大爆炸核合成和宇宙微波背景辐射（CMB）的发现从观测上肯定了宇宙学的潜力，使得宇宙学成为一门重要的科学。
文章第一部分讲述宇宙基本图景，通过介绍宇宙学标准模型和宇宙动力学方程，给出人们对宇宙能量组成与演化的认识。第二部分为微波背景辐射简介，简述CMB的发现、观测与应用，主要说明其角功率谱中声学峰蕴含的宇宙学参数的信息。
<hr/>1 基本图景

1.1 宇宙学标准模型

• 宇宙学原理(cosmological principle)：宇宙在大尺度结构上是均匀和各向同性的。各向同性说明宇宙各个方向膨胀速率相同，均匀表明宇宙的度规与位置无关。例如，Sache-Wolfe效应指出，在哈勃长度的尺度下（约4000Mpc，银河系半径为31~55kpc），宇宙质量分布的涨落应满足 \delta M/M<10^{-4} 。这一个假设已经被今天的观测结果所证实。
  
• 宇宙由一个黑体辐射主导质量的致密炽热态膨胀演化而来，今天宇宙的膨胀速度满足哈勃定律： v=H_{0}d
  
• 膨胀宇宙的动力学由爱因斯坦的广义相对论所描述，物理学定律具有普适性
  

宇宙学标准模型也称为大爆炸宇宙学模型，该模型的成功基于三大观测事实：证实宇宙膨胀的哈勃定律、来自宇宙早期的微波背景辐射、与大爆炸核合成相符的轻元素丰度。这三大观测事实给宇宙学标准模型打下了坚实的基础，但仍有很多尚待解决的问题，这里简单列出几个主要方向：

• 暗物质与暗能量的理论，如何描述暗物质粒子的性质，如何理解暗能量的存在
  
• 对早期宇宙微小扰动演化成今天的大尺度结构的描述
  
• 对宇宙诞生极早期存在的暴涨现象(inflation)的理解
  

宇宙演化历史示意图

1.2 基本方程
1.2.1 共动距离与FRW度规
人们引入尺度因子 a(t) 来描述宇宙的膨胀，规定今天的宇宙中 a=1 ，定义共动距离(comoving distance) d_{com}=d_{phy}/a 为不随宇宙膨胀改变的距离，其中 d_{phy} 为宇宙中的真实距离，称之为物理距离(physical distance)，规定零点后也可以类似定义共动坐标，如下图。



共动距离与物理距离示意图（来源：S. Dodelson）

基于宇宙学原理，在数学上可以证明，时空度规可以化为：
ds^2=dt^2-a(t)^2(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\Omega)  
即著名的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)度规，其中 r,\Omega 均为共动坐标， k 为曲率参数，k=0,1,-1 分别对应平坦、闭合和开放。构建好宇宙学度规后，通过爱因斯坦场方程即可导出 a(t) 的关系式——宇宙动力学方程。
1.2.2 宇宙动力学方程
Einstein场方程将时空几何与物质分布联系了起来，其具体形式如下：（由于暗能量的存在，宇宙常数项也应纳入考虑）
G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=8\pi G T_{\mu\nu}
其中 G_{\mu\upsilon} 为Einstein张量， R_{\mu\upsilon} 是Ricci张量，由度规及导数决定， R 是Ricci标量，是Ricci张量的收缩，G是万有引力常数， T_{\mu\nu} 是能动量张量， \Lambda 为宇宙学常数。
时空对称性给出了宇宙的度规，宇宙介质可以看作理想的流体，其能动量张量可表示为： T^{\mu\nu}=(\rho+p)U^{\mu}U^{\nu}+pg^{\mu\nu} ，其中 U^{\mu}=(1,0,0,0) , \rho 和 p 分别代表能量密度与压强。将度规与能动量张量表达式代入Einstein场方程，可得到两个独立的方程：（采用自然单位制）
(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho+\frac{\Lambda}{3}-\frac{k}{a^2}
\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho+3p)+\frac{\Lambda}{3}
这两个方程即Friedmann方程（也有人只以此代表第一个方程，这里参考wikipedia的说法），它表明宇宙的膨胀由物质项、宇宙常数项以及曲率项共同驱动。
定义哈勃参量(Hubble parameter)： H(t)=\dot{a} / a ，人们常说的哈勃常数 H_{0} 是今天宇宙的 H 值，其值大约在 60\sim80km\cdot s^{-1}\cdot Mpc^{-1} 。另外，人们也常常使用约化哈勃常数 h\equiv H_{0}/(100km\cdot s^{-1}\cdot Mpc^{-1})
将Friedmann方程中第一个方程代入第二个，可以得到密度演化的关系式： \dot{\rho}=-3H(\rho+p) ，这个式子也可由能量守恒定律： \partial_{\mu} T^{\mu\nu}=0 直接得到。
1.2.3 能量组成与演化
从Friedmann方程可以看出，宇宙演化的行为依赖于其组分的性质：

