地球潮汐的推导

人民宫射好宰

上地理课的的时候讲到潮汐，感觉可以建模具体计算一下，于是上课的时候我直接开干了（然后就没听老师接下来讲的导致我洋流完全不会了...）
地球上的潮水分布必然是一个势能最低的分布，因此我们只需要变分得到这个结果就好了。而地球上的水主要受到这几个力作用，太阳引力、离心力，月球引力、离心力，地球引力。
考虑一个上面覆盖一层薄薄水膜的球体也就是地球，它围绕着太阳公转并与月亮一起绕着地月质心旋转。设地球质量为 M_e ，太阳质量 M ，月球质量 m ，地球半径 r ，地日距离 R ，地月距离 l ，地心与地月质心距离 d=\frac{m}{m+M_e}l ，万有引力常数 G ， M>>M_e ，假设都是匀速圆周运动。
以地心O为坐标系原点建立坐标系，令太阳在z轴正方向上，月球在xOz平面上，太阳地球月球夹角为 \alpha ，设地球上一点P，OP与地日夹角为 \theta ，OP在xOy平面上与x轴的夹角为 \phi
设除重力势能之外，地球表面某点 (\theta, \phi) 上单位质量的势能为 e ，那么总能量分布满足 E=\int\int (e+\frac 1 2gh)h\rho\mathrm dA
因此 \delta E=\int\int (e+gh)\delta h\rho\mathrm dA=0
其实这里还有一个约束条件就是地球上的水总量为 Q ，但是这个限制影响的只是潮汐的相对高度而不是绝对高度，因此这里不考虑。
所以可以得到 h=-\frac e g
那么接下来的工作就是求某一点的势能了。
显而易见，太阳引力势能为 -\frac{GM}{\sqrt{R^2-2Rr\cos\theta+r^2}}=-\frac{GM}{R\sqrt{1-2\frac r R\cos\theta+(\frac r R)^2}}
展开取二阶项可以得到 =-\frac{GM}{R\sqrt{1-2\frac r R\cos\theta+(\frac r R)^2}} (1+\frac r R\cos\theta-\frac1 2(\frac r R)^2+\frac 3 2 (\frac r R)^2\cos^2\theta)
然后地球绕日离心势能为 -\frac 1 2 \frac {GM}{R^3}(r^2+R^2-2Rr\cos\theta)
同样可以得到月球引力势能: -\frac{Gm}{\sqrt{r^2+l^2-2rl(sin\theta\cos\phi\sin\alpha+cos\theta\cos\alpha)}}=-\frac{Gm}{l}(1+\frac r l(sin\theta\cos\phi\sin\alpha+cos\theta\cos\alpha)-\frac 1 2(\frac r l)^2+\frac 3 2 (\frac r l)^2(sin\theta\cos\phi\sin\alpha+cos\theta\cos\alpha)^2)
地球绕地月质心的离心势能: -\frac 1 2\frac{G(M_e+m)}{l^3}(r^2+d^2-2rd(sin\theta\cos\phi\sin\alpha+cos\theta\cos\alpha))
加起来并且为了方便计算，把常数项都丢掉，就可以得到 e=-\frac 3 2\frac{GM}{R}(\frac r R)^2\cos^2\theta-\frac 3 2\frac{Gm}{l}(\frac r l)^2(sin\theta\cos\phi\sin\alpha+cos\theta\cos\alpha)^2
于是就可以得到 h=\frac 3 2\frac{GM}{Rg}(\frac r R)^2\cos^2\theta+\frac 3 2\frac{Gm}{lg}(\frac r l)^2(sin\theta\cos\phi\sin\alpha+cos\theta\cos\alpha)^2
带入数值计算可以得到： \frac 3 2\frac{GM}{Rg}(\frac r R)^2=0.22m , \frac 3 2\frac{Gm}{lg}(\frac r l)^2=0.95m
带入 \alpha=0\space\mathrm{or}\space\pi 即日地月三球成一条直线的时候
可以得到 h=0.585cos2\theta+const ( const 为常数项)
因此可以得到潮差为 1.17m
带入 \alpha=\frac\pi 2 即日地月夹角90度时，可以得到
h=-(0.13+0.24cos2\phi)cos2\theta+const
因此最大潮差为 0.75m
理论计算略小于实际，这是可以理解的，因为这里我们只取了二阶项
这是个较为粗略的模型，但是对于建模能力以及计算能力是一个小考验，特此记录。
<hr/>后记：算这个的时候我其实犯了很多次错误，第一次忘记考虑地球重力势能，结果导致压根变分不出来（其实很好理解，因为不考虑重力势能显然所有水集中在e最小的点就是最优结果）
第二次是只取了一阶项，结果应该是0，但是我没有化简到最简（保留了地心与地月质心的距离d），然后在数值计算的时候又过于粗略，结果把一个为0的结果给算成了300多的离谱结果...
然后后面还算错了几次，算出来了几千米的大浪的结果，相比几千米的潮汐，人类早就毁灭了吧（笑）

liuyp1

物竞人？大佬啊

如心所愿1

地球绕日离心势能是不是错了

penguinzhuyun

没有吧，你觉得是什么地方不对

QQYY7788QQ

分母应该是R^3