第二章 地球半径的测量

两把木椅狭

接下来，我们要进行一个极具挑战性的任务——地球半径的测量。
在传统测量方案中，对任一线段，我们可以拿出一把尺子沿线段放置，将尺子零刻度与线段一端对齐，线段另一端所对应的尺子上的刻度结合单位就是桌边的长度。桌边可以替换为任意一条线段。
如果线段比尺子长呢？我们可以拿出一根足够长的绳子，将绳子拉紧令其两端分别对齐线段两端，那么绳子长度就是线段长度。接下来将绳子折叠或分割成相同的10段，测量其中一段长度后乘10就是绳子的长度，也就是所测线段的长度。
但在地球半径或者直径的测量中，我们完全无法应用这传统的测量方案，虽然的确可以将绳子的一端对齐地球直径或者半径的一端（地表），但是我们无法将绳子的另一端伸向地心亦或是地球的另一面并拉直啊！
传统测量无能为力，但聪明的我们想出了另外一个非常巧妙的方案：


图中的圆表示地球，我们站在海边，我们的眼睛在A点，朝着远处的海平面看去，看到的海平线用B表示，OB是待测半径。
首先，AB这条线段是在地面上方的，因此它的两端都在活动范围内，原则上可以测出来，我们把它当做已知的。如果我们知道了地球半径OB是视线长度AB的多少倍，将这个倍数乘以AB的长度，就是地球半径OB了。
问题转化为，这个倍数怎么获取？
有个例子可以给予启发：我们在电视中会看见巨人，他身材巨大，从而根本不像是人类，但为什么我们把他说成是“巨人”呢？因为巨人的“形状”和普通人的“形状”是相同的。形状相同，则身体各个部位比例相同。如果普通人的身高大概是腿长的两倍，那么可以判断，巨人的身高也大概是腿长的两倍，所以如果我们测量到巨人腿长是3米，那么他的身高就大致为6米。
现在，我们可以在地面画出一个和大三角形OAB（类比为巨人）形状完全相同的小三角形O'A'B'（类比为普通人），那么小三角线中O'B'相对于A'B'的倍数就等于大三角线中OB相对于AB的倍数。而小三角线O'A'B'的各条边都处于地面，完全可以用传统测量方法测量边长后求得O'B'相对于A'B'的倍数，将这个倍数乘以所实际测得的AB长度，就是地球半径OB了。
现在问题又转化为，怎么绘制出与大三角形形状相同的小三角形呢？
考虑这样一个画三角形的实验：


第一个三角形画法如下：先画一个长度为10厘米的底边AB，然后从点A开始量取40°角画出一条射线，从点B开始量出30°角画出一条射线，两条射线会交于一点O，三角形OAB就画好了。
第二个三角形画法如下：先画一个长度为6厘米的底边A'B'，然后从点A开始量取40°角画出一条射线，从点B'开始量出30°角画出一条射线，两条射线会交于一点O'，三角形O'A'B'就画好了。
现在重点来了！两个三角形形状看起来明显相同，而它们的特征在于：边长不同，但是两个角对应相等。经过量取它们的边长也发现，两个三角形对应边的比例的确都是相同的。
因此我们可以根据直觉给出两个三角形形状相同的一个判定：如果两个三角形有两个角分别对应相等，那么这两个三角形形状是相同的。换句话说，你要获取关于三角形形状的信息吗？只需要知道它的两个角的大小就行了！
现在，回到地球直径的测量中，我们能否测出图6中大三角形OAB中的两个角呢？
可以啊！第一张图中，角1是可测的，因为我们可以拿出一根绳子，系上石子下垂，绳子与我们视线的夹角就是角1。角2是90°，因为我们的视线与地球这个圆是相切的。那么大三角形OAB的形状确定了，我们可以在地面上画出一个和大三角形OAB形状相同的一个小三角形O'A'B'，然后量出小三角线中O'B'、A'B'的长度，算出O'B'相对于A'B'的倍数，将此倍数乘以AB长度，即为地球半径。
方案看似没问题，但实际操作中我们却发现，当我们站在沙滩上用传统的量角器进行测量时，角1也是90°！而刚刚说过角2也是90°，但我们根本无法画出两个角度都是90°的三角形！
不如站得高一点。果然，当我们站到1000米左右的高山上观测海平线时，我们会发现角1减小了，但是也有89°左右的大小。具体多少呢？我们研究下我们所使用的量角器的精度：


