数学未解之谜_世界数学未解之谜

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10大仍未解开的数学难题
几个世纪以来，一些数学问题一直在困扰着我们，尽管近来超级计算机的出现让其中的一些难题取得了一些新进展，例如“三方求和”问题，但数学界仍然存在10大悬而未解的难题。
1.科拉兹猜想

科拉兹猜想
科拉兹猜想又称为奇偶归一猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

澳大利亚数学家陶哲轩
本月初，澳大利亚数学家陶哲轩对科拉兹猜想有了一个接近解决方案，但这个猜想仍未完全解决。科拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1，可能所有自然数都是如此。
目前已知数目少于1万的，计算最高的数是6171，共有261个步骤； 数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤； 数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤； 数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤； 数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
2.哥德巴赫猜想?

将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。
哥德巴赫猜想是数学界中存在最久的未解问题之一。它可以表述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。例如，4 = 2 + 2；12 = 5 + 7；14 = 3 + 11 = 7 + 7。
也就是说，每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数，可表示成两个素数之和的数。

中国数学家陈景润
哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。他用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。
3.孪生素数猜想

这个猜想是最初发源于德国数学家希尔·伯特，他在1900年国际数学家大会上提出：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。其中，素数对(p, p + 2)称为孪生素数。在1849年，法国数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出了孪生素数猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

美籍华裔数学家张益唐
2013年5月14日，《自然》杂志报道，美籍华裔数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于7000万，可以用数式表示为：

此后，数学家们一直利用张益唐的证明降低素数对相差的数量，从数百万减少到数百。根据计算，接近的数字是6。而最终数字是到2。或者最后一步会挑战数学家数十年时间。
4.黎曼猜想

黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学界一个重要而又著名的未解决的问题，素有“猜想界皇冠”之称，多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。
对于每个s，此函数给出一个无穷大的和，这需要一些基本演算才能求出s的最简单值。例如，如果s = 2，则（s）是众所周知的级数 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…，奇怪是谁，加起来恰好是2 / 6。当s是一个复数（一个看起来像a +b的复数）时，使用虚数查找是很棘手的。
黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部分数学家也相信黎曼猜想的正确性。美国克雷数学研究所已设立了100万美元的奖金给予第一个得出正确证明的人，目前尚无人获奖。
5.贝赫和斯维纳通-戴尔猜想

贝赫和斯维纳通-戴尔猜想表述为：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。

设E是定义在代数数域K上的椭圆曲线，E(K)是E上的有理点的集合，已经知道E(K)是有限生成交换群。记L（s,E）是E的L函数，则生成上图的贝赫和斯维纳通-戴尔猜想公式。
6.接吻数问题

当一堆球体堆积在某个区域中时，每个球体都有一个“接吻数”，即它所接触的其他球体的数量。例如，如果您要触摸6个相邻的球体，那么您的接吻数是6。一堆球体将具有一个平均接吻数，这有助于从数学上描述情况。但是有关接吻数的问题尚未获得数学上的最终解答。
首先，要注意尺寸。尺寸在数学上有特定含义：它们是独立的坐标轴。x轴和y轴显示坐标平面的二维。
一维物体是线，二维物体是平面。对于这些较低的数字，数学家已经证明了这么多尺寸的球体的最大可能接吻数。在1维线上时为2，即一个球在您的左侧，另一个球在您的右侧。尽管直到1950年代才有3个维度的接吻数问题确切数字的证明。

超过3个维度，接吻数字问题大部分尚未解决。数学家逐渐将可能性缩小到了多达24个维度的相当窄的范围，其中一些确切已知，如上图所示。完整解决方案有几个障碍，包括计算限制，因此，预计未来几年接吻数问题将进行存在。
7.活结死结问题

在数学中，活结死结问题是在给定某种结的情况下在算法上识别不打结的数量。
将绳子的两端在无穷远处接起来，就形成了拓扑学意义上的纽结。如果这个纽结与一个圈在某种意义上拓扑等价，数学上称之为unknot，就意味着原来的结是活结，否则就是死结。
在过去的20年中，已经为出现了几种计算机算法，它们能够解开复杂的结，但是随着结变得越来越复杂，算法花费的时间越来越长。
有数学家认为算法可以消除任何打结，而另外的人证明这是不可能的，他们认为“活结死结问题”的计算强度不可避免的加大，导致无法消除打结。
8.大基数

