第十七课 宇宙的膨胀与命运

小玛哥1

主要内容

• 宇宙学原理
  
• 膨胀的宇宙
  
• RW度规
  
• 宇宙的动力学
  
• 宇宙的演化模型
  
• 宇宙膨胀测量
  
• 暗能量
  了解/理解
  
• 奥伯斯佯缪
  
• 爱因斯坦场方程和RW度规
  
• 光度距离和角直径距离
  
• 临界密度和宇宙密度参数
  
• 宇宙加速膨胀
  
• 宇宙组分比例
  

在之前的课程里，我们讨论了行星和小天体、太阳和恒星、银河系和星系这些具体的天体，我们今天来看一下宇宙整体的性质。


要研究宇宙的整体的运动，我们先看一看宇宙里面的物质是如何分布的。从我们的太阳系，到星团、星系、星系团，可以看到宇宙在小尺度上密度极不匀（如太阳系的质量几乎都在太阳上），但随着尺度的增大，可以看到不均匀性越来越弱。
近些年进行了很多大天区巡天，如2dF观测到了200 Mpc，LCO观测到了750 Mpc，而SDSS观测到了1 Gpc的距离。这些大天区巡天发现的巨壁、巨洞、纤维尺度都小于100 Mpc，且没有发现300 Mpc以上的更大结构。


这提供了一个宇宙学原理（假设）：宇宙在足够大尺度上是均匀和各向同性的。
在这里存在“奥伯斯佯缪（Olbers’ paradox）”的问题，即对一个均匀的各相同性的宇宙，假设有无穷多同样亮度的星，则任何一个方向都会看到一个星的亮盘，因此没有黑夜和白天的区别。
奥伯斯佯缪实际上包含了一个隐含假设，即宇宙是稳态、无限的。而实际上，宇宙是膨胀的，我们所观测的远处的星光来自短波段的红移；宇宙大爆炸说明时间存在起点，也说明可视宇宙是有限的。
宇宙大爆炸模型是指：如果宇宙是膨胀的，那么它在过去必然更小。如果逆着时间方向演化宇宙，所有的星系都会越来越近，不可避免的结果是所有的星系和空间最后收于一个温度极高的点。宇宙则是从一个点开始膨胀演化。
虽然宇宙以大爆炸开始，但并不意味着宇宙存在中心。前面提到的宇宙学原理要求宇宙是均匀的，说明宇宙没有边界；而各向同性意味着宇宙没有中心。大爆炸并非在一个原本空旷的宇宙中发生爆炸，膨胀的不只是内部的物质和辐射，而是宇宙空间构架自身。
宇宙大爆炸模型的三个观测证据：哈勃定律（证实宇宙膨胀）、微波背景辐射（来自宇宙早期）、轻元素丰度（与大爆炸核合成相符）。
*问题: 奥伯斯佯谬是什么?对这个问题的认识推翻了我们对宇宙认知的哪些假设?当今宇宙学的基本假设是什么?

【广义相对论场方程和RW度规】
如何定量描述宇宙空间、物质和辐射？
通过广义相对论可以看出，宇宙的时空几何与物质分布相关：
G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}，
其中 G_{μν}为Einstein张量（空间的属性）， R_{μν}是曲率张量（由度规及导数决定），R是曲率标量（是曲率张量的收缩）， g_{μν}是度规张量，Λ为宇宙学常数，G是万有引力常数， T_{μν} 是空间中的能量-动量张量（物质、辐射等组分的密度、压强）。
对均匀、各向同性空间尺度的测量使用Robertson-Walker metric
(ds)^2=(cdt)^2-R^2(t) [\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)]，
其中， R^2(t) 是与时间相关的尺度因子。 k 是空间曲率（space curvature）：k=0为欧几里得空间；k=1为正曲率，是椭球空间/闭宇宙；k=-1为负曲率，是双曲面空间/马鞍面形/开宇宙。中括号内的式子为共动空间（comoving space）的极坐标表达。


*问题: 宇宙作为一个整体可以用广义相对论来研究，其中的FRW度规是干什么的?为什么会有宇宙学红移?什么情况 下会有宇宙学蓝移?

