宇宙的模式：递归、分形、循环

陈嘉凯

迭代版本：251，约2.6万字      

宇宙现实的运作模式是什么？程序现实与物理现实会有着怎样的结构关联？无限是否存在且意味着什么？宇宙从哪里来要到哪里去？它的目的和意义又是什么？
本文，将会从——递归、分形、循环——这三个层层递进，又相互关联的逻辑视角，给出一个从微观到宏观的图景——脑洞与烧脑并存。
主题目录如下：

• 什么是递归
  
• 程序与递归
  
• 迭代与递归
  
• 宇宙与递归
  
• 人类与递归
  
• 递归模式
  
• 分形递归
  
• 一切是循环
  
• 循环与意义
  
• 结语
  
• 后记1：遇见循环
  
• 后记2：无限
  
• 后记3：万物皆是图灵机
  
• 后记4：递归循环即世界
  
• 后记5：宇宙模式的不完备性
  
• 后记6：对宇宙模式的五种信仰
  
• 后记7：系统的不确定性
  
• 后记8：预测未来的限制
  

什么是递归

一个事物由这个事物本身所构建，那么在理解这个事物的时候，就需要先理解事物的构成，于是就回到理解这个事物本身，从而再次需要理解这个事物的构成……这个不断循环理解的过程就形成了——递归。
显然，这个递归的解释本身也是递归的。
而从字面意思来看，递——是传递，归——是回归，那么从传递开始回归到传递的开始，就是从一个地方出发，回到了出发的地方，就完成了一次循环，而不断重复这个循环，就是——递归。
这里有一个耳熟能详的递归故事：
从前有座山，山里有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，他们在说故事，故事是什么呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，他们在说故事，故事是什么呢？从前有座山，山里有座庙……等等……
由此可见，递归有两个要素，即：循环嵌套和自身构建。