如果您从未听说过大基数，请准备学习。在19世纪末，一位名叫格奥尔格·康托尔的德国数学家确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。
在集合论的数学领域中，大基数性质是有限基数的一种性质。顾名思义，具有这种性质的基数通常非常“大”，它们不能在最普遍的集合论公理化中得到证明。
最小无穷大，记为??。那是希伯来语字母aleph；它的读数为“ aleph-零”。它是一组自然数的大小，因此被写为|?| =??。
接下来，一些常见集合大于大小??。康托尔证明的主要示例是实数集更大，用|?|>??表示。
对于真正的大基数，数学家不断发现越来越大的基数。这是一个纯数学的证明过程，就像有人说：“我想到了一个基数的定义，我可以证明这个基数比所有已知的基数都大。”然后，如果他们的证明是正确的，新的最大的已知大基数就此诞生，直到有人提出更大的基数证明。
在整个20世纪，已知的大基数稳步向前发展。从某种意义上说，大型基数层级的顶端已可见。一些定理已经被证明，对大基数的可能性施加了某种限制。但是仍然存在许多悬而未决的问题。
9. + e？

鉴于我们对数学中最著名的两个常数和e所了解的一切，这真让人惊讶，将它们加在一起时令数学家们困惑。
这个问题全是关于代数实数的。定义：如果实数是某些具有整数系数的多项式的根，则实数是代数的。例如，x2-6是具有整数系数的多项式，因为1和-6是整数。x2-6= 0的根是x =√6和x =-√6，这意味着√6和-√6是代数数。
所有有理数和有理数的根都是代数的。所以可能感觉“大多数”实数都是代数的，结果却恰恰相反。
实数可以追溯到古代的数学，而e是从17世纪才开始出现的。
好吧，我们确实知道和e都是超越数。但是，我们不清楚 + e是代数的还是超越数。同样，我们不了解e， / e及其它们的其他简单组合的结果性质。因此，关于我们几千年来知道的数字仍然存在着令人难以置信的基本问题，这些问题仍然是神秘的。
10.是有理数吗？

这是另一个很容易写出来但很难解决的问题。是欧拉-马斯刻若尼常数，它是调和级数与自然对数的差值。

的近似值
它的近似值如上。该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐·马斯刻若尼引入了作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。
目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10的242080方。
有理数是小数部分是有限或为无限循环的数，而不是有理数的实数遂称为无理数。
目前，已经计算到了几千亿位数，但没有人能证明它是否为有理数。普遍的预测是是非有理数的。
数学，是最古老的学科。一些悬而未决的数学问题历经千百年仍为自身保守着秘密。
比如数学中最古老的未解之谜——孪生素数猜想，就是由古希腊著名数学家欧几里得提出的，距今已近2300年。该问题最重大的突破由华人数学家张益唐于2013年独自完成。
1900年，德国大数学家希尔伯特——当时世界数学领域的领袖人物，提出了雄心勃勃的23个数学问题。一个世纪过后，除了一个问题外，22个问题都已经得到完全或者部分解决。

2000年初，美国克雷数学研究所也发起了一场挑战：公开向世界征求七大数学难题的解答。这些问题涉及纯粹数学和应用数学中最艰深和迷人的领域：从拓扑学和数论到粒子物理学、密码学、计算理论甚至到飞机设计，它们也被称为“千年难题”。
“千年难题”位于数学世界之巅，或许代表着人类智力活动的巅峰，而每一个问题的解决，也许就意味着找到一座隐匿着未知真理的巨大宝藏。这些问题激励着一代又一代最杰出的数学家投身其中，以期获得解锁人类未来文明的密码。
■谜题一：黎曼猜想
这是1900年希尔伯特提出的23个问题中唯一未被解决的问题。
1859年，德国数学家黎曼在提交给柏林科学院的论文中提出一个猜想，试图完全回答数学中最古老的问题之一：素数在自然数中的分布规律。早在公元前350年，欧几里得已经证明了素数的个数有无穷多，但是对其分布的规律却一无所知。黎曼猜想则对这种分布规律提出了确定的模式。