• 重子(baryons)：主要指质子和中子，有的语境下也包含电子（考虑到宇宙是电中性的，电子与质子中子数目相同，故电子总质量相对质子中子可以忽略不计），有时为了强调，也将质子与中子统称为核子。重子组成了我们所熟悉的星体与星系。重子是非相对论性的，宇宙间绝大部分重子的速度远远小于光速。
  
• 中微子：一种轻子，电中性，质量接近于零，只参与弱相互作用与引力作用，故极难捕获。因为其质量占比极小，故往往忽略其影响。
  
• 辐射：即光子。光子可与重子、电子相互作用，当质子与电子结合形成中性氢时，对光子几乎透明。在下文的能量密度与尺度因子关系图中可以看到，今天宇宙辐射能量占比可以忽略不计。
  
• 暗物质：星系的旋转曲线、星系团对光的引力透镜效应、宇宙的大尺度结构的形成、微波背景辐射等观测结果均表明了一种“暗重子”的存在：其密度参数大大超过已知的物质（重子），但不参与电磁相互作用，无法被直接观测，故称其“暗物质”。人们可以通过引力效应间接推算暗物质的存在与分布，但很难从现有的粒子模型中找到暗物质的对应体，其中很可能蕴含着新的物理。
  
• 暗能量：上世纪90年代，宇宙加速膨胀的发现表明存在一种新的能量组分，其主导着今天宇宙的能量密度，人们称之为“暗能量”。最简单也是最为接受的暗能量候选者为真空能，在Einstein场方程中由宇宙常数项表示。真空能密度具有时间不变性与空间平滑性，与现有数据吻合较好。不过，人们也提出了一些其它的暗能量模型，如演化标量场、对广义相对论的修正等等。
  

宇宙各组分占比

人们将上述各个组分的影响对宇宙演化的影响分离列出：宇宙学中习惯以临界密度(critical density): \rho_{c}\equiv\ 3H^2/(8\pi G) 为单位表示宇宙的密度参量，则第一个方程可化为：
1=\Omega_{M}(t)+\Omega_{\Lambda}(t)+\Omega_{k}(t)
其中 \Omega_{M}(t)=\rho/\rho_{c} ， \Omega_{\Lambda}(t)=\Lambda / (3H^{2}) ， \Omega_{k}(t)=-k/(a^2H^2) 分别对应宇宙平均物质密度（辐射、重子与暗物质）、宇宙学常数和时空曲率的贡献。
宇宙介质可以视作理想的流体，即 p\propto \rho 。设 p=w\rho，w 为无量纲参数，代入Friedmann方程，考虑宇宙平坦( k=0 )的情形，可以得到： a\propto t^{2-3(1+w)}以及 \rho \propto a^{-3(1+w)} 。根据热力学理论，气体的压强与密度关系可以表示为： p=\frac{1}{3}\rho \bar{v^2} ，对于非相对论性的重子和暗物质，自然 w\approx 0 ，对于辐射而言， w=1/3 。另外暗能量在宇宙膨胀过程中密度不变，故 w=-1 （这一点还存在争议，也有模型假设 w=w_{0}+w_{a}(1-a) 来研究，本文为了叙述方便，姑且取 w=-1 ）
从而，我们也可以用今天宇宙的密度参量来表示第一个方程，即：
\frac{H^2}{H_{0}^{2}}=\Omega_{0,R}a^{-4}+\Omega_{0,M}a^{-3}+\Omega_{0,k}a^{-2}+\Omega_{0,\Lambda}
其中 \Omega_{0,R} 为今天宇宙的辐射密度，\Omega_{0,M} 为今天的物质（重子与暗物质）密度，其余记号含义与前文相同，下标“0”代指今天的宇宙。



