什么是数学？未来科学大奖得主莫毅明研究的是啥？

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知识分子

The Intellectual

2022年未来科学大奖-数学与计算机科学奖得主：香港大学Edmund and Peggy Tse讲席教授莫毅明
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编者按

刚刚，2022年未来科学大奖揭晓，香港大学教授莫毅明成为新晋数学与计算机奖得主，获奖理由是：奖励他创立了极小有理切线簇(VMRT)理论并用以解决代数几何领域的一系列猜想，以及对志村簇上的Ax-Schanuel猜想的证明。
1956年出生的莫毅明主要从事多复变函数论、复微分几何与代数几何的研究。他1978年从美国耶鲁大学获得硕士学位，1980年获斯坦福大学博士学位，先后在美国普林斯顿大学、美国哥伦比亚大学、法国巴黎大学任职，1994年回到香港担任香港大学数学系讲座教授。
“莫毅明教授的工作树立了复几何、代数几何以及数论成功合作的典范。”未来科学大奖科学委员会委员、美国西北大学Pancoe 讲席教授夏志宏评论说。


撰文 | 夏志宏
责编 | 陈晓雪

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什么是数学？


一年一度的未来科学大奖刚刚揭晓。祝贺三位获奖科学家荣获未来科学大奖：


生命科学奖，李文辉，北京生命科学研究所资深研究员, 清华大学生物医学交叉研究院教授；
物质科学奖，杨学明，南方科技大学教授，中国科学院大连化学物理研究所研究员；
数学与计算机科学奖，莫毅明，香港大学Edmund and Peggy Tse讲席教授。


作为未来科学大奖科学委员会委员，今年的评选工作又有了值得庆贺的结果，倍感欣慰，在评选过程中看到了大中华地区科学的发展与活力，而获奖者们的杰出工作让人看到了中国对科学和人类文明的贡献。


数学与计算机科学奖获得者莫毅明教授的工作非常艰难、深刻。本想详细介绍他的工作，但知难而退，先聊聊数学学科本身。


一提起数学，很多人想到的是计算、做题与数学竞赛。其实这些只是数学技巧，不是数学本身。就像画笔、油布不是艺术，而是艺术的工具。


数学力求通用、抽象、概括。最简单的例子是教小孩加法，通常我们会说1个苹果加2个苹果等于3个苹果，或者1个橘子加2个橘子等于3个橘子，小孩慢慢会发现苹果和橘子并不重要，重要的是数字本身。小孩慢慢也能总结，如此算法也可以应用到其他物体上。渐渐地，小孩的思维里就可以丢掉具体的苹果和橘子，抽象为统一的 “1+2=3”。


不要小看如此简单的公式，这里有了一个质的飞跃。我们并不管1、2、3背后的东西，苹果也好，飞机也好，甚至非常抽象的概念，都有一个同样的规律。


这就是数学。


一般数学理论就像1+2=3这样，只不过是在更高层次上抽象概括，其重要性也像1+2=3一样深刻。有人会觉得抽象数学很难，其实大部分人都已接受1+2=3这样的抽象概念，经过训练，大部分人也都能接受更高层次的抽象思维。


举个更复杂的例子。正三角形有很好的对称性，对称性的意思是，经过某些空间位置变动（移动、旋转、翻转）后仍然保持一样的图形。比如，正三角形以中心旋转120度、240度或360度以后，所处于空间的位置是一样的，另外沿某个对称轴翻转以后也得到一样的空间图形。用数学语言描述，这些保持空间位置不变的变换构成一个 “群”，称之为 “对称群”，正n角形的对称群一般记为Dn。


排成一排的三个同样的小钢球换了顺序以后，外表看上去还是一样的。顺序的转换也构成一个群，叫做 “置换群”，n个小球的置换群一般记为Sn。正三角形的对称群D3和三个小球的置换群S3刚好是一样的。


数学家的工作之一就是研究这些抽象群的性质，而不用关心它们的具体背景，所得到的结果当然也就会是普遍的、通用的。比如，大部分5次代数方程的5个根有S5的对称性，而因为S5的复杂性，我们可以得出结论，这些5次方程的解是不可能用代数公式表达出来的。也就是说，不存在5次代数方程解的一般公式，而S3，S4相对简单一些，所以3次方程和4次方程都有公式解。这就是著名的伽罗华（Galois）理论，由法国数学家伽罗华在他18岁（1830年）时创立。一年多以后伽罗华与人决斗，不幸去世。关于决斗原因，众说纷纭，有说是因政见不同，也有说是因为一个叫Stephanie的女孩。


