手把手教你称出地球的质量

波罗密心经

减肥已经成为日常必谈，不论俊男靓女。





日常去称一称自己多重也成为了习惯，那么地球的质量是怎么称出来的呢？




图1     称地球的质量


我们人类在公元前三世纪就已经知道了地球的半径，大约6371km。而我们知道地球是一个球体，地球表面岩石密度约2.5-3.0g/cm

3

，根据质量公式


和球体体积公式


，我们可以大约估计出地球的质量约2.9


千克。

是不是so easy！事实真的是这样的吗？

答案肯定是否定的。。。。。。





那么地球的质量应该怎么计算呢？

这我们得先感谢苹果。




NO！！！！！！！是苹果，可以吃的那个，不是这个，是这个：




因为苹果砸中了牛顿，让我们有了万有引力：

，其中F是引力，M和m分别是两个物体的质量，r是两个物体间质心的距离，G是引力常量，是一个常数。那么万有引力怎么能够测量出地球的质量呢？


请听我娓娓道来：
当你站在地球表面时，地球对你的引力，相当于地球质量集中在地球质心对你的引力，所以其大小为：


。其中，G是引力常量，M是地球的质量，m是你的质量，r是地球是半径。同时，我们知道地球对你的引力也就是你的重力mg，其中，m是你的质量，g是地球表面的重力加速度。于是我们可以得到：


，即可得到地球的质量为


。现在我们只要知道地球的重力加速度g和引力常量G就可以称出地球质量了。






重力加速度比较容易测量而且方式很多，最简单的就是找一个秒表和一个重物，测量重物从高度为h处掉下所需要的时间t。根据

就知道了重力加速度g（欲知更多测量重力加速度方法，请听下回分解）。




虽然牛顿发现了万有引力定律，但引力常量G这个数值是多少，连他本人也不知道。可能你会说：根据万有引力公式只要测出两个物体的质量，再测出两个物体间的距离和两个物体间的引力，代入万有引力定律，就可以测出这个常量。但因为一般物体的质量太小了，它们之间的引力无法测出，而天体的质量太大了，又无法测出质量。即使他在1687年7月5日发表的《自然哲学的数学原理》里提出了万有引力定律，因为万有引力常量一直无准确结果，这个公式就仍然不是一个完善等式。





直到100多年后的1798年的一天，有钱的英国人卡文迪许（Henry Cavendish）巧妙测出引力常量。因为他比较有钱，买一个超高精度扭秤，又行贿了几个大金属球（此句完全杜撰）。他也因为测出了引力常量G，被称为“称出地球质量第一人”。




图2   称出地球质量第一人
扭秤有很高的灵敏度，利用这套装置，卡文迪许终于成功地测得万有引力常量：G=(6.754±0.041)



（牛顿·米方·每千克方） 这个值同现代值(6.6732±0.0031)  



相差无几。根据引力常量，卡文迪许进一步算出了地球的质量是5.976

千克。是不是跟开始我们根据提及的公式估算值不一样。



图 3  卡文迪许的扭秤

地球质量已知，地球的平均密度就可求出来：现代测定的地球平均密度为5 .517

；而地球表层密度大约为2.7

，这样我们就可以推算出地球中心的密度达7.0-8.0

，远比地球表层大，由此可推断地球中心由重物质组成。不久，利用同样的方法，测量出太阳具有更加巨大的质量，是地球质量的30万倍，约为2

kg。接着太阳系其他行星的质量也陆续被测量出来。万有引力定律不断得到了物理实验的验证，万有引力常数G的数值也越来越精确地被测量出来，成为重要的物理参数之一，在现代航天航空技术中有极其重要的作用。卡文迪许的“扭秤”实验成果有力地推动了科学技术的发展。

引力常量测量小插曲


卡文迪许生活的年代，正是自然科学飞速发展的时期，同时也面临着许多“难题”。其中“称出地球质量”，就是最著名的一个。当时地球的半径经过测量和计算已经知道约6371千米；地球的表面积是5 .1

平方米；地球的体积为1 .08

立方米，都是极其巨大的数字。那么，人们非常想知道：地球的质量是多少呢？


卡文迪许还在大学读书的时候，就对“称”出地球的重量这个问题发生了兴趣。他仔细分析了前人失败的原因，认为主要是实验方法不科学，要想在这个问题上取得突破，必须采取新的实验方法。

1750年，剑桥大学有位叫约翰·米歇尔的教授，他在研究磁力的时候，使用了一种巧妙的方法，可以观察到很弱小的力的变化。卡文迪许得到这个消息后，立即上门请教。米歇尔教授向年轻的卡文迪许介绍了实验的方法，他用一根石英丝把一块条型磁铁横吊起来，然后用另一块磁铁去吸引它，这时候石英丝就发生了扭转，磁引力的大小就清楚地看出来了。卡文迪许从这里受到了很大启发，他想，能不能用这个方法测出两个物体间的微弱引力呢？从米歇尔那里回来后不久，卡文迪许仿制了一套装置：在一根细长杆的两端各安上一个小铅球，做成一个像哑铃似的东西，再用一根石英丝把这个“哑铃”从中间横吊起来。他想，如果用两个大一些的铅球分别移近两个小铅球，根据万有引力定律，“哑铃”会在引力的作用下发生摆动，石英丝也会随着扭动。这时候，只要测出石英丝扭转的程度，就可以进一步求出引力了。




图4  扭秤
这个推论在理论上是成立的，可是卡文迪许实验了许多次，都没有成功。原因在哪里呢？还是由于引力太微弱了，比如两个十公斤重的铅球，当它们相距十厘米时，相互之间的引力只有百万分之一牛，即使是空气中的尘埃，也能干扰测量的准确度。因此，在当时的条件下，完全靠肉眼来观察确定石英丝的微小变化，实验难免会失败。



时间就这么不知不觉地过去了几十年。1785年，库仑提出库仑定律。因为库仑扭力计的发明，给了卡文迪许很好的启示。但是，用库仑的方法，还是测不出万有引力，因为万有引力比电力小了将近40次方，仪器要更更更精密才行！



图5    库伦扭秤
卡文迪许苦思冥想能把石英丝的微小扭转加以放大的方法，但一直都没有结果。直到1798年的一天，卡文迪许到皇家学会去参加一个会议。走在半路上，他看到几个小孩子，正在做一种有趣的游戏：他们每人手里拿着一面小镜子，用来反射太阳光，互相照着玩。小镜子只要稍一转动，远处光点的位置就有很大的变化。看到这里，卡文迪许的脑海中迸发出一个明亮的火花：“小镜！光点！小镜！光点！”他叫出了声！他联想起了石英丝扭转放大的问题，借助小镜子不是正好可以使其得到解决吗？他抑制不住自己激动的心情，掉头跑回实验室，重新改进了实验装置。他把一面小镜子固定在石英丝上，用一束光线去照射它，光线被小镜子反射以后，射在一根刻度尺上。这样，只要石英丝有一点极小的扭转，反射光就会在刻度尺上明显地表示出来，仪器的灵敏度大大地增强了。卡文迪许又进一步设法解决了仪器的各种干扰问题，例如空气流动和震动的影响。这套经过改进可以测量微小力的仪器，定名为“扭秤”，现在仍然在精密实验中发挥着作用。




图6   卡文迪许扭秤实验示意图



作        者：eagle  sky
美术编辑：王日晶
校       对：于筱苒

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