各个组分能量密度与尺度因子关系示意图（来源：S. Dodelson）

1.3 重要概念
1.3.1 红移
光谱（电磁波谱）是获取天体信息的主要渠道，这些光子来自宇宙过去不同时期的遥远星系，想要获取遥远光源的信息，其红移是一个重要参数。考察光子能量与尺度因子的关系，前文已经证明，对于辐射，其能量密度 \rho \propto a^{-4} ，而其数密度 n\propto a^{3} ，故有 E\propto a^{-1}
这意味着光子能量与尺度因子成反比，一个从 t_{i} 时刻发射、波长为 \lambda_{i} 的光子在今天所观测到的波长为 \lambda_{0}=\lambda_{i}/a(t_{i}) ，于是定义红移(redshift) z 为：z=(\lambda_{0}-\lambda_{i})/\lambda_{i} ，尺度因子可表示为： a(t)=1/(1+z) 。红移与时间的关系 z(t) 是将宇宙膨胀参数化的另一种方法。
1.3.2 时间
一束从宇宙大爆炸时刻发射的光，经过漫长的时间被今天（记为 t_{0} ）的人们所观测到，其走过的共动距离为（采用自然单位制）：
\eta\equiv\int_{0}^{t_{0}}\frac{1}{a(t)}dt
其物理意义为共动视界（comving horizon），人们只能观测到视界以内的事件；也可以将 \eta 视作时间单位，称之为共形时间(conformal time)。宇宙扰动理论中常常用 \eta 代替 t ，时空度规变为： ds^2=a^2(\eta)[d\eta^2-dr^2/(1-kr^2)-r^2d\Omega] ，其中 a^2(\eta) 是共形变换（保角变换）。
1.3.3 距离
从尺度因子为 a_{i} 处的天体发出的光被今天的人们所观测到，其运动的共动距离可以表示为：
\chi=\int_{t_{i}}^{t_{0}}\frac{1}{a(t)}dt=\int_{a_{i}}^{1}\frac{1}{a^2H(a)}da=\int_{0}^{z_{i}}\frac{1}{H(z)}dz
光速是有限的，当我们观测共动坐标 r=r_{1} 处的天体时，我们实际上观测的是 t_{1} 时刻尺度因子为 a_{1} 的宇宙，这些参量并不能直接观测获取。

• 角直径距离 d_{A}
  

d_{A}\equiv\frac{l}{\theta}
其中 l 为光源的直径， \theta 为其张角。注意到我们所观测到光源直径的信息来自尺度因子为 a 时的宇宙，故 d_{A}=a\chi=\chi/(1+z)