• 首先，循环嵌套——就是一遍又一遍的重复同样的过程，且每次重复都嵌套在上一次的重复之中。
  
• 其次，自身构建——就是在循环嵌套的过程中，每次重复的过程和内容，都是由同一个“自身”（代表着结构和模式）所构成的。
  

例如，在上面那个耳熟能详的递归故事中：

• 循环嵌套的——就是老和尚和小和尚在庙里说故事，其代表了上层循环的故事，也引出了下层循环的故事。
  
• 而自身构建的——就是这个故事的内容，其具有相同的结构和模式，有趣的是这同样也是“老和尚和小和尚在庙里说故事”。
  

于是我们可以看到，老和尚和小和尚在庙里说的故事就是——“老和尚和小和尚在庙里说故事”。所以，这个故事是递归的，因为故事循环嵌套，且故事是由其故事自身相同的结构和模式，所嵌套而构成的。
那么继续展开来说，这里有以下几点值得深思，并细细体会一番：
第一，自身构建，虽然其基本构成有相同的结构和模式，但不代表其内容和内涵是相同的。
例如，“老和尚和小和尚在庙里说故事”——是相同的结构和模式，但在每次循环中，都是不同的老和尚和小和尚，而这个说的故事，则包含了其后所有嵌套的故事的总和——也就是说每次循环中老和尚说的故事，都是其后所有故事的总和，且其后的每一个故事都有一个不同的老和尚和小和尚。
那么， “一个事物由这个事物本身所构建，那么在理解这个事物的时候，就需要先理解事物的构成，于是就回到理解这个事物本身。” ——这里，其实每次回到理解这个事物本身的时候，这个事物就已经不是原来的那个事物了，只是这些事物拥有相同的结构和模式，但不具有相同的内容和内涵。
第二，结构和模式相同，内容与内涵不同，意思就是说，结构和模式不变，但结构和模式所承载的数据变得不同了。
那么，“从传递开始回归到传递的开始，就是从一个地方出发，回到了出发的地方。”——这就是说，其实地方还是原来开始的地方，但这个地方的环境数据（环境信息），却发生了变化，与之前变的不同了。
于是很自然的，我们就会问，那在递归中的环境数据怎么就不同了？为什么会不同了？不同在哪里了？
事实上，老和尚、小和尚、庙、故事——就是数据（信息）。在每层的循环中，老和尚、小和尚、庙都对应着当前的故事——这是每层循环都不一样的一个故事，虽然结构和模式是一样的，但却是另外的时间、地点和人物，只不过同名同姓又同地（相同环境）。而老和尚和小和尚在说的故事，则指向了下一个同样结构和模式的故事。
由此，我们可以看到，环境数据——不同的老和尚、小和尚、庙，存储在了上下文中的结构之中。这个结构拥有相同的模式——就是“老和尚和小和尚在庙里说故事”，其中老和尚、小和尚、庙、故事都是结构的组成，可以替换成任意其它的同类型对象（比如不同的老和尚1，老和尚2，等等，以此类推），所以它们都是变量——存储着不同的数据。
第三，在递归的循环嵌套中，其任意局部的循环嵌套部分，也是递归的。
例如，在任意嵌套深度，局部的来看，重复嵌套的结构和模式都是——“老和尚和小和尚在庙里说的故事”，那么单看这些循环嵌套的局部，也亦是递归。
所以，在整体上的递归，在局部也存在着递归，甚至有时候——递归是由递归所构建而成的。
第四，在递归中的自身构建，其相同的结构和模式，是可以拥有任意复杂度的。
也就是说，这个结构和模式，可以是由简单形式组合而成的复杂形式的——什么意思？举一个例子，让我们来扩展一下那个耳熟能详的递归故事：
从前有座山，山里有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，他们在说故事，故事是什么呢？从前有座山，山里有座庵，庵里有一个老尼姑和一个小尼姑，她们在说故事，故事是什么呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，他们在说故事，故事是什么呢？从前有座山，山里有座庵……等等……
我们可以看到，循环嵌套的故事变成了——“老和尚和小和尚在说故事，老尼姑和小尼姑在说故事”。所以，在自身构建中，相同的结构和模式也就变成了——“老和尚和老尼姑一起说对方的故事”。
当然，可想而知，我们可以通过组合的方法，无限复杂化自身构建中的结构和模式——甚至复杂到，让身处在递归中的智能生命体，无法感知到自己身处在递归的结构和模式之中。
第六，递归是可以拥有出口的，也就是说递归可以跳出并终止。
什么意思呢？这就是说，老和尚和小和尚的故事可以一直说下去，此时递归就是没有出口——无限循环嵌套下去的。
但如果老和尚和小和尚某次说的故事，其内容并没有继续说下一个故事——比如老和尚和小和尚在探讨递归的奥秘，不再说自身模式的那个故事——那么，此时递归就结束终止了。于是，这一次的老和尚和小和尚就成为了最后一次的循环——也就是递归的出口。
而同时，递归终止就会开始回溯，从最后一次循环开始逐层返回到上一层，这代表着“故事”的层层回归。
要知道，在递归结束之前，我们并没有任何一个完整的故事，因为每个故事都没有说完，每一个故事都有下一层的老和尚和小和尚在说，但还没说完的故事。
最终，回溯会收敛到最开始，就是第一次老和尚和小和尚在说故事，同时我们也会得到一个最完整的故事，其内容就是第一次循环到最后一次循环之间所有的（相同结构不同内涵的）故事总和。
于是，这个故事就包含了——各种不同的老和尚、小和尚、庙，直到最后老和尚和小和尚在递归终止处探讨递归的奥秘，这些所有的数据。
那么显然，如果递归没有出口，就不会有回溯和收敛，所有的一切都是不完整的，一切都是局部的，数据会散落在结构的各处——存储在上下文之中，结构的模式相同——并形成嵌套，而重复的结构会一直延伸到循环的无限处。
这里再给出一个，更加简单且贴近生活的一个递归模式：
例如，公司的日常管理，总裁只会管理副总裁，副总裁管理部门负责人，部门负责人管理总监，总监管理经理，经理管理员工——每一层都是抽象化相同的管理，而从员工层层回溯的是执行力，当总裁了解公司执行情况的时候，一次递归调用就结束了。
程序与递归