【宇宙学距离】
光子在穿行过程中，会受到宇宙学红移。随着宇宙膨胀，辐射光子的波长被拉长，引起宇宙学红移
1+z\equiv\frac{\lambda_0}{\lambda_1}=\frac{R(t_0)}{R(t_1)}，其中R为尺度因子。人们规定今天的宇宙中 R=1。
宇宙学上有几个比较重要的距离定义：
（1）固有距离dP（physical distance）：通常意义上的真实物理距离，由哈勃定律得出 v=H_0 \times d。固有距离随宇宙膨胀而变化。
（2）共动距离dC（comoving distance）：即光行时间与光速乘积定义的距离。该距离修正了宇宙的膨胀，不随宇宙膨胀而改变。 dC=dP/R(t)，人们规定今天的宇宙中，共动距离和固有距离相等；过去的共动距离等于固有距离乘以1+z（共动距离大于固有距离），将来的共动距离等于固有距离除以1+z（共动距离小于固有距离）。
（3）光度距离dL（luminosity distance）：即光度L与流量F之间成平方反比关系定义的距离, F=L/(4πd_L^2)。一个源在共动坐标 r=r_1于 t_1发光，在r=0于 t=t_0 时接收到的流量由于红移衰减1+z，并由于时间拉长又衰减1+z，而有：
F=\frac{L}{4\pi R^2(t_0)r^2_1(1+z)^2} \Rightarrow d^2_L=R^2(t_0)r^2_1(1+z)^2，即光度距离等于共动距离乘以1+z。
（4）角直径距离dA（angular distance）：即真实尺度D等于角直径δ与距离dA乘积定义的距离。
一个源在共动坐标 r=r_1于 t_1发光，在r=0于 t=t_0时探测到，其角直径为：
\delta=\frac{D}{R(t_1)r_1} \Rightarrow d_A=\frac{D}{\delta}=R(t_1)r_1，即角直径距离等于共动距离除以1+z。
因此， dL=(1+z)^2dA 。只有在静态平直宇宙中，光度距离才会等于角直径距离。
*问题3: 在动态宇宙中该如何描述物体之间的距离(共动距离、光度距离、角直径距离)?为什么光度距离 和红移有 关系，而角直径距离没有?

【尺度因子】
宇宙中物质决定了宇宙空间的几何，也决定了宇宙的演化——尺度因子的变化。这涉及到了物质和空间的相互关系，以及如何来运动等问题。
俄国数学家Friedmann首先于1922年推导出Friedmann方程： [(\frac{1}{R}\frac{dR}{dt})^2-\frac{8}{3}\pi G\rho]R^2=-kc^2，方程小括号内的即哈勃常数 H=\frac{1}{R}\frac{dR}{dt}。
加入宇宙常数项后展开为尺度因子的速度和加速度（刻画宇宙膨胀）：
\ddot{R}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho+3P)R+\frac{\Lambda}{3}R \\ \dot{R}^2+k=\frac{8\pi G}{3}\rho R^2+\frac{\Lambda}{3}R^2
第2式可化为 H^2=(\frac{\dot{R}}{R})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho+\frac{\Lambda}{3}-\frac{k}{R^2}。
可以看出，宇宙演化的行为依赖于其组分的性质，包括物质密度（辐射、重子、暗物质）、宇宙学常数、时空曲率。
忽略宇宙常数情况下，当物质密度为一个临界值（称为临界密度: \rho_c=\frac{3H^2}{8\pi G}）时，宇宙空间表现为平直空间（k=0）。哈勃常数也是在演化的，通过测量今天的哈勃常数，可以确定今天宇宙的临界密度。
将宇宙各个组分对宇宙演化的影响以密度的形式列出，定义宇宙密度参数：
\Omega_M=\rho/\rho_c \\ \Omega_\Lambda=\Lambda/(3H^2\rho_c) \\ \Omega_k=-k/(R^2H^2)
其中 Ω_M表示物质密度与临界密度的比， Ω_Λ表示真空能与临界密度所代表的能量的比值， Ω_k表示空间曲率与尺度因子和哈勃常数的比值。三者加起来等于1， \Omega_M+\Omega_\Lambda+\Omega_k=1，通常 Ω_M+Ω_Λ称为 Ω_0。
可以看出，哈勃膨胀由三个因素驱动：能量密度（物质）、宇宙常数、空间曲率。

【宇宙密度】
宇宙密度如何随时间、尺度演化？
热力学第一定律 d(\rho R^3)=-pd(R^3) 等效于 d[R^3(\rho+p)]=R^3dp，假设 p=w\rho，有 \rho \propto R^{-3(1+w)}。
定义 ρ_i为宇宙中某种组分的密度， P_i为宇宙中某种组分的压强，两者的关系——即状态方程——决定密度的演化。
（1）物质（非相对论）的能量密度随宇宙尺度的-3次方衰减： p=0\Rightarrow\rho\propto R^{-3}
（2）辐射（光子、中微子等相对论性）的能量密度随宇宙尺度的-4次方衰减，比物质衰减更快： p=\frac{1}{3}\rho \Rightarrow \rho\propto R^{-4}
（3）真空能/宇宙常数/暗能量的能量密度随宇宙膨胀保持不变： p=-\rho \Rightarrow \rho\propto \rm const
因此，虽然宇宙早期物质与辐射的能量要超过暗能量，但随着宇宙的膨胀，暗能量最终会胜出，成为宇宙中最主要的组分。