• 光度距离 d_{L}
  

d_{L}\equiv(\frac{L}{4\pi F})^{1/2}
其中 L 表示光度，表征物体每单位时间内辐射出的总能量。F 表示亮度，为光源在给定方向上单位面积所发出的的光通量。一般而言光源发光是球对称的，故在没有膨胀的平坦宇宙中，一个光度为 L 的光源在距离 r 处的亮度 F 满足： L=4\pi r^2F
我们来推导光度距离与红移、角直径距离的关系。根据Liouville定理，光子相空间分布函数 f=1/[exp(E_{i}/kT)-1] 沿系统轨迹不变，而光子能量与尺度因子成反比，则黑体辐射温度变化为： T_{0}=T/(1+z) 。注意到光度为天体当时发光的光度，亮度为今天所测的亮度，由Stefan-Boltzmann定律，天体辐射的光度 L=4\pi (l/2)^2\sigma T^4 ，则可以得到 d_{L}=d_{A}a^2=d_{A}(1+z)^2
通过共动距离 \chi(a) 的计算式以及关于哈勃参量的方程： H^2=H_{0}^{2}(\Omega_{0,R}a^{-4}+\Omega_{0,M}a^{-3}+\Omega_{0,k}a^{-2}+\Omega_{0,\Lambda}) ，在 \Omega_{0,M},\Omega_{0,R},\Omega_{0,k},\Omega_{0,\Lambda} 这些宇宙组分的密度参数被确定的情况下，将尺度因子 a 替换为可观测量 z ，便可以得到光度距离与红移 z 的关系d_{L}=f(z) ，测得天体的红移 z 与亮度 F ，即可计算出其光度。光度涉及到光度方程、天体的演化等等方面的研究，是描述天体的重要参数。这是光度距离的最常见的应用。
对于光度或直径已知的天体（前者称为“标准烛光”，后者称为“标准尺”），可以直接得到其光度距离或角直径距离，测得红移后，便可反过来估计宇宙学参数，如 H_{0},\Omega_{0,M},\Omega_{\Lambda}
2 宇宙微波背景辐射简介

2.1 CMB的形成
早期的宇宙由炽热而致密的电子、重子等离子体组成，光子在其中穿行不息。由于电子与质子通过库伦作用相耦合、光子与电子通过康普顿散射相耦合，故彼此之间无法相互远离，整体上形成了相对论性的高速流体。
大约30万年过去，随着宇宙的膨胀，等离子体温度降低至3000K（约0.26eV，氢原子的第一电离能为13.6eV，但由于较高的光子/重子比，在此之前产生的氢原子会迅速被高能光子电离），宇宙逐渐进入重结合时期(recombination epoch)，自由电子与质子结合形成中性氢原子，光子退耦合，得以在宇宙中自由地穿行。随着宇宙的膨胀，这些高能光子波长逐渐变长成微波，即是今天所观察到的微波背景辐射，Planck望远镜实际观测所给出的平均温度为2.7255K。



本图给出重结合时期自由电子数目与红移、温度的关系。纵轴代表自由电子与氢原子核数目之比，Saha线表示用Saha近似给出的平衡态下自由电子占比的变化，可以给出重结合时期对应的红移（来源：S. Dodelson）

2.2 CMB的历史
1948年，前苏联宇宙学家George Gamow提出热大爆炸理论，并且以此预言了来自宇宙极早期的热大爆炸余晖，指出宇宙微波背景辐射的探测是检验热大爆炸理论的重要手段。两位美国科学家Ralph Alpher和Robert Herman估计出CMB的温度约为5K左右，之后前苏联天体物理学家Yakov Zel'dovich和美国科学家Robert Dicke也先后理论计算出CMB的温度。1964年美国普林斯顿大学的R. Dicke和P. J. E. Peebles等人已经开始进行实验，利用微波辐射计来测量CMB的温度。
同年，贝尔实验室的A. Penzias和R. W. Wilson在调试一个为回声卫星计划而建造的20英尺角形反射天线时，在射电波段意外发现了约为3.5K的过剩天线温度。该“噪声”非常微弱，但是始终存在，在排除了来自天线内部或临近环境的可能性后，他们肯定这一各向同性、非极化的、与地点和季节无关的辐射是来自宇宙远处，与R. Dicke和P. J. E. Peebles等人讨论后证实这正是他们在寻找的微波背景辐射。这一发现使A. Penzias和R. W. Wilson荣获1978年诺贝尔物理学奖。
2.3 CMB的应用
2.3.1 能谱与温度图
在CMB光子自由传播之前，一直处于和电子、重子的热平衡状态中，所以CMB的能谱理论上应该是几乎完美的黑体谱。故早先人们主要是通过多个频率波段上的CMB能谱，来考察是否均为相同辐射温度下的黑体辐射谱。具有黑体谱性质的CMB能谱是宇宙早期高度热平衡的直接证据，其高度各向同性又对应着宇宙早期的高度各向同性，以此可以验证大爆炸理论的正确性。
此外，为了形成今天的宇宙大尺度结构，极早期均匀宇宙的背景上必须有原初密度扰动，随着宇宙的演化，在引力的作用下，原初密度的扰动导致的非均匀性不断增长，形成所观测到的宇宙大尺度结构。而密度的不均匀性体现在CMB温度的各向异性之上：观测来自不同方向的CMB光子，其温度有微小的差别。类似于世界地图的做法，人们将CMB温度函数 T(\vec{n})=T(\theta,\phi) 的分布绘制到二维的温度图上。可以看到，CMB的温度分布具有高度的各向同性，这表明CMB诞生之时宇宙高度的均匀性。通过精确的测量，人们发现CMB的确有着极小量级的各向异性，对应着宇宙原初密度的微小扰动。