在计算机程序中，循环有两种，即：迭代循环与递归循环。
其中，迭代循环只需要固定数量的寄存器即可，而递归循环则需要辅助的堆栈结构，来存储递归过程中的上下文信息。
那么，递归收敛的过程，其实就从远离结果的抽象，向着结果的具体，逐渐逼近的过程。当递归从出口跳出终止的时候，递归程序就获得了最终想要的结果了。
例如，递归求解斐波那契数列，这就是在跳出递归循环的时候，层层回溯，得到最后的结果——斐波那契数列，就是从0和1开始，每一位数字都是前两位数字之和的数列，如：0112358……那么，用递归求解数列的“某一位”，我们可以把“某一位”表示成它的“前两位”之和，其中每一位都是“前两位”之和，重复这个表示，直到“前两位”是“0和1”，此时就可以得出后面“所有位”的数值了。
而在计算机程序中，递归循环一定需要出口，否则就会变成一个无限递归的死循环——从而导致程序出现无法响应的情况。同理，迭代循环也需要有明确的终止条件，否则也会形成死循环。
那么递归程序，之所以需要一个堆栈结构来存储上下文信息，是因为递归程序也会把过程信息存储在一个重复相同的结构模式之中，只不过这个结构模式，是用程序所构建的数据结构，即：代码实现的函数结构。

• 在数学中，所有方程都是函数，如果在不违反康托尔连续统（即实数集）结构的条件下，函数基本可以和方程看成等价。
  
• 在程序中，函数其实是一种计算——是一个量到另一个量的计算。
  

同时，这个函数结构也是一种虚拟的信息结构，其本身也需要一个存储结构，即堆栈结构，而这个堆栈结构，其实是一个通用的抽象结构模型，其本身也需要一个具体的结构实现，即（计算机物理的）硬件结构。
事实上，在程序和编程语言之中，递归是习以为常与无处不在的模式，显然函数的返回值，可以是另一个函数，然后就一直递归下去（形成死循环）。
有趣的是，在数学证明中，其展开的步骤与收敛的结果（即公式），也可以看成是一种递归。
而从底层视角来看，程序——其本质就是用信息来模拟和映射现实，计算——其本质就是用一个系统来模拟另一个系统。
例如，经典计算机——就是用经典物理系统去计算模拟现实，而量子计算机——就是用量子物理系统去计算模拟现实。
例如，比喻和类比——就是用一个熟悉的事物，去模拟另一个陌生的事物——这会减少大脑的计算，从而感觉更容易理解。
由此可以想象，被递归程序所描述、模拟、计算的现实世界，也应该是充满了递归模式的。
然而，或许现实世界，不仅仅是充满了递归的，更或许其本身就是递归的，甚至连整个宇宙都是递归的。
迭代与递归

我们通过一个例子，来了解迭代与递归，在处理同一个任务时，会有什么不同，这个任务就是：追到女神。
首先，迭代循环——是整体视角，它可以看清整体变化的过程。
这意味着高屋建瓴地把追到女神，分为若干个步骤，这些步骤可以一样也可以不一样，如送礼物、看电影、请吃饭等等。然后，一个步骤的执行就是一次迭代，即循环了一次。直到循环结束，如迭代了520次，女神就必定追到了。
可以看到，在520次的迭代中，每次迭代的结果都是明确的，都比上一次更加接近目标，并且也不依赖下一次的迭代，但可能会依赖上一次——比如上一次看电影了，这一次就不会再看电影。
其次，递归循环——是局部视角，它无法看清整体变化的过程。
这意味着无法知道经历几次循环，才可以追到女神，只是不断重复同样的操作，如热切地尬聊，但每次尬聊可以发生在不同的场景和时间，如餐厅、郊游、雨天、深夜等等，以及聊不同的内容，即：操作相同，数据不同。直到女神，在一次尬聊中，回复了520，就代表递归的结束，即追到女神了。
可以看到，在追到女神之前，每次重复操作（即尬聊）的结果，都是不明确的，因为并不知道有没有更加接近目标，或许某次尬聊就会导致女神不悦，而产生了远离目标的结果。但每次尬聊的目的，都是女神回复520，只是不知道会在哪一次尬聊中发生——这与迭代循环，每次逼近目标是不同的。
换言之，在递归中的每次重复操作，其结果都会依赖于下一次操作，直到最后一次操作完成目标，才能知道前面每次操作的结果，否则一切都是未知的——比如这次尬聊，女神态度积极，说明上一次尬聊效果不错，而只有追到女神，才能知道之前每次尬聊的实际效果如何。
就像前文所提到的，递归求解斐波那契数列，以及老和尚和小和尚说故事，都是每一步的结果，依赖下一步的结果，直到没有下一步的最后一步，就会开始层层回溯。
那么综上可见，迭代与递归，有时是可以相互转换的，有时却是不行的，而整体与局部视角的不同，就是两者的最大不同。那么结合上例，我们可以看到：
对于迭代循环

