爱因斯坦的广义相对论

伤我心太深

爱因斯坦的广义相对论

广义相对论是爱因斯坦在1915年提出来的一个精确描述牛顿万有引力的理论。这个理论比牛顿万有引力更加优美，也更加精确。
　　当时正值第一次世界大战期间，爱因斯坦在德国提出了这个理论。
　　因为这个理论可以解释水星近日点的进动，所以大家对这个理论还是有点相信的，但物理学家需要找到更多的证据来判断此理论是否正确。（进动，一个自转的物体受外力作用，导致其自转轴绕某一中心旋转，也叫做旋进。）


广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1915年发表的用几何语言描述的引力理论（发表于《普鲁士科学院会议报告》1915年，778-786），它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。
从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。
爱因斯坦的科学定律，对所有的观察者，不管他们如何运动，都必须是相同的（广义相对性原理）。它将引力解释成四维空间的曲率。

　　星光偏析实验

　　于是，1919年，第一次世界大战结束的时候，马上有几个英国物理学家投入到了检验广义相对论理论的实验之中，这个实验就是星光偏折实验。
　　星星，在夜空中眨着眼睛。其实，这些我们人类肉眼能看到的星星，至少离我们地球有几光年甚至更远。
　　那么远的距离，对地球人来说，星星发过来的光就是一束平行光线。但是，因为地球是在太阳的引力场中运动的，所以我们可以使用广义相对论的语言：这束平行光线也是一根“类光测地线”。因为广义相对论使用的数学工具是微分几何学，所以测地线的方程很容易用微分几何的语言写出，因此可以从数学的角度来描述星光在引力场中的运动轨迹。
　　那么，星光偏折又是怎么回事情呢？

　　原来，在广义相对论中，引力场的存在被等价为时空的弯曲，所以，光线在太阳的引力作用下走出来的这条“类光测地线”在空间上看起来就是弯曲的——这非常像一根筷子插在有水的杯子里，在水面附近筷子好像折断了，这是光的折射现象。星光偏折也类似一种光的折射现象。

　　那么，如果物理学家能测量出星光被太阳的引力场偏折了多少，就可以来检验爱因斯坦的广义相对论到底正确不正确了。

　　在日全食下观测星光偏折

　　当时相信爱因斯坦广义相对论的物理学家凤毛麟角，很多人不懂他的理论，因为这个理论对数学要求太高，而且在物理上很反传统。所以，1919年，这个实验刚开始的时候，很多外行物理学家对实验能结果的看法可谓莫衷一是。

　　这个实验应该怎么做呢？

　　我们可以把地球绕太阳的运动看成一个椭圆，那么，某颗恒星与地球的连线交这个椭圆于两个点，我们可以在这两个点上拍摄星星的照片，然后把这两张照片进行对比。（这两点，一个点是地球在太阳与恒星之间，另外一个点是太阳在地球与恒星之间，位置关系是不同的。）
　　当太阳在地球与恒星之间的时候，太阳光线太亮，恒星发的光会被太阳光淹没，根本就测不出来。所以，需要找到日全食的时候，这个时候太阳光不见了，恒星发的光可以在地球上拍照拍出来。


　　为了进行1919年的日全食观测，英国的物理学家们共准备了三架望远镜，包括两架10英寸口径的，一架4英寸口径的备用望远镜。
　　爱丁顿带领的剑桥大学小组在非洲西岸的普林西比岛（Principe）使用一架10英寸的，克罗姆林带领的格林威治天文台小组在巴西的索布拉尔（Sobral）使用另两架。
　　由于云彩的影响，爱丁顿小组获得的数据不多，只有两张可用的底片。而且，因为当地轮船公司即将罢工，他们只好提前离去，所以他们缺乏在当地拍摄的同一高度同一天区的对照底片。最后爱丁顿拍了一张另一天区的照片，然后在英国拍摄对照底片。
　　克罗姆林小组的10英寸望远镜是在夜间对好焦距的。当早晨发生日食时，由于温度已经升高，热胀冷缩导致望远镜对焦不准，因此星象大多不清晰。
　　4英寸望远镜得到的底片效果则比较好。4英寸望远镜底片上共有7颗可用恒星，得到的偏折角是1.98 角秒；爱丁顿小组10英寸望远镜上有5颗可用星，得到的结果是1.61 角秒。这两组数据是当时爱丁顿等人公布的数据，具体数据到底有没有被动手脚，科学史上存在一定的争议。