不同数学学科有不同的研究对象。既然数学不以实物作为研究对象，我们不妨暂时称这些对象为元素。元素可以是数字、空间的点或其他抽象物体。如果元素之间可以进行代数运算，比如两个元素可以相加、或相乘，我们就得到一个学科：代数。数学上称元素上的运算为元素之间的一种结构。其他数学学科研究的是元素之间的其他结构。比如几何的研究对象就是元素之间有距离的结构。这可以理解为空间的一些点，点与点之间有距离。如果这个距离的概念有很好的性质，这就产生了黎曼几何。也有的时候，精确的距离概念并不重要，比如气球，距离可以随意伸缩，但并不改变气球本身内在的物体。这时气球的结构可以用邻居这个概念来描述。无论气球怎么伸缩，任何点都有同样的一些不同范围的邻居，邻居这种结构还是保留下来了。邻居的概念在数学上称之为 “拓扑”，这也就是拓扑学研究的对象。


也有一个特殊的数学学科的研究对象就是元素，无任何外加的结构，这个学科就是集合论。因为没有结构，给人以无从下手的感觉，因此更为抽象。


和其他科学研究一样，数学研究的目的是探索未知。当然，抽象数学本身很有趣，可以作为艺术欣赏。另外，数学可以培训概括、理性、抽象分析的能力。对很多人来说，代数、微积分等可能学了没有多少实际用处，但这些课程对思维的训练有不可忽视的作用。


其实，数学也有广泛、深刻的直接应用。最通俗的例子是网上交易。互联网是一条条透明的通道，你和银行的每一句对话其他人都可以听到，也就是说，包括交换密码本在内的对话其他人都可以听到（记得小时候看谍战片里的主要焦点就是偷取、破译或保护密码本）。在密码本完全公开的情况下，我们如何做到网络上的加密通信仍然是保密的？这可能吗？数学家告诉你，这是可能的，而且你每天都在用。这种加密方法用到了非常高深的数学理论——数论。2019年未来科学大奖之数学与计算机科学奖的获奖者王小云教授的研究领域就是密码学，而她的博士论文讨论的就是数论领域。


今年未来科学大奖之数学与计算机科学奖获得者莫毅明教授是复几何和代数几何专家。复几何和代数几何的研究对象分别是有复数结构和代数结构的几何形状。复几何研究的目的是理解这些几何形状的特性，以及它们之间的保持复结构的映射。莫毅明和合作者创立和发展了极小有理切向量族（VMRT）理论，以一组有特殊结构的代数簇来研究流形之间的解析映射，以此解决了一系列悬而未决的数学猜测。


莫毅明教授的研究非常深刻与艰难，常人很难理解。我们不妨从一个更大的视野来看数学研究。数学家们如何研究数学？数学尽管抽象，但其研究方式还是有些规律的。最常用的方法是 “比较”。群论里有简单的群，几何里有简单的流形，拓扑学里有简单的拓扑空间。我们往往对这些简单的对象有充分的理解。如果遇到更为复杂的群和空间，我们可以与其他群或空间，尤其一些简单的群或简单的空间作比较，这种所谓的比较就是找到一些有意义的、保持某些数学结构的映射（群论里是同态，拓扑里是连续函数等等）。这种方法可以用来分类，以及找出复杂对象中的简单结构。莫毅明教授的工作正是发明了一组拥有特殊结构的对象，以此通过比较来确定其他流形的性质。


表面上看，各个数学分支研究的对象不同，都在一个封闭的自我世界之中。其实不然。各个方向的相互联系恰恰是数学的活力。代数方程的解有丰富的几何结构，这是为什么有代数几何这个学科。同样，拓扑空间有诸如同调群、同伦群等丰富代数结构。当前数学上最为活跃的领域之一，Langlands Programm，就是试图证明数论与几何的联系。


莫毅明教授的工作树立了复几何、代数几何以及数论成功合作的典范。值得一提的，是莫毅明教授另外一个很有意义的工作。大家可能都知道欧拉数e和圆周率π都是超越数，即e 和π 都不是有理代数方程的根。人们猜测e和π之间也没有代数关系，这是一个经典的未解问题，它是数论上重大猜测——Schanuel猜测——的一部分。Schanuel猜测可以推广到一般代数簇上，成为Ax-Schanuel猜测。莫毅明和他的合作者最近解决了一类特殊的代数簇——志村簇——上的这一猜测，又一项了不起的工作！


再次祝贺莫毅明教授荣获2022年未来科学大奖之数学与计算机科学奖！

制版编辑 |姜丝鸭