• 有一部分依赖信息，必须放到局部之外，所以它是整体视角，才可以在局部之外存放信息。如：追女神的循环次数，以及步骤顺序。
  
• 是从第一步逐渐逼近目标的过程，每一步的操作可以相同或不同，每一步都依赖上一步，但不依赖下一步。如：追女神分为520步，每一步都在逼近结果，且操作不同。
  

对于递归循环

• 所有的信息，都放在了局部环境之中，并不需要局部之外的信息。如：追到女神的判断，是根据局部操作的反馈来的。
  
• 是从目标开始，最终回归到目标的过程，每一步的操作都相同，每一步都依赖下一步，直到完成目标的那一步。如：每次都是相同的尬聊操作，每次尬聊的目的都是女神回复520（从目标开始），每次尬聊的效果，逐级依赖女神最后回复520的那次尬聊（回归目标）。
  

或许在这个例子中，每次只有相同的尬聊，所以递归才不确定啥时候能追到，而迭代却可以逐渐逼近目标。
但如果，我们身处在一个循环结构之中，对于迭代和递归的判断，又是另外一回事了。因为身处其中，我们会很容易识别——迭代，却很难发现——递归，而只有来到“置身事外”的视角，才能够判断出——我们自身是否是处在一个递归之中。
例如，程序上的递归，一般都不是从整体设计开始的，而是用迭代完成之后，发现如果把迭代优化为递归，则会更加简洁自然与合理，并且有了迭代的经验，以后类似的场景，就可以从局部设计开始，直接实现递归，再回溯到整体设计。
最后，我们经常说的迭代产品，就是一个典型的——迭代循环模式。
因为，首先迭代产品有一个全局视角，即需要明确的目标与步骤；其次每次迭代，都是在上一次基础上的叠加改进，即依赖上次迭代结果，而不依赖下次迭代结果，且每次迭代都是在逼近最终目标与完成步骤。
宇宙与递归

由前文可知，是否身处递归模式，只有置身事外才能有所洞察，而显然，我们无法拥有“宇宙之外”的整体视角，但在此我们可以做一个断言假设，然后以后见之明，来推演一番假设的合理性与现实的巧合性。
如果宇宙是递归的，那么递归收敛的方向——就是宇宙的演化方向。而熵增定律表明，目前宇宙的演化方向，就是向着（热力学）熵值增大的方向，即：从有序到无序的方向。

定律——是由实验得出的经验总结，其正确性由实验保证，未来可能会出现反例。
定理——是由数学逻辑推导出的结论，其具有保真和永真性，未来不可能出现反例。

于此同时，宇宙中时间所描述的变化，即质量到能量的变化，也就是无序熵增的方向。因为（热力学）熵值，简单来说——就是孤立系统中，无序程度（即随机性）的度量。或更通俗地说，奥地利物理学家——玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann），认为熵只不过是计数不同的可能性。

孤立系统（Isolated System）——是指既没有物质交换，也没有能量交换的系统。
封闭系统（Closed System）——是指没有物质交换，但有能量交换的系统。有时可以把封闭系统，和其所影响的环境系统，一起看成一个孤立系统；或把暂时没有能量交换的封闭系统，暂时看成一个的孤立系统。

那么，系统熵值增加，则代表着系统做功能力的下降，可利用能量的减少（即质量减少），无序度的增加。
需要指出的是，做功度量了能量的转化量，做功能力下降就是能量转化量下降，即可利用能量的减少，而可利用能量最终是来自质量（如太阳能），那么消耗能量，也就是转化质量为能量的意思，其结果带来了更多的随机运动，导致系统状态无序度增加。