　　根据广义相对论，远处恒星发出的光线经过大质量的天体如太阳时，由于引力的作用将发生偏折；日全食期间，太阳被遮蔽，这时拍摄的恒星，与平时在夜间拍摄的同一天区的恒星进行比对，会发现星体的位置发生变化。


　　实际测量的时候，不同的恒星偏折角不同。通过数据拟合，给出在太阳边缘处的偏折角。在建立完整的广义相对论后，爱因斯坦计算发现在太阳边缘处星光的偏折角是1.74角秒。
　　所以，爱丁顿等人公布的数据与爱因斯坦计算出来的数据是接近的。这意味这什么？

　　这意味这爱丁顿等人的实验是支持广义相对论的。

　　这对爱因斯坦后来在全世界声名鹊起，起到了十分重要的作用。后来有人还把这个事情拍摄成一部电影，叫做《爱因斯坦与爱丁顿》。


广义相对论方程式：广义相对论可描述时空
数学方程不仅仅是有用的工具，其中很多还非常优美。很多科学家承认，当他们在构建某些方程时，不仅会考虑方程本身，也会很在意方程的形式，寻找那些简单而富有诗意的形式。
　　当然这样的优美方程中的一些声名显赫并为公众所熟识，比如爱因斯坦的质能方程E = mc^2，但是在科学领域还有很多其它的美妙方程。以下便是LiveScience网站采访很多物理学家，天文学家和数学家之后整理出的他们心目中最喜爱的方程：


　　1 广义相对论


广义相对论


　　这个方程是爱因斯坦在1915年构建其划时代的广义相对论时给出的。这一理论颠覆了长期以来我们对于引力的理解方式，它将引力描述为时空的扭曲。
　　美国空间望远镜研究所的天体物理学家马里奥·李维欧(Mario Livio)推荐了这个方程，他表示：“即便是在今天我仍然对此感到惊奇不已，这样一个方程竟然就能够描述整个时空。”他说：“爱因斯坦的所有天才智慧都包含在这个方程之中。”
　　李维欧表示：“这个方程的右边部分描述的是宇宙中的能量(包括加速宇宙膨胀的暗能量)，而左边的部分描述的则是时空的几何形式。这一方程展示了爱因斯坦广义相对论的核心，那就是质量和能量决定了几何形式和曲率，而这便是引力的实质。”
　　凯勒·克莱默(Kyle Cranmer)是美国纽约大学的物理学教授，他指出这一方程揭示了时空与物质-能量之间的关系。他说：“这是一个非常优雅的方程，它揭示了事物之间的相互关系，比如太阳的存在扭曲了时空，因此地球才会在轨道上围绕太阳运行。它同样揭示了宇宙自大爆炸以来是如何演化的，并预言了黑洞的存在。”



　　2 标准模型


标准模型



　　物理学界的另一项经典理论是“标准模型”，这一模型所描述的是组成宇宙的基本粒子。美国加州SLAC国家加速器实验室的理论物理学家兰斯·迪克森(Lance Dixon)推荐了这一方程组组。他说：“这一模型成功地描述了迄今我们在实验室中所观察到的所有基本粒子和力，除了引力之外，其中当然也包括最近被发现的希格斯玻色子，也就是这个方程中的φ。这一方程与量子力学以及狭义相对论都能很好地相互兼容。”然而至今为止标准模型还尚未能与广义相对论相统一，这就是为何它无法描述引力的原因。
　

