为什么第一宇宙速度7.9km/s约为第二宇宙速度的1/sqrt2倍？

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今天课上学了这个，我觉得这两个数的关系很巧妙，请问这两者事巧合还是有一定关系？

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不妨直接推导一下二者的关系。
第一宇宙速度

一颗星球的第一宇宙速度 是物体绕星球做匀速圆周运动的最大速度，也是运行轨道最低（即贴地飞行）时匀速圆周运动的速度。显然它满足

其中
——万有引力常量
——星球质量
——绕转物体的质量
——星球半径

解得

第二宇宙速度

一颗星球的第二宇宙速度 是物体从地面出发无动力无阻力飞行脱离该星球引力的最小速度。显然其满足

其中
——整个过程中星球的引力对物体做的负功

我们记物体到星球球心的距离为 ，则

积分内带有负号是因为引力指向球心，与 相反

代入得

即

<hr/>综上，

换即势

因为二者的公式就是如此
在第一宇宙速度 万有引力应与惯性离心力平衡
$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$

于是有
$v=\sqrt{\frac{GMm}{R}}$

在第二宇宙速度 物体的总机械能应大于等于零 才可以逃脱中心天体的引力
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}=0$
于是有
$v=\sqrt{\frac{2GMm}{R}}$

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第一宇宙速度和第二宇宙速度之间的关系不是巧合，而是由物理定律决定的。
第一宇宙速度是指一个物体在引力场中沿着一条与引力场垂直的轨道运动所需要的最小速度，以克服引力而不落回引力源。在地球的引力场中，第一宇宙速度大约是7.9公里/秒。而第二宇宙速度是指一个物体在引力场中沿着一条与引力场相切的轨道运动所需要的最小速度，以绕着引力源做圆周运动。在地球的引力场中，第二宇宙速度大约是11.2公里/秒。
现在我们来看看这两个速度之间的关系。对于一个物体在地球的引力场中沿着一条与地球表面垂直的轨道运动，它的速度等于第一宇宙速度7.9公里/秒。如果这个物体沿着同样的轨道以第二宇宙速度11.2公里/秒的速度运动，它将沿着一个与地球表面相切的轨道绕着地球运动，这条轨道也被称为圆轨道。
现在我们来计算这两个速度之间的关系。当一个物体在一个圆轨道上运动时，它所需的向心加速度为a=v^2/r，其中v是物体的速度，r是物体到引力源的距离。如果我们把第一宇宙速度代入这个公式，我们可以得到：
a = v^2/r = (7.9 km/s)^2 / (地球半径+100 km)
同样，如果我们把第二宇宙速度代入这个公式，我们可以得到：
a = v^2/r = (11.2 km/s)^2 / (地球半径)
现在我们把这两个加速度相等，解出地球半径+100公里与地球半径的比值，可以得到：
(地球半径+100 km)/地球半径 = (11.2 km/s / 7.9 km/s)^2 = 2
这意味着地球半径+100公里大约是地球半径的两倍。因此，我们可以得出结论，第一宇宙速度7.9公里/秒约为第二宇宙速度11.2公里/秒的1/sqrt(2)倍，这是由于物理定律所决定的关系。

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第一宇宙速度和第二宇宙速度之间的关系可以通过能量守恒和动量守恒定律来推导。
当一个物体沿着一个天体的重力势场运动时，它的总机械能等于它的动能和势能之和。当物体沿着一个离心轨道移动时，它的动能最大，而它的势能最小。因此，当物体沿着一个离心轨道移动时，它的总机械能是最小的。
当物体沿着一个离心轨道运动时，它的动量是在运动的平面上恒定的。这是由于在一个惯性参考系中，沿着一个轨道运动的物体不受外力的影响，因此它的动量在运动的平面上是守恒的。
因此，当物体从静止开始沿着一个天体的重力势场运动时，它的总机械能等于它的动能和势能之和。当物体沿着一个离心轨道移动时，它的总机械能是最小的，这意味着它的动能是最小的。根据动能公式K=1/2 mv，我们可以得出第一宇宙速度是√(1/2)倍第二宇宙速度，即第一宇宙速度等于第二宇宙速度的1/√2倍。