七大数学难题_七大数学难题解决了几个

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15个数论难题，解决任意一个都能让你称为顶级大佬
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下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。下文中，符号x^y 表示x的y次方。



1、哥德巴赫猜想猜想：每个不小于6的偶数，都可表示为两个奇质数之和。

2、考兰兹猜想，也叫3x+1猜想。给定一个正整数初始值n，如果n是偶数，则将其除以2，如果是奇数，就计算3n+1。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去，会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说，无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入4,2,1,4,2,1......这样的循环。

3、勒让德猜想：任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个质数。即，对任意正整数n，存在质数p，满足n^2

4、孪生质数猜想：存在无限多个质数p，使得p+2也是质数。

5、梅森质数猜想：形如 2^n - 1 的正整数中，有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出，已经经过380多年了。

6、n^2+1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2+1 是质数。

7、费马数猜想：数列F(n) = 2^(2^n)+1 ，n = 0,1,2,3,4,... 其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当n = 0,1,2,3,4时，费马数F(n)是质数；1732年欧拉发现F(5)是合数. 此后没有再发现其它费马数是质数.。

8、奇完美数猜想：是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指，它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的真因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。

9、完美长方体猜想：是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数a,b,c，使得 a^2+b^2 , a^2+c^2, b^2+c^2, a^2+b^2+c^2 这四个数的平方根都是整数。

10、黎曼假设：该问题提出于1859年，即讨论黎曼ζ函数的零点分布情况. 数论中有一些与之等价的命题.

11、欧拉常数是有理数还是无理数？其中的定义是 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n 在n→∞时的极限。

12、对于黎曼ζ函数，当k为正奇数时，ζ(k)是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明，k为正偶数时，ζ(k)是关于π的有理系数多项式，所以是超越数。

13、埃尔德什倒数和猜想。如果A是一个正整数的无穷子集，A中所有数的倒数和发散，那么A包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了A为质数集合的特殊情况，这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。

14、n≥5时，拉姆齐数R(n,n)的值是多少。现在已知的是R(1,1) = 1 ， R(2,2) = 2 ， R(3,3) = 6, R(4,4) = 18 , n≥5的任何一个数都没有结果。哪怕知道R(5,5) 是43到48这6个数中的其中一个，也无法把它验证出来。

15、华林问题各种值的确定。对于正整数m,n , 如果任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说g(m)=n。比如四平方和定理：每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和，相当于说g(2)=4。对于正整数m,n , 如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说G(m)=n。现在知道的很少的几种情况是 g(2) = 4 , g(3) = 9 , g(4)=19 , g(5)=37 , g(6) = 73, G(2) = 4, G(4) = 16，还没有找到确定所有的g(m), G(m)的一般方法。有个具体的猜想是g(m) = 2^m + [(3/2)^m] - 2 ， 这里方括号表示取整。

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经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度
求证：△PBC是正三角形．

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．

经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．


2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．

经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．

经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：


2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．

答 案
经典难题（一）











4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。





经典难题（三）










经典难题（四）



2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。









经典难题（五）






2.顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。





3.顺时针旋转△ABP 90度，可得如下图：