普朗克望远镜测得的全频段CMB温度图，红色代表高于平均温度，蓝色则是低于平均温度，可见其涨落低至μK的量级（Planck Collaboration IX 2016）

2.3.2 温度涨落的产生
温度图中的涨落主要来源于三大部分。首先是起源于暴涨阶段的原初密度涨落，其次是小部分光子（比重约为 10^{-4}\sim10^{-5} ）从最后散射截面到今天宇宙的途中与物质的相互作用，最后是银河系内尘埃与气体所造成的影响。我们这里主要聚焦于对第一部分的分析。
2.3.3 涨落的统计描述：角功率谱
定义温度涨落 \frac{\delta T}{T_0}(\theta,\phi)=\frac{T(\theta,\phi)-\langle T\rangle}{\langle T\rangle} ，其中 \theta,\phi 是球坐标中的角度变量。自然的，可以通过球谐函数 Y_{lm}(\theta,\phi) 来分离不同角尺度的温度涨落贡献：
\frac{\delta T}{T_0}(\theta,\phi)=\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} a_{lm}Y_{lm}(\theta,\phi) .
考虑到 \langle \delta T(\theta,\phi) \rangle =0，l 取值从1开始。l=1 对应太阳系相对CMB最后散射截面的运动带来的多普勒效应所产生的偶极子模式，这一项导致的观测偏差约为1/1000，故人们主要考察 l=2 及以上对应的部分。



l=1对应的偶极子模式（来源：Wayne Hu）

CMB光子的温度涨落是一个高斯型的随机变量，该系统可以由其两点关联函数来描述。类似于三维空间中密度功率谱 P(k) 给出标度 k 对密度方差的贡献，定义理论角功率谱:
C_{l}\equiv \langle |a_{lm}|^{2}\rangle=\frac{1}{2l+1}\sum_{m}{  \langle |a_{lm}|^{2}}\rangle
计算温度涨落的方差，可得：
\langle (\frac{\delta T(\theta,\phi)}{T})^2\rangle=\sum_{l}{\frac{2l+1}{4\pi} C_{l}}
以上为理论的角功率谱。而实际情形中，人们并不能得到统计意义上的 \langle |a_{lm}|^{2}\rangle ，故定义观测角功率谱 \hat{C_{l}}= \frac{1}{2l+1}\sum_{m}{ |a_{lm}|^{2}} ，同样，观测所得的温度涨落方差是天球上的均值，计算可得：\frac{1}{4\pi}\int  (\frac{\delta T(\theta,\phi)}{T})^2 d\Omega=\frac{1}{4\pi}\sum_{l}\sum_{m}{|a_{lm}|^{2}}=\sum_{l}{\frac{2l+1}{4\pi} \hat{C_{l}}}
观测谱的均值应与理论相同，即 \langle \hat{C_{l}}\rangle=C_{l} ，而实际上二者并不相同。特定的一段时间里人们只能观测到宇宙的一部分，故很难在整个宇宙的尺度上作统计意义上的观测，因而产生一定偏差，尺度越小偏差越大。人们将 \hat{C_{l}} 与 C_{l} 的方差称为宇宙方差(cosmic variance)。根据高斯随机变量的性质，可以得到： \langle (\hat{C_{l}}-C_{l})^2\rangle=\frac{2}{2l+1}C_{l}^2 ，宇宙方差的存在限制了大角度（小 l ）处将CMB理论值与观测值相比较的精度。
下图给出Planck望远镜观测到的CMB角功率谱。这里的纵轴 D_{l}\equiv T_{0}^2[l(l+1)/(2\pi)]C_{l} ，红点为观测结果，绿线为拟合模型得到的理论曲线，左侧的绿色带代表宇宙方差， l=50 之前为对数坐标，其后为线性坐标。 l=180^{\circ}/\theta 。