能量——是一个守恒量，可以在不同形式之间转化，由运动划分为势能和动能（以及两者的混合），势能是运动的潜力，动能是运动的度量，也就说势能存储了动能的能量，这两类可以描述所有形式的能量。那么利用能量，就是释放势能中的能量，或说转化势能为动能，也就是降低能量差。

通常可利用的能量，也被称为自由能（如化学能、热能），其代表了将内能转化为对外做功的能力，而内能中不自由的能量是核能（一般难以利用），而增加或减少自由能，几乎不影响物质的质量（但实际仍有极小的影响）。

所以，宇宙作为一个整体系统，其内部质能转化的过程（如太阳的核聚变），就是质量（有序结构，势能）转化为能量（无序运动，动能）的过程。
因此，时间描述的变化，代表的也就是宇宙的演化方向，其指向了宇宙递归的出口，并揭示了宇宙递归的收敛，即：逐渐逼近宇宙熵值最大的那个时刻。
而在宇宙递归的出口，即收敛到熵值最大的时刻，就代表着宇宙的终点，此时宇宙整体，质量为0，但信息量最大——因为平均信息量就是信息熵（即信息熵是信息量的期望值），而信息熵是热力学熵的超集，即热力学熵是信息熵的特例（或说子集）。

兰道尔原则（Landauer's Principle）——是指改变信息熵会改变热力学熵，定量来说，是改变1比特的信息熵会改变k * In2的热力学熵（k是玻尔兹曼常数），或说改变1比特的信息最少需要kT * In2的能量（T是温度）。

关于质量减少，信息量却增加了，可以理解为——质量是结构有序，能量是运动无序，当有序转变成无序，随机运动的状态数（即状态可组合数）就增加了，即不确定性增加了，也就是信息量增加了。
例如，有序结构的苹果，被打散成随机运动的原子后，这些原子可以组合成相同质量的——橙子、梨子、或桃子等等，那么这些原子的信息量，就会远远多于苹果的信息量。
因为，信息量是不确定性的度量，即：越不确定，信息就越多。而如果能够，获取系统的内部信息，就可以降低系统的信息量，即：降低系统的不确定性。
例如，抛硬币系统具有不确定性，因此它具有信息，而如果知道硬币不均匀，每次都是正面向上这个信息，就可以消除系统的不确定性，让系统不再具有任何信息（即信息量为0）。
例如，私密的特定信息，可以帮助我们进行身份确认，即消除身份的不确定性。
所以，获取系统信息，就可以消除（其来源）系统的不确定性。这可以理解为，系统的不确定性，随着信息被获取而流失了——也因此，信息量取决系统，即同样的信息（描述性结构），对于不同的系统，其信息量不同。
而信息消除系统的不确定性，就意味着减少了系统的状态数，即系统变得更有序了，但获取系统信息的过程，却需要消耗更多系统之外的能量，即让系统之外的整体，更加的无序熵增。
需要注意的是，获取信息中的测量，可以不消耗能量产生熵增，即有些测量是可逆操作，可逆就不会熵增，而一定熵增的操作是计算，更确切地说，是计算中的信息擦除，因为擦除是一个不可逆的操作，显然可逆就不是擦除 。