　3 微积分


微积分


　　如果说这一列表的前两个方程是用于描述宇宙的某些特定方面，那么以下这一方程却可以被应用于几乎所有的情形之下。
　　美国佛罕大学数学系主任马尔卡纳·布尔卡罗瓦-特维塞克(Melkana Brakalova-Trevithick)推荐了这一选项，他表示：“简单地说，一个平滑连续量的净改变值，如在特定时间段内走过的距离，等于这个量变化率的积分，也就是速度的积分。”
　　事实上微积分萌芽的种子早在古代便已经萌发，但直到17世纪时才由牛顿最终予以整合，当时牛顿将微积分应用于描述行星围绕太阳的运动规律。
　


　4 毕达哥拉斯定理


毕达哥拉斯定理




　　这个名字听上去对于很多中国学生来说可能会觉得有些陌生，但它的另一个名字大家就熟悉了：勾股定理，这是任何一个学过几何学的人都必定知道的定理。这个数学定理所描述的情形是：对于一个直角三角形而言，两个直角边长度的平方和等于其斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
　　美国康奈尔大学的数学家戴安娜·泰米纳(Daina Taimina)表示：“最早让我感到惊奇的数学定理便是这个等式，当我还是个孩子时，它让我觉得是那么的不可思议，这个有关几何的定理中却蕴含着数字的奥秘！”



　　5 1 = 0.999999999…。



1 = 0.999999999…




　　这是一个非常简单的等式，就是说数字0.999，后面跟上无穷多位的9，这样一个无穷数等于1。这是美国康奈尔大学数学家史蒂芬·斯托盖茨(Steven Strogatz)推荐的选项。
　　他说：“我喜欢它的简单，每个人都能看明白，但与此同时它又是那么的让人觉得意外，很多人甚至不相信这是正确的。除此之外整个等式体现的平衡感非常优雅：左边的部分代表的是数字的开端，而右边的部分代表的则是永恒。”


　　6 狭义相对论


狭义相对论



　　爱因斯坦再次占据榜单！这次是狭义相对论，这一理论指出时间和空间都不是绝对概念，而是取决于不同速度下的观察者的相对概念。这里配图中的这个简单方程展示了时间的膨胀，或者也可以被认为是时间的减慢效应。当一个人移动的速度越快，他的时间流逝便越慢。
　　比尔·默里(Bill Murray)是位于瑞士日内瓦的欧洲核子中心的一位粒子物理学家，他说：“整个方程中没有出现导数或是其它复杂的代数运算，任何一个学生都能进行计算。但它所反映的却是我们看待整个宇宙的全新方式，我们对待现实世界的态度，以及我们与它的之间的关系。然而它所带来的令人悲伤的事实便是：它让一个永恒的宇宙消失了，取而代之的是一个不断变化的，个人化的世界，你所看到的一切都取决于观察者自身的状态。它让我们观察宇宙的方式彻底改变了，从一个仿佛置身宇宙之外的旁观者，变成了身处其中的一份子。但是这个概念本身以及它所依托的数学却是异常简洁的，每一个希望理解的人都可以理解它。”默里表示他本人钟情于爱因斯坦的狭义相对论，因为他“完全看不懂描述广义相对论所需要的数学。”





　　7 欧拉方程



欧拉方程


　　这个简单的方程统治着球体的本质：科林·亚当斯(Colin Adams)是麻省威廉姆斯学院的一位数学家，他说：“这是一个异常简单的方程，其含义是：如果你将一个球体切割成任意多面体，那么这个多面体所具有的面，棱和顶点的数目必定符合等式V – E + F = 2，其中F代表面数，E代表棱数，V代表顶点数。”
　　亚当斯说：“因此，举例来说，我们切割得到一个四面体，那么它具有4个面，6条棱和4个顶点，此时我们来验证这个等式：V – E + F = 2成立。如果我们考察一个金字塔形，它有5个面——4个三角形和1个正方形，8条棱，以及5个顶点，此时这一方程同样成立，你也可以尝试任何面，棱和顶点数的组合，结果都是一样成立的。”他说：“这真是太酷了！这个简单的有关面，棱和顶点数目的方程反映了球体形状的内在本质。”