温度涨落各向异性功率谱（Planck 2013 results）

2.3.4 重子声学振荡
功率谱中在小角度处(<1^{\circ})显著的峰值与重子声学振荡有关。
重结合时期的重子-光子流体中，引力势阱（主要由暗物质提供）与光子辐射压强的作用使其中的重子产生振动，产生球面波，被称为重子声学振荡。解耦合之前，光子与重子一同向外运动，而暗物质只参与引力作用，故留在球面波中心。



振荡过程示意图

重结合时期结束后，光子与重子解耦，光子离开，重子留在原地形成一个巨大的球形壳，这个球形壳的直径常常被用作标准尺。重子声学振荡对光子温度的影响反映在了CMB的功率谱之中。



此即声波传播的过程。其中蓝色为暗物质，光子为红色与重子为绿色，二者耦合时显示为黄色（来源：E.L.N Wright）

2.3.5 声学峰与宇宙学参数
角功率谱中 l>100 的峰值称为声学峰，声学峰的角尺度和振幅的精确值是通过CMB温度各向异性来确定宇宙学参数的主要途径。
第一声学峰的位置主要与空间曲率相关。
第一声学峰的角尺度对应重子声学振荡的标准尺的张角，因此空间的曲率影响着张角的大小。曲率越低，曲线保持形状的同时峰值位置向更小的角度（更大的 l 值）移动。另外，暗能量的占比也会略微影响峰值的位置。理论计算表明，如果宇宙是平坦的，其第一声学峰峰值的位置应当大约为 1^{\circ}，宇宙是近乎平坦的。下图给出了空间曲率与暗能量变化下角功率谱的变化情形，黄线取 \Omega_{\Lambda}=0，因此右侧的纵坐标表示 1-\Omega_{m}=\Omega_{K} ，蓝线取 \Omega_{k}=0，故 1-\Omega_{m}=\Omega_{\Lambda}



空间曲率、暗能量对温度涨落的影响，左侧纵坐标为温度涨落的标准差，右侧为以临界密度为单位的密度（来源：Wayne Hu）

第一、二声学峰的高度差与重子密度显著有关，对应于重子声学振荡的影响。
先前对于重子声学振荡的讨论中没有强调重子质量和其产生的引力场的影响。实际上，重子的存在给振荡系统增加了引力质量，重子密度越大，震荡系统会被引力拉伸到更远的位置，从而影响CMB光子的温度分布，使奇偶声学峰振幅差值变大。另一方面，重子的惯性质量使得系统振荡的频率降低，从而使功率谱向高 l 处（小角度尺度）有微小的移动。此外，重子也会影响振荡系统的阻尼。重子密度对CMB功率谱的多处影响使得其能被相当精确地测量。
需要注意的是，CMB测得的密度参数是与哈勃常数简并的，简并的解除需要模型的计算。普朗克望远镜2015年的观测数据显示，今天宇宙的重子密度为： \Omega_{b,0}h^2=0.02230\pm0.00014 ，取哈勃约化常数 h=0.6774 ，则 \Omega_{b,0}=0.04860\pm0.00051 ，与测量氘元素原始丰度得到的重子密度 \Omega_{b,0}=0.0491\pm0.0011 相吻合，这两种方法得到同一结果的数据上的吻合代表着大爆炸理论的成功，而重子密度 \Omega_{b,0} 与物质密度 \Omega_{M,0} 的巨大差别也证实了不与光子作用的暗重子（即暗物质）的存在。