在经典热力学（即宏观热力学）中，不可逆性意味着孤立系统，熵值的增加。

可见，信息就是“负熵”——获取信息就会有序熵减，失去信息就会无序熵增。
例如，生命体需要不断地与环境交互，通过感官获取环境信息，以维持自身的有序熵减，即：“生命以负熵为食”。
那么在终点处，宇宙才会揭晓其递归的全部信息——它将会隐藏在宇宙最大的信息量之中，并且往往递归的出口，也就是另一个新递归的开始。
由此可见，在宇宙递归收敛的过程中，时间揭示了——所有信息的变化，而所有的物质——其实就是宇宙的数据，数据蕴含着信息，其存储在宇宙结构的上下文之中。
事实上，数据与结构之间是可以相互转化的，因为数据本身就是结构，而结构可以吸收数据形成新的结构。
于是，宇宙递归收敛的过程，其实也就是——结构向数据的转变，即：数据越多，数据中可排列组合的信息就越多，系统就越不确定性，也就是越无序。
所以，理论上我们可以精准的推演出过去，因为历史中的不确定性全都已经确定——只不过递归上下文中的数据量过于庞大，算力会制约我们，对过去无限精确地推演重现。
但就算我们拥有了，全部的历史数据与足够的算力，也无论如何，都无法精准的推演出未来，除了微观概率，还有一个重要的原因——就是宇宙递归的收敛还未抵达未来，也就是说未来的数据是不完整，或是不存在的。
那么，从图灵的角度来看——为什么我们无法知道，微观粒子的全部确切状态？
这是因为测量状态的机器，是由最基本的粒子所构成，这就形成了一个循环不可计算的递归，让被计算实体与计算实体发生了纠缠。
试想——最小的物理开关元件，依赖量子力学去建模，而量子力学又由一组微分方程描述，微分方程的细节行为可以由数值去近似，而这种数值又由计算机程序所描述，计算机程序的运行又依赖物理元件。
这种运行与构建的关系，就像老和尚无法计算出，在他的故事里一共有多少个庙一样——除非递归终止，即运行与构建结束。
同时，这也是人类直觉，无法理解量子力学的原因所在——因为人类直觉，是建立在分子水平之上的，在分子之下的量子尺度，并没有直觉的立身之地，所以直觉无法感知和捕捉量子行为，也无法模拟计算量子行为。
显然，我们是宇宙的一部分（局部），但我们在试图理解宇宙（整体）——那么，我们最终能理解宇宙吗？如果能理解，这是否就意味着，宇宙自己能理解宇宙自己呢？
于是，这就引出了一些有趣的视角——关乎我们与宇宙之间的关系。
人类与递归

如果说宇宙是递归的，那么就可以说——宇宙是由宇宙本身所构建的。
而人类，显然是宇宙递归过程的中间产物，其中人类智能的发展，所产生的对宇宙的认知和理解，就可以看成是在加深理解——宇宙递归这个嵌套层级的深度，同时也可以看成是宇宙在试图进化出，可以理解其自身的产物，即“我们”。
但在宇宙递归结束之前，其本身都是不完整的，那它又如何去构造一个可以理解完整自己产物（结构）呢？
这就像，通过一幅画上的一个色块，如何去理解，作画人的想法和意义一样。通过这个色块可以看到色块的构成、种类、属性、或者联想到其它的色块。但这些都只是一些局部零碎的信息，其与色块构成的画卷相距甚远。
那么试想，一幅画就是宇宙，作画人就是上帝，色块就是人类，可上帝又是谁的色块呢？依然是递归，疯狂的递归，递归把信息存储在了上下文中，这就是环境信息——其中就包含了人类和人类的认知。
可见，如果理解宇宙是一个谜题，那么递归的视角告诉我们，理解本身也是一个谜题，只有理解了理解才能真正理解，但每次理解都会引出一个不理解的理解，接着进入到循环的下一个层级。
因此，我们的知识可以逼近，但一直不能很好的“解码”出——宇宙源头、生命的源头、人类的源头——这就是递归无法抵达“源码入口”的现实诠释与限制。
从宏观角度来看
既然宇宙起源于奇点，黑洞的中心也是奇点，黑洞来自于超大质量天体的塌缩，再把宇宙看成一个更大的超大质量的天体，于是这就显现出了递归模式——可以推想，每个黑洞里都有一个宇宙，而我们的宇宙就是处在一个黑洞之中的。
换言之，我们就身处在“宇宙黑洞”之中——所以无法将“光信息”传递出去，也难以获取黑洞之外的信息，所以量子涨落并不意味着能量不守恒，而是从黑洞之外“借还”了能量——因此，宇宙之中的黑洞，就是黑洞的嵌套，也就是宇宙的嵌套。
而从广义相对论的引力场方程中，我们可以得出：宇宙结构要么膨胀，要么收缩，但永远不会静止。这种膨胀与收缩，正好对应了递归模式中的——收敛与展开。

