据说阿基里斯追不上乌龟，你信吗？

伤我心太深

这是数学家芝诺提出的一个悖论：古希腊有一位跑得很快的神，名叫阿基里斯。让阿基里斯与乌龟赛跑，他永远也跑不过乌龟。

假如阿基里斯的奔跑速度是10m/s ，乌龟的爬行速度是1m/s。先让乌龟呆在阿基里斯的前面100m处。发令枪响，比赛开始后

阿基里斯跑到乌龟原位置时，过去了10秒钟，这段时间里乌龟向前跑了10m。

阿基里斯再次跑到乌龟原位置时用时1s，而这段时间乌龟向前跑了1m。

像这样继续下去，阿基里斯每次跑到乌龟原位置时，乌龟都向前跑了一段路程，这样，阿基里斯就永远追不上乌龟。

很明显，芝诺的这个悖论是违背常理的，因为一个跑得快的人肯定能够追上跑得慢的。问题出在哪儿呢？

如果我们把每次阿基里斯追到乌龟原位置都算作一个时间段。那么这些时间段加起来是

问题在这里：即使做无穷多次加法，结果也并非无穷大。即所说的这个无穷级数是收敛的。这个等比数列的和很容易求得，它的极限是100/9 s，也正好等于距离（100m）除以速度差（10m/s － 1m/s)的结果。

再来分析追及的过程：阿基里斯每次跑到乌龟处时，乌龟都向前移动了一个距离，重复进行，这个距离也就越来越小，直至趋向于0——但是，这个过程只发生在从起跑后的100/9s之间——如果要问这之间进行了多少次这个重复？答案是无穷多次。在一个有限的时间进行了无穷多次的某过程，数学在这里又有了违背常识的感觉。在100/9s的时刻，阿基里斯和乌龟处于同一个位置，这之后，他就超越了乌龟。

可以归纳一个通用的公式

d是初始距离，v1和v2分别是后者和前者的速度

• 当v2＜v1时，该无穷级数是收敛的，即跑得快的在后面追一定能追上；
• 当v2≥v1时，该无穷级数是发散的，即跑得慢的在后面不能追上，跑得一样快的也无法追上，这也符合常理；
  

从上面的悖论中，我们可以从另一个角度来看追及问题，即能否追得上，取决于追及所用的时间是无穷大，还是一个确定的值。此外，两个反常识的数学事实是：

• 无穷个数加起来并不是一定无穷大，即使你要用无穷的时间来计算这个加法。
• 有限的时间内可以进行无限多次事件。