这一猜想的解决很可能打开一扇宏伟的大门，将数学和物理以前所未有的形式连接在一起，从而有可能让当代文明受益于2000年来数论研究的杰出成就。在此之前，数论一直作为最纯粹的数学工具而与现实世界深度隔离。
■谜题二：杨-米尔斯理论和质量缺口假设
1954年，物理学家杨振宁和米尔斯提出了一个方程，旨在使用非阿贝尔李群描述基本粒子的行为。杨-米尔斯理论被誉为20世纪下半叶最重要的理论物理成就，是现代规范场理论的基础。经过对称性自发破缺与渐进自由的观念，该理论逐渐发展成今天的标准模型。
由杨-米尔斯方程发展的标准模型准确地预言了在世界各地实验室中观察到的事实，其应用已经深入在物理学的其他分支中，诸如统计物理、凝聚态物理和非线性系统等等。从实践的角度来说，杨-米尔斯方程已经获得巨大成功，但是其相应的数学理论还没有建立起来，特别是在数学上需要确定的“质量缺口假设”。该假设提供了电子为什么有质量的一种解释。
质量缺口假设的完全解决将提供严格的理论证明，同时也让物理学家受益。此前物理学家只能观察到电子有质量，却无法解释电子的质量从何而来。
■谜题三：P和NP问题
计算机领域诞生了两个影响人类文明进程的大问题。第一个就是希尔伯特提出的第十问题：是否存在一种机械的算法来判定丢番图方程的可解性。英国数学家图灵正是基于对该问题的思考而建立了图灵机，成为彪炳史册的现代计算机之父。

另一个问题就是P和NP问题。此问题的核心是研究计算机解决问题的效率。计算机科学家把计算问题分成两类：这里的P指多项式时间，一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算；NP指非确定性多项式时间。一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。
然而，现代绝大多数在工业和商业中的大型计算任务都是NP问题。对该问题的肯定解答将对工业和商业乃至互联网产生极为深远的影响。
■谜题四：纳维-斯托克斯方程
数学家和物理学家都深信，无论是天气预报还是大浪湍流，都可以通过纳维-斯托克斯方程的解来刻画和解释。
19世纪中叶，法国科学家纳维和英国物理学家斯托克斯提出了描述流体和气体运动行为的方程。该方程揭示了一般分子运动的基本规律，因此对物质运动提供了最深刻和可靠的理解。它逐渐在天气预报、大气海洋、石油勘探、电气工程、水利工程、机械制造、国防军工（诸如核弹模拟）、飞机设计、航空动力学、航天工程、行星运动等前沿科技与工业制造中发挥着核心的作用。
破译纳维-斯托克斯方程解的密码，无疑将在科技和实践层面带来翻天覆地的突破，提升整个现代文明的等级。
■谜题五：庞加莱猜想
19世纪末，法国大数学家庞加莱提出了一个数学领域的简单问题：怎样才能把一个苹果和一个甜甜圈区分开来？

该问题位于数学中最迷人的领域之一——拓扑学，它以深刻而基本的方式展现了物质形体之间的关联。庞加莱猜想的完全解决将帮助人们完全了解物质的空间几何结构的存在形式。这一问题的彻底解决，将对半导体等电子器件的设计和制造、万维网的设计、交通运输规划、动画设计甚至对大脑神经元的结构都将有革命性的认识。
拓扑学不仅在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用，也对物理学产生重大的推动作用。2016年，三位物理学家因为发现物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而分享了诺贝尔奖。
鉴于其重大的理论和工业影响力，庞加莱猜想顺理成章地成为拓扑学的圣杯。令人欣慰的是，该猜想最终由俄罗斯的天才数学家佩雷尔曼在2004年完全解决。这也是迄今为止唯一被破译的千年之谜。
■谜题六：伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想
公元3世纪，古希腊亚历山大城的数学家丢番图开始研究一类系数为整数的不定方程的解。寻找此类丢番图方程的整数解开启了代数学上最为辉煌的一个分支。比如著名的费马大定理就是无数丢番图方程的一个极其简单的特例。

对于更加复杂的方程，要了解方程解的信息变得极为困难。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想提供了关于某些困难情况下的解的信息。
和黎曼猜想一样，对这一问题的解答将增加我们对素数的全面理解，从而有可能找到上帝用自然数创世的密码。
■谜题七：霍奇猜想
20世纪上半叶，数学家发现了研究复杂对象形状的有力方法。其基本的想法就是把维数逐渐增加的简单几何砌块黏合在一起，从而逼近一个给定对象的形状。这种想法的核心问题就在于逼近物体的程度。
基于不同逼近方式的分类，数学家发明了许多有力的工具，它们在实践中被证明极富成效，但是却缺乏这个过程的几何源头。霍奇猜想断言，对这些对象中的一类重要对象（射影代数簇），即被称为霍奇闭链的部件均是几何部件（代数闭链）的组合。用通俗的语言来说，霍奇猜想表明：任何一座精美宏伟的宫殿，都可以由一堆积木垒成。
最新的研究则表明，霍奇猜想与广义相对论、量子纠缠和庞加莱猜想在更深的层次上有可能融为一体。对它的深刻认知，有助于了解宇宙中最深邃奇妙的物质构成。
（作者：黄逸文，系中国科学院数学与系统科学院副研究员，由中国科学院“科学大院”提供）
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来源：光明日报
统筹：陈鹏