• 对于递归收敛——代表宇宙膨胀（熵增），将质量返回上层，自身质量减少。
  
• 对于递归展开——代表宇宙收缩（熵减），将上层质量接收，自身质量增加。
  

那么，层层收敛，最终会导致质量积累在某一上层“爆炸”（坍缩为奇点），接着就会发生层层展开，直到质量积累在某一下层“爆炸”，再次开启层层收敛，将质量返回上层，直到某一上层“爆炸”，……，如此循环。
从微观角度来看
如果一个有智能的“构造”，创造了一个和自己智能一样机制的“构造”，并且这个“构造”可以继续创造和自己一样机制的“构造”，那么这就是递归。
如果宇宙是递归的，那么宇宙肯定能递归出一个子宇宙，那么现在宇宙有了人类，人类就是这个递归机制的一部分，那么可想，人类应该就可以递归出一个子人类——就是和人类智能一样的“构造”，这就像宇宙创造人类一样。
于是我们看到，宇宙创造了基因，接着基因依靠蛋白质来控制生命体，然后基因升级创造出了可以产生智能的器官——大脑——这是一个可以动态吸收数据信息，并时时决策的器官。而这个器官大脑，可以产生和消费数据和信息——这正是宇宙递归过程的产物，接着大脑所承载智能，因为吸收环境信息而升级，变得可以去理解宇宙本身，并开始创造一种被称为——“人工智能”的程序。
那么，很自然的人工智能的升级，就会开始去试图理解人类本身，于是这个递归的模式，也就已经显现出来了。
从数学角度来看
在一个命题中，如果出现了自我指涉（Self-Reference），就不可避免的出现悖论。
例如，说谎者悖论：“我现在说的这句话是谎话。”

• 如果命题为真，那么命题的语义，要求命题是谎话，但这与命题为真矛盾。
  
• 如果命题为假，那么命题的语义，要求命题是真话，但这与命题为假矛盾。
  

例如，数学命题悖论：“本句数学命题不能被证明。”

• 如果命题为真，那么命题的语义，要求命题不可证明，但这与命题为真矛盾。
  
• 如果命题为假，那么命题的语义，要求命题可以证明，但这与命题为假矛盾。
  

而哥德尔不完备性定理，证明了任何封闭的形式系统，必定存在不可证明的命题，即：

• 如果公理集是一致的（没有悖论），则它是不完备的（剔除自指）。
  
• 如果公理集是完备的（含有自指），则它是不一致的（出现悖论）。
  

可见，哥德尔的证明，否定了对具有完备性和一致性的数学系统的追求。
那么从某种角度看，这些形式系统的某些部分，实则映射了——我们的真实世界，即：形式系统是现实系统的超集。换言之，哥德尔不完备性定理不仅会影响数学这个逻辑世界，还会以某种不被理解的方式影响客观世界。
因此，我们的世界其本质逻辑，必定是存在自我指涉的，而这就是（自我嵌套）递归模式的产物。
例如，生物细胞具有构造其自身的信息（即DNA），基本粒子具有构造其自身的信息（即波函数）。
事实上，就连哥德尔不完备性定理的证明核心，也是构造了一个递归函数的多次替换，即递归函数递归调用了多次，结果产生了一个系统内部无法解决的悖论，才证明成功的。
对此，著名认知科学家——侯世达（Douglas Hofstadter），在《哥德尔、艾舍尔、巴赫》中，说道：
“哥德尔不完备性定理证明的关键，在于能写出一个自指的数学陈述，就像说谎者悖论是语言中的自指语句一样。数学陈述——这里我们只讲数论的陈述——是关于整数的性质的。简而言之，哥德尔展示了，无论涉及到什么公理系统，可证性总是比真理性弱的概念。”
有趣的是，这与图灵的不可计算性证明，在构造数学结构映射方面，有着异曲同工之妙（后记3：万物皆是图灵机）。
那么，递归系统，能算是一个封闭的系统吗？
它是动态地永复循环，每一个子系统都会有一个上层系统与下层系统，并没有一个静态独立的系统。
因此，递归系统的完备性，正是来自于它递归的不完备性（后记5：宇宙模式的不完备性）。
从无序熵增来看
宇宙的方向——无序熵增，这是目前实验得到的一条经验定律。而如果按照递归视角，我们正处在收敛的过程之中。
那么由此可知，在宇宙之中重要的不是生命与智人，而是智能——因为，这代表的是数据信息的排列组合，是信息量的增加，是质量与能量的转换，即：熵增返回质量到上层。
从递归模式来看
就如前文所述：递归的自身构建，甚至可以复杂到，让身处在递归中的智能生命体，无法感知到自己身处在递归的结构和模式之中。
因此，宇宙是不是递归的，我们并不能判断，只不过宇宙如果是递归模式，就可以很自然地解释很多现象。
事实上，正是递归层级的封装与限制，使得我们可以安心的处在某一个层级，而不必在意或理会上一层级或下一层级——可能某一层级也处理不了其它层级的事情。
例如，在某一层级，其中又会有无数的递归子层级，但“层级”帮助我们屏蔽了“细节膨胀效应”，就像宏观运动不考虑微观粒子一般，否则穿越层级的计算，会让简化的物理模型统统失效。
同时，这也是哥德尔不完备性定理的表现，即封闭系统存在系统本身无法证明的命题，也就是说，身处递归循环的你是无法证明你自己是否处在递归循环之中的，需要在这个系统之外，才能够证明这个系统是否是在递归循环。
例如，我们无法看见自己的头顶或后脑勺，需要借助自身系统之外的工具才行（如别人或镜子），我们也无法看见自身系统内部的构造，也需要借助自身系统之外的工具才行（如医学检查设备）。
用哲学语言来说，就是著名哲学家——维特根斯坦，曾说的那句名言：“世界的意义在世界之外。”——但世界之外的意义呢？显然，这就要去到“世界之外”的之外，以此类推地递归循环，就可以找到无限的“意义”。
类似的，爱因斯坦也有句名言：“世界最不可理解的，就在于它是可理解的。”——世界不可理解，是因为需要系统之外的视角，而世界可理解，则是因为系统内外是递归循环的——显然，这句话的悖论矛盾性深刻揭示了世界的不完备性。
无限递归</b>地自我指涉下去。
后记8：预测未来的限制

