宇宙的年龄是怎么被计算出来的？

信森好帝

是观测+理论(准确地说是 模型)推导算出来的。

原理很简单，如果我们能知道宇宙从早期到现在膨胀了多少倍，以及宇宙在这段时间内的膨胀速度，那么就能算出宇宙从早期膨胀到现在一共花了多少时间。


以下归纳自教材：

根据宇宙学原理，对宇宙中的共动观测者来说，宇宙在大尺度上均匀各向同性。
满足这个原理的就是大名鼎鼎的FLRW度规啦：

里面的 是宇宙的尺度因子。比如对于现在，a(现在)=1，到了明天，a(明天)=2，意思就是因为宇宙膨胀，今天的1米到明天就变成2米了。
这个东西一般用(宇宙学)红移z表示，关系为 ，意思就是在宇宙中传播的光，其波长会被宇宙膨胀给拉大。我们观测到的某一时期发出的光，其红移与该时期宇宙的膨胀程度是息息相关的。
学过微积分的同学都知道，想算出过去某一段时间，只要按照下式积分就行：

虽然我们不知道确切的时间，但红移我们是知道的。首先，对于此时此刻地球上的观测者而言，红移 ，至于宇宙早期的红移，我们已经通过微波背景辐射得到了， （直接取成无穷也无妨）。也就是说，从微波背景辐射时期到现在宇宙膨胀了1000多倍。
所以上面的积分变成了：

接下来就是一通数学演算，有兴趣的同学可以推一推dz和dt的关系，过程我就省去了。总之，这个式子还可以变成下面这样：

其中 是哈勃参量(Hubble Parameter)，反映某时刻宇宙的膨胀速度。
OK，现在我们只要知道这个  和红移 的关系，就能知道过去各时期宇宙的膨胀速度，从而能积分得到宇宙年龄了。

接下来就是解决这个问题。

假定宇宙是平坦的，K=0，则FLRW度规可简化为：

然后根据广义相对论，结合Einstein方程和守恒方程，就能推出下面的Friedmann方程：

左边的  就是上文提到过的哈勃参量，一般我们把今天的哈勃参量写成  ，称为哈勃常数(Hubble Constant)，这个值可通过天文观测得到。
右边的 表示全宇宙的物质总(能量)密度（本来应该是“临界密度 ”，但我们已经假定K=0了，这样比较好理解)。
宇宙中有哪些物质呢？有所谓的”非相对论性物质“ ，大概就是重子物质，比如恒星，行星之类的，加上暗物质；还有”相对论性物质“ ，就是各种电磁波，辐射之类的；还有就是所谓的暗能量 ，此处指真空能，这是个玄乎的东西，很多人都在研究。
所以这个总密度就是：
我们知道宇宙不是一成不变的嘛，所以这些物质含量也总是在变的，我们来分开考虑这几种物质密度随空间膨胀的变化。
一个盒子里装了一些”普通物质“，现在盒子边长膨胀  倍，即体积膨胀  倍，而物质总量不变，所以密度变小了  倍。就是说如果此时此刻普通物质的密度是 ，那么宇宙膨胀  倍之后的普通物质密度就是
如果盒子里面装的是”光子气体“，那就不一样了，因为光有红移，当盒子边长变大  倍时，光的频率还会降低  倍，再加上体积的变化，总体密度应当降低 倍。所以宇宙膨胀导致辐射物质的密度变化为：
至于暗能量（这里指真空能），之前说了，这东西很玄乎，无论宇宙如何膨胀，这玩意的密度总是保持不变：
根据一些手段，我们能够测出此时此刻的宇宙各种物质的密度，再结合哈勃常数，代入Friedmann方程就有：

以及：

把这两个式子结合一下：

这样写太麻烦了，我们直接用 来表示物质x占总物质的比例，于是乎：

这里面的  ，还有几个 我们都已经测出来啦，
(观测值： )
所以哈勃系数  是怎么随红移变化的，我们也就能知道了。
再代到这个式子中去：

一积分，注意一下H的量纲，Duang的一下你算出了宇宙年龄T=138亿年，是不是很神奇？
所以知道宇宙年龄是怎么回事了吧。

最后再补充一下，宇宙半径（其实是最后散射面在今天的共动距离）可以通过下面这个积分得到：

因为光走的轨迹是类光的，
所以积分变成了：

一样的方法，最后算出的半径就是460亿光年左右。