它的精度好像只在0.5°，我们看看这个精度下测量结果会有多少误差。


画图后我们发现，当我们使小三角形的角1在88.5°~89.5°之间大致变化时，我们发现对应于地球半径的直角边会在40厘米（对应于40倍）左右和115厘米（对应于115倍）左右之间摆动。这也太可怕了！40倍和115倍差了不是一星半点啊！这样的精度是我们完全无法接受的！
聪明的人会立马想到，我们可以增大量角器的半径从而增加精度啊！


可想而知，如果将量角器做得非常大，那么量角器的表盘上1°会是非常宽的间隙，因此我们可以准确了解指向海平面的细长杆落在哪里。但实际操作时确发现，虽然表盘可以做得无限细致，我们的眼睛最大限度也只能区分出1′ （即，1角分，且60′= 1° ） 的差别。
什么意思呢？在测量海平线和重力方向夹角的时候，我们用一根细直杆对准海平线，然后确定细直杆和海平线重合的时候开始读角度，但在将近1′的范围内，好像我把细直杆转动几个或几十个角秒（1角分=60角秒）都还是和海平线重合，所以说，虽然量角器刻度盘上可以达到十分高的精细度，但是我们真正测量时无法将角度定位在刻度盘上的准确位置，有一个1′左右的不确定区间。所以我们现在可以将量角器做大 （在具体制作时可以利用游标卡尺、螺旋测微器的制作原理减小量角器半径，这里不对它们作介绍了） ，并设定我们测量角度的精度为1′。
我们爬到原来的1000米左右高的山上测量，这时测得角度是88°59′，估计真实值有可能在88°58′到89°0′之间，对应的倍数为55.44~57.29倍之间，前后相差不到2倍，还不错。其中，88°59′对应于56.35倍。
现在，测量AB。由于我们站得很高看得很远，所以 AB 不是很好测，但是重复利用上面的三角测量法也可以简化测量过程（只是会增加误差）。总之，我们测量到的长度为113.05千米，因此，地球的半径就是113.05千米的55.44倍到57.29倍之间，即6267千米到6477千米之间，而按照最初测量到的56.35倍计算，就是6370千米，与6267千米差了103千米，与6477千米差了107千米。所以我们现在可以说，我们测量到的地球半径为6370千米，前后误差最多为100多千米。
获得地球半径后，我们就可以取得一系列的定量结论，比如，地球表面积、体积等。
除此之外，还可以举个定量的例子：在海拔为8.844千米的珠穆朗玛峰上，可望及的最远处有多远呢？


如图所示，假如我们把地球画成半径为63.70厘米的大圆，那么珠穆朗玛峰的高度就是0.8844厘米，在对应珠峰顶点处画圆的切线，并且量取这条切线长度即可。
我们量出这条切线的长为3.36厘米，那就意味着在珠穆朗玛峰上可以看到的最远距离达到336千米。另外，我们还可以测量出从珠穆朗玛峰山脚走到所看到的最远地方的路程是多少：只要拿出一条细绳，将它的一端放置在图中所对应的山脚位置，然后沿着圆放置，直到另一端和所看到的最远点对齐，然后量出这段绳子的长度就好了。我们惊讶地发现，绳长几乎也是3.36厘米！同时意味着路程也是336千米！可以想象，实际上两者并非真的相等，而只是因为它们太接近了，我们很难测量出其区别，何况我们并未考虑测量误差！
再考虑这样一个问题：一个人站在海岸边看着海平线时，海平线离他有多远呢？
现在问题来了，假设这个人身高是1.7米，那以按之前的比例绘图，这个人画到图上就变成了0.000017厘米。这根本就画不出来！
如果把地球画得大点，比如将它的半径画成6370000厘米=63700米=63.70千米，那么人的高度就等比例变为1.7厘米。但是要画一个半径是63.70千米的圆该有多难啊！
这个问题显然很难通过作图解决，因此数学就派上用场了。你只要使用一个非常简单的勾股定理就可以算出这个距离是4.65千米。我们后续当然也要研究三角函数，应用它我们便再也无需笨拙地画图了！
虽然我们现在被禁止使用太多数学，但正是如此，我们后面才能发现数学该多么有用又多么神奇，我觉得这个过程是很有必要的。
当然，上面的预测如果能够通过，也就间接验证我们测出的地球半径是正确的了。