物质、辐射、暗能量密度随尺度因子的演化

在辐射时代，尺度因子R随时间t的1/2次方增加；在物质时代，尺度因子R随t的2/3次方增加；到了暗能量时代，尺度因子R指数增长。



尺度因子随时间的演化

宇宙学标准模型下，当沿时间回溯，红移z与v/c的偏差越来越大。当z较小或v较小时，z可以近似表达为v/c，但随着z增大或v增大，z需要用相对论多普勒公式表达。


宇宙年龄 t_0=\frac{2}{3}H_0^{-1}\Omega_\Lambda^{-1/2}\ln[\frac{1+\Omega_\Lambda^{1/2}}{(1-\Omega_\Lambda)^{1/2}}]。可见真空能越大 t_0越大。
我们的宇宙 t_0～0.96H_0^{-1}。



k=0宇宙的年龄

*问题: 什么是尺度因子?尺度因子如何和距离联系?尺度因子演化由哪些因素确定?如何达成加速膨胀?
*问题: 什么是宇宙的临界密度?宇宙密度有哪些因素贡献?又如何随时间(随尺度因子)演化?
由 \frac{\ddot{R}}{R}=-\frac{4\pi G}{3}\sum_{i}({\rho_i+3p_i}) 可知，不同组分配比情况下，宇宙演化的过程与结果完全不同。


必须有提供负压强的组分，宇宙才可能加速膨胀。测量宇宙的膨胀，可以反过来确定宇宙的组分和配比。这就需要测定不同红移处的哈勃参数。
H=H_0(1+z)[\Omega_{m,0}(1+z)+\Omega_{\rm rel,0}(1+z)^2+\frac{\Omega_{\Lambda,0}}{(1+z)^2}+1-\Omega_0]
尺度因子变化速度即哈勃参数，而变化的加速度则即哈勃参数的变化，后者又称为减速因子q。
我们无法回到过去测量当时的哈勃常数，但可以研究尺度因子随时间的变化。尺度因子与红移的关系为 R(t_0)/R(t_1)=1+z，因此可以转化为对红移的测量，而时间可以转化为对距离的测量（光的传播需要时间）。因此，我们通过观测更远宇宙的距离与红移的关系，就能了解宇宙的膨胀历史。



尺度（红移）和回溯时间（距离）的关系

距离的测量可以使用标准烛光的方法。
Ia型超新星的峰值亮度只与持续时间有关（Phillips relation），因此可以作为标准烛光。超新星巡天显示SNIa看起来比纯物质宇宙预想的暗，说明它们所处的位置比该模型（线性膨胀）预测的更远，从而说明宇宙是加速膨胀的，支持了暗能量的存在，并于2011年获得诺贝尔物理学奖。


除了超新星以外，还存在微波背景辐射和重子声波振荡的方法。不同的观测结合起来，可以精确限制宇宙组分。


目前认为宇宙中物质占比28%（具有引力且不可见的暗物质占23%，具有引力并可见的原子占4.6%），具有斥力的暗能量占比72%。
*问题: 从三角视差开始直到哈勃定律，回顾距离阶梯的建立历程，及每一步所需的物理手段(地球半径?地月距离?日地距离?邻近恒星的距离?遥远恒星的距离?邻近星系的距离?遥远星系的距离?)。
*问题: 宇宙的年龄和大小与哈勃常数密切相关，都有哪些方法可以测量哈勃常数?Hubble Tension 描述的是什么问题?
*问题: 如何测量宇宙膨胀的加速度?SNIa看起来比纯物质宇宙预测的要暗是什么意思?Concordance宇宙模型中各种成分的比例是什么?
*问题: 为什么说存在暗物质?有哪些方面的证据?星系团X射线辐射观测、地下暗物质探测、太阳系邻域搜寻以及弱引力透镜等暗物质探测手段的原理各是什么?
*问题: 在宇宙学的研究中有多个地面和空间项目做出了巨大的贡献，试列举几个著名的项目，并描述其贡献。

尹双平刨

哈勃系数倒数法存在严重缺陷，就像FRW基本模型存在严重缺陷，存在致命缺陷一样。广相场方程从来没有解释过任意一个爆炸案例，凭啥能用它解释大爆炸？有本事先用场方程解释一下伽马射线暴，或者超新星爆发，来证明一下在物理世界中存在一个爆炸的案例遵守这个方程式？[滑稽]