　　8 欧拉-拉格朗日方程和诺特定理


欧拉-拉格朗日方程和诺特定理


　　美国纽约大学的克莱默表示：“这个方程看起来有些抽象，但却拥有惊人的力量。它最酷的一点在于，这条定理经受了物理学领域的历次重大变革而延续下来，如量子力学的出现以及相对论的引进。”克莱默表示：“这个方程所告诉你的便是这一物理系统是如何随着时间而演化的。”
　　拉格朗日方程的一个衍生品便是诺特定理，它是以20世纪的德国杰出数学家艾米·诺特(Emmy Noether)的名字命名的。克莱默说：“这个定理在物理学中占据着重要地位，对于对称性则至关重要。简单的说就是：假如你的系统拥有对称性，那么必定存在一个相应的守恒律。举例来说，物理学定律具有对称性，比如物理学的基本定律在今天和明天都是一样的(时间对称)，这就意味着其能量应当守恒。另外，这里和那里的物理学定理是一致的，这就意味着动量应当是守恒的。因此对称性应当可以说是基本物理背后的基础，这是诺特所做出的贡献。”
　

　9 Callan-Symanzik方程



Callan-Symanzik方程


　　美国罗格斯大学理论物理学家马特·斯特拉斯(Matt Strassler)指出：“Callan-Symanzik方程自从1970年以来便一直是最重要的方程式之一。”这个方程有着很多应用领域，比如它允许物理学家估算质子和中子的质量和大小，这两者是构成原子核的组成部分。
　　基础物理学告诉我们，两个物体之间的引力和电磁力是和它们两者之间的距离的平方成反比的。从简单角度来说，将原子核聚合在一起的强核力同样拥有相似的性质，这种力同样是将夸克聚合在一起形成质子和中子本身的基本力。然而，微小的量子震荡会轻微地改变这种力随距离发生变化的性质，这一点具有重要意义。
　　斯特拉斯表示：“这一机制防止了这种力在长距离上的衰减，并使其得以捕获夸克并将它们聚合形成质子和中子并最终构成我们所处的世界。Callan-Symanzik方程的意义就在于它将这种在距离较远时(如一个质子直径)重要但难以计算的效应，与在更小距离上，相对比较容易计算的效应联系了起来。”
　　

10 极小曲面方程



极小曲面方程



　　威廉姆斯学院数学家弗兰克·摩根(Frank Morgan)表示：“美丽的肥皂泡背后隐藏着秘密。这个方程是非线性的，其中包含有指数和微积分成分，其描述了肥皂泡行为背后的数学。这个我们相对熟悉的线性偏微分方程不同，如热方程，波动方程以及量子力学中的薛定谔方程等等。”


　　11 欧拉线



欧拉线



　　格林·惠特尼(Glen Whitney)是纽约数学博物馆的创办人，他推荐的是以18世纪瑞士大数学家欧拉命名的“欧拉线”。惠特尼解释道：“从一个任意三角形开始，画出包含这个三角形的最小的圆，找到这个圆的中心；然后找出这个三角形的重心，过三角形的三条边分别作垂线，找出三条线的相交点，这样我们便得到三个点。而这一定理就是说，以上找出的三个点都位于一条直线上(即三角形的外心，重心和垂心共线)，这条直线就被称作这个三角形的欧拉线。”惠特尼表示，这条定理展现了数学的美妙与力量，一些看似简单而熟悉的图形背后往往隐藏着令人惊奇的模式。