为什么还原论，在几乎所有的情况下，都可以有效的工作，但却在最根本的量子尺度上，阻止了我们对未来的准确预测呢？
这就是，我们所身处的“世界系统”的一个基本限制，即：
我们是系统的一部分，预测也是系统的一部分，于是“我们预测”对系统来说，就形成了“自我指涉”，而自指结构的预测过程永不会结束——除非出现错误或失真。
换言之，一个预测程序执行理论算法，可以预测未来——理论算法没问题，只要数据信息完整——但这个预测过程包含了预测程序自身的运行，即：预测程序其实在预测自己——于是，预测结果需要完成预测，完成预测需要停止预测，停止预测需要完成预测，从而完成预测需要完成预测，所以永远无法完成预测。
显然，这就是逻辑学中，图灵机的“停机问题”——图灵给出的答案是，无法判定是否停机，即：在图灵机之上构建的“预测机”，针对未来的预测计算无法停机，也就是没有结果的死循环。
当然，如果预测计算“错误”或是“失真”，自然就可以停机——而这个错误就是“悖论”，这个失真就是“不确定性”。
那么，如果将我们可观测的世界（即宇宙系统），看成一个封闭系统，则“预测错误”（即悖论）——就是哥德尔不完备性定理的数学预言，且“预测失真”（即不确定性）——就是量子力学的物理预言。
可见，对于一个非封闭的局部系统，我们是可以构建“图灵预测机”来预测它的，但对于一个封闭的整体系统，我们就只能在数学和物理的预言中，得到“错误的悖论”与“失真的不确定性”。
事实上，当我们仰望着宇宙星空，或者凝望着自我的时候——我们看到的就是一个，自我指涉的封闭系统，并且后者嵌套在前者之中，也就是自我系统嵌套在宇宙系统之中。
因此，关于预测（我们所关心的）未来，或许早有定数，但我们却只能被系统限制在“未知”，即对未来的“无知”。
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清凉一夏啊沼

非常感兴趣的内容。请教一下 想进一步学习递归有什么书籍推荐

李冰381

递归主要是程序中的一个概念，很多说递归的书籍都是和编程或数学相关的。单独介绍递归的书籍，好像很少见，一般都是在介绍程序设计或算法的书里有讨论。文中把递归类比到非编程场景的内容，是我自己的体会和理解，而我关于递归的概念是在编程的时候学习到的。不过也不排除存在专门讨论递归的书籍，只是我不知道。

大嘴997

谢谢

薛建朝

几何原本