设给地球一个大小恒定的推力，其方向总是跟地球公转速度同 ...

成都路人甲萌

设给地球一个大小恒定的推力，其方向总是跟地球公转速度同 ...

叶小琛小m

先说结论：这个时间跟这个力的大小有关系。如果这个力足够大，例如地球的质量乘以9.8米每平方秒这么大的一个恒力，它完全可以在几个小时之内把地球加速到足以超过当前位置的逃逸速度。这时地球相对于太阳的轨迹就是一个类抛物线。（末尾有简略算法）
如果这个力足够小，只要它恒定存在，且方向能即时随着地球运动方向的变化而调整，只要有足够的时间，同样可以把地球加速到动态轨道上的逃逸速度。这个情况下地球相对于太阳的轨迹是类似于蜗牛身上的渐开螺旋线。
计算：地球环绕太阳的线速度可以查到，这里简略计算出来：
已知地球绕太阳轨道半径约1.5亿公里，乘以2倍圆周率可得周长；
公转一周是一年约365*24*3600秒。
v=s/t
可得这个速度大约是29800m/s，是环绕速度。
地球想要逃离太阳，在这个轨道上的速度只要达到环绕速度的根号二倍就可以了，大约是42100m/s
速度增量是12300m/s
如果给地球一个58.5亿亿亿牛顿
(地球质量乘以g)的恒力，它就足以在四小时之内把地球加速到当前轨道的逃逸速度。

weenahbp46

这可以数值模拟一下。为了让程序在较短的时间内得到结果，我们把推力设大一些：




运行时间取100年：


结果如下：


可以看到，拐点在25年左右，即大约要推25年。
对于这个，我们也可以近似的估算一下。在没有突破太阳系的逃逸速度前，地球的轨道在相当长的时间内可以看作是一个半径  逐渐增大的圆形轨道，因此它的速度可以近似为：

当一个大小恒定、方向总是沿地球的速度方向的力  作用在地球上时，它做功的功率便是 ，所以：

而力  在时间 内做功的效果，就是让地球的近似圆形轨道的半径从  变为 。当地球的轨道为一个半径为  的圆时，它的能量为：

这样，我们便得到：

把(2)代入(4)并经整理后可得：

把(5)式按  进行幂级数展开并只保留  的一阶项，即可得：

两边进行积分得如果要把地球的轨道半径从 变为 时，则力  所需作用的时间是：

如果 ，则表明地球可以逃离太阳系，这时有：

为什么上面的计算是约等于而不是等于，一方面是在前期地球的轨道只是近似为圆形而非真的为圆形，而到了后面，地球的轨道更是会严重偏离圆形。根据（8）式，把模拟的数据代入，得 年，跟25年相比误差是24%，还是比较大的。而按 @青崖  的结果，只需要13.35年就可以把地球加速到逃逸速度，误差高达46.6%，所以是不对的。
如果只是要把地球从1个天文单位推到1.5个天文单位处，则为如下：


约需推动6.18年，而按（7）式计算，则需5.92年，误差约为4%，还是可以接受的。上面的曲线为什么有些段还会向下拐，那是因为地球的轨道并不是正圆，有近日点与远日点。如果不给地球以推力，这条曲线将会是下面这样：

小乖欢颜僮

施加力->
地球速度变快->
地球轨道变高，地球速度降低
所以可以简化为，施力做功就是提升地球轨道
在较短距离内，可以简化为mgh，长距离需要积分求解

另一种做法，就是计算太阳系的第三宇宙速度，计算动能差异
第三宇宙速度又称为脱离速度，是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度，约为16.7km/s。本来，在地球轨道上，要脱离太阳引力所需的初始速度为42.1千米/秒，但地球绕太阳公转时令地面所有物体已具有29.8千米/秒的初始速度，故此若沿地球公转方向发射，只需在脱离地球引力以外额外再加上12.3千米/秒的速度
具体计算就不算了

123457468

需要多久时间，完全取决于你施加的这个力的大小。