怎么用简单的方法测量地球质量？

华梦一生

测量地球的质量并不难，也不需要太昂贵和高级的装置。
当你站在地球表面，地球对你的引力相当于所有的地球质量在地球质心对你的引力（
壳层定理_百度百科）。所以，引力大小等于。
其中，G是万有引力常数，M是地球质量，m是你的质量，r是地球的半径。
同时，我们也知道地球对你的引力等于mg。其中，m还是你的质量，g是地球表面的重力加速度。由于，
所以  ................................... （公式1）
为了计算地球的质量，我们需要知道重力加速度g和地球的半径r。先从比较简单的重力加速度开始吧。
为了测量重力加速度，你需要一个秒表和一个重物。把重物从高处（比如10层楼）扔下，测量落地的时间，就可以算出重力加速度了。计算过程想必大家在中学时都做过多次，我就不赘述了。为了减小空气阻力对测量的干扰，建议选取密度和重量都比较大的物体。
如果你有一个比较长的真空管，就可以完全避免空气阻力的影响了。
如果你比较走运，我们假设你测出了一个比较准确的重力加速度9.8m/s^2。
下面该对付地球半径了。
对地球半径的测量也有十分悠久的历史了。希腊天文学家埃拉托斯特尼在2000多年前就做过。他的方法需要在相距数百公里的两个城市测量夏至日正午的太阳角度，比较复杂。这里我们可以采取一种比较简单的方式。采用这种方法，你连一步都不需要走。


图片来自
數學點心麵17~測量地球的周長
方法是这样的。
1. 找一个开阔平坦的地方，比如海边，在日落的时候面朝太阳躺下。
2. 在太阳完全消失在地平线上的一瞬间，按下秒表开始计时。
3. 同时马上站起来。这时，你会惊奇的发现，太阳重新出现在了地平线上。
4. 当太阳再次完全消失在地平线上时，停止计时。
这样，你就得到了两次落日之间的时间差。用这个时间，我们可以计算出两次日落之间，地球转动的角度。
如果你不理解为什么会看见两次日出，看看下面的图就知道了。


当太阳完全消失在地平线的时候，它的最后一缕光线与你所在的地球表面相切。这时如果你站起来，你眼睛的位置升高了，就可以重新看见太阳。直到它再次落下。
从图中我们同样可以看出地球半径r、地球自转角度α和你的身高h（实际上是你眼睛的高度）之间的关系：
................................... （公式2）
测量你的身高很容易，所以我们只要知道地球自转角度α就可以计算出地球半径了。这里，我们上面测量的两次落日之间的时间t就派上用场了。
由于地球每24小时自转360度，所以。这样，地球自转角度α也算出来了。代入上面的公式2，我们就得到了地球半径r。把r的值代入公式1，我们就得到了地球的质量。
上面这个测量地球半径的方法的精确度很大程度上依赖于你对自己身高和时间的测量。和地球的半径比较起来，你的身高非常小。而且，两次日落之间的时间差通常只有几秒钟。所以，一点点误差都会在最后的结果中被放大。如果你用你的身高来测量，误差肯定不小。
如果你想进一步提高精确度的话，可以考虑增加两次观察之间的高度差。比如，你可以把第二次观察放在一个楼房的顶部。如果你在观察到第一次落日以后，马上乘坐电梯来到楼顶，相信是可以赶上第二次落日的。
在世界第一高楼迪拜塔上，地面的落日和楼顶的落日的时间相差超过2分钟。在这里测量地球的半径，精确度一定可以大大提高。


图片来自
Li River Stunning Wallpaper
最后，假设你用这样的方法测量和计算出地球的半径是6400公里，你用公式1，你可以计算出地球的质量是6.02E24公斤，和网上查到的值5.97E24公斤已经非常接近了。

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集中回答一下评论区中提到的问题。
1. 古代没有***的概念
   问题中并没有提到“古代”。
2. G是怎么来的？
   我觉得这个问题需要测量的是和地球有关的数据，比如半径和重力加速度。对于其他物理学常数，我就假设是已知的数值了。否则，就只能去重复凯文迪许的扭称实验了。
3. 引力和mg并不相等，中间还差一个向心力。
   确实如此。但是这个差别很小，估计比测量的误差还要小。这里就忽略不计了。
4. 万有引力公式是否适用于地球和人
   请参考
壳层定理_百度百科
5. 大气层的折射对日落时间有影响
大气层对阳光的折射确实会影响我们观测到的日落时间，但是我们需要的并不是准确的日落时间，而是两次日落之间的时间差。在两次日落之间，阳光穿过的大气层厚度区别很小，基本上不会对时间差的观测产生影响。