重子密度对相邻奇偶声学峰高度差的影响，左侧纵坐标为温度涨落的标准差，右侧为以临界密度为单位的重子密度(来源：Wayne Hu)

人们通过第三声学峰来确定暗物质的密度。
宇宙能量密度为辐射主导时，引力势阱也由其主导，随着宇宙的膨胀，辐射产生的引力势阱衰变，从而增大重子振荡的振幅。而当转为物质主导时，这项效应将消失。考虑到辐射仅仅在宇宙早期主导，声波传播距离较小，故这项效应体现在小尺度的声学峰上。
暗物质密度与辐射密度的比值决定了辐射主导的时间，因而这些声学峰对该比值十分敏感，而辐射的能量密度可从CMB的温度与其黑体谱的性质计算而来，所以可通过这些声学峰来测量暗物质密度。如果第三声学峰被提升到与第二声学峰相当的高度，则说明重结合时期前暗物质主导着物质密度。
另外，暗物质密度也会对声学峰的位置产生微小影响，因为暗物质密度的改变会影响物质和辐射的密度参数，从而影响重子声学振荡中的声波在重结合时期的传播距离，得到暗物质密度后，宇宙空间曲率测量得以进一步精确。
普朗克望远镜2015年的观测数据显示，今天宇宙的暗物质密度 \Omega_{c,0}h^2=0.1188\pm0.0010 ，同样取哈勃约化常数 h=0.6774，\Omega_{c,0}=0.2589\pm0.0057
2.3.6 CMB与宇宙学参数
前面简要介绍了前三个声学峰对宇宙组分的密度参数的限制，除此之外CMB光子的极化、CMB传播过程中的二次涨落效应等等都反映了宇宙的信息。人们将这些宇宙信息与现有的模型结合，对许多重要的宇宙学参数给出了限制，例如哈勃常数 H_{0} 的值。



这里第一栏为CMB测得的宇宙学参数，第二栏为冷暗物质模型中设定的参数，第三栏为通过该模型得到的宇宙学参数（来源：wiki）

参考文献：

• S. Dodelson, Modern Cosmology, Academic Press, 2003
  
• A. Choudhuri, Astrophysics for Physicists, Cambridge University Press, 2010
  
• Chris Hirata, Lecture notes of the Standard Model of cosmology http://www.tapir.caltech.edu/%7Echirata/ph217/lec02.pdf
  
• M. Pettini, Lecture notes of applications of CMB https://people.ast.cam.ac.uk/~pettini/Intro%20Cosmology/Lecture10.pdf
  
• Hannu Kurki-Suonio, Lecture notes of CMB Anisotropy  http://www.courses.physics.helsinki.fi/teor/cosmology/Cosm9.pdf
  
• Lecture notes of CMB, instructed by Prof. Junqing Xia, Beijing Normal University
  
• Wayne Hu, Intermediate Guide to the Acoustic Peaks and Polarization  CMB Intermediate
  
• E.L.N Wright, BAO-cosmology from Ned Wright's Cosmology Tutorial   Baryon Acoustic Oscillation Cosmology
  
• Planck Collaboration (2016). "Planck 2015 Results. I. Overview of products and scientific results". Astronomy & Astrophysics
  

索支较

不错不错。a二阶导那个，用局域能动张量守恒配合H^2的那个方程能导出来。不直接用也没关系

水银泄地邻

嗯，我后面也写了，能动量守恒可以得到密度演化的关系式，而密度演化关系式也可以用Friedmann方程里面的第一个代入第二个得到的，所以是相通的

珍惜637

沙发没了，难受

浓茶人生

兴趣使我点开，知识把我劝退