黎曼几何

伤我心太深

　　黎曼几何
　　几何是一门古老的学科，它的年龄有几何?可以让我们一直追溯到两千多年前的古希腊。实际上，恐怕没有哪一门学科，像欧几里得几何学那样在公元前就已经被创立成形，而至今都还活跃在许多课堂上和数学竞赛试题中。在笔者那一代的中学生中，不乏数学迷和几何迷，大家在几何世界中遨游，从中体会到数学的奥妙，也感受到无限的乐趣。

　　纵观科学史，牛顿、爱因斯坦都是伟人，欧拉、高斯……伟大的数学家也可以列出不少，但恐怕很难找出像欧几里得这样的科学家，从两千多年前一直到现代，人们还经常提到以他命名的“欧几里得空间”、“欧几里得几何”等名词，真可谓名垂千古而不朽了。爱因斯坦的理论刚到百年历史，牛顿时代距现在也还不过四百来年，欧几里得却是公元前的人物了。







　　鲸鱼的几何 古希腊大数学家欧几里德所的《几何原本》可以说是世界上最著名、流传
　　最广的数学著作了。《几何原本》系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践
　　和思考中获得的几何知识，并把人们公认的一些事实列成定义和公理，建立了
　　从公理、定义出发，来论证命题得到定理的几何学论证方法。《几何原本》是欧式几何的奠基之作。早期的几何学是人们关于长度、角度、面积和体积的经验总结，它来源于人们对所生活的空间结构的认识。那么，这里有一个有趣的问题是：动物也会总结出关于长度、角度、面积和体积的“几何学”吗?
　　让我们以深海鱼类为例，看一下它们所生活的空间结构吧。假定你就是一
　　头鲸鱼。在深邃的大洋里光线不是很有用，因为水中很暗。所以你主要靠声音
　　来感受外界、与外界交流。在你的世界中，两点之间的最短距离将是声波走过


　　的路径。对于你来说，这就相当于一条直线。这一点就是问题的关键。声音在大洋中的传播速度并非时时处处相等。在某一深度(大约2000 英尺或600 米)以下，它的传播速度跟与水面的距离成正比。所以声波传播的路径并非直线而是曲线。如果让一束从鲸鱼A 传给鲸鱼B 的声波先向下利用较深处的较高传播速度，然后再向上，这样到达鲸鱼B 所需要的时间就会短些。实际上我们可以更准确地描述这些曲线的性质：它们是圆心在洋面的圆弧!所以，对于鲸鱼来说，人类称之为“圆”的东西实际上是直线(两点之间的最短距离)。



　　在鲸鱼的几何里会出现一些令我们惊讶的事物，但它们完全不会让鲸鱼吃惊。三角形三个内角之和小于180 度。那里没有长方形(四个角都是直角的四边形)，但有直角五边形。最重要的是，在鲸鱼几何中曲率是负值。这就是说，最初平行的直线之间的距离会越来越大。这些现象都超出了欧几里德几何的范围，需要黎曼几何来解释。


　　平行公理古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中有五条公理。这五条公里中有一条公理与众不同，远比其他的公理复杂，这就是著名的平行公理。正是数学家们对这一公理的怀疑，产生了著名的黎曼几何。


　　平行公理：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。
　　19 世纪上半叶，有三位数学家分别独立地、大胆地提出对平行公理的设想：
　　或许在平行公理不成立的条件下也会存在有效的几何学。这将创建一种非欧几
　　何，这种几何将公然违反欧几里得在两千余年前设定的平行公理。就像哈密尔
　　顿给出的不遵守交换律的代数一样，非欧几何的想法同样离经叛道。要否定平
　　行公理或许需要更大的勇气，因为欧几里得、康德……以及两千多年来积淀的
　　悠远传统都是这条公理的坚强后盾。
　　这三位革命者中的第一个是最负盛名的数学家高斯，他在19 世纪初开始试
　　图证明平行公理。但大约在1820 年，他似乎逐渐确认，或许可以另外建立一种
　　非欧几何。然而他从来没有发表过他的想法，而只是在通信中模糊地对人有过
　　暗示。有关他这样做的原因的最好证据可以在他1829 年写给他的朋友贝塞尔的
　　一封信中找到。他在信中说，如果他发表了这一证明，他担心有人会惊讶的“大
　　呼小叫”。


　　非欧几何的第二位发现者是波尔约。波尔约的老爹是高斯学生时代的密友老波尔约。老波尔约是一名数学教师，应该算是比较了解数学了，他试图警告他的儿子，让他不要去证明平行公理：“看在上帝的分上，我恳求你还是放弃吧。你要像恐惧情欲之火一样恐惧它，因为它也可能会占用你所有的时间、摧毁你的健康、让你心中无法安宁，并破坏你生命中的幸福。”



　　但他的儿子没有理会他的劝告，最终写下了一篇24 页的论文《宇宙中的绝对科学》。老波尔约自然而然地给他的老朋友高斯看了小波尔约的论文。高斯不愧为伟大的数学家，他的反应完全出人意料，生动地体现了“数学家杀手”的职业素养。高斯先将小波尔约的结果狠狠地夸奖了一番，然后郑重地补上一句画龙点睛的话：“令郎所使用的方法以及他最后得到的结果，所有这些完全与我自己的考虑一样。”最后，再给对手给以毁灭性的打击：“令郎发明的非欧几何其实毫无新意”。

　　实践证明，高斯招数的威力是巨大的。不但表明这些结果高斯已经尽知，而
　　且还给于小波尔约以毁灭性的打击—- 终其一生，小波尔约再也没有发表过任何
　　一篇数学论文。


　　因为小波尔约放弃，这让非欧几何的大部分功绩归功于第三位发现者。他就是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。他最先在一份默默无闻的俄国杂志上发表了他的非欧几何文章;与小波尔约不同的是，他还继续撰写有关非欧几何的论文和书籍，最后于1837 年成功地在《克雷尔杂志》上发表了一篇论文。


　　虽然罗巴切夫斯基被人认为是俄罗斯第一流的伟大数学家之一，但令人遗憾的是，他没能在他有生之年得到他应该得到的赞扬。在俄罗斯，他发明的几何就叫作罗巴切夫斯基几何;西方数学家则更为贴切地称之为双曲线几何。确切地说，什么是双曲线几何或罗巴切夫斯基几何?考虑它的最佳方法是先忘记有关平行公理与欧几里得的一切。尤其必须忘记的是你从小到大就养成了的偏见，即欧式几何是物质世界“自然而然”产生的几何。




　　欧几里得(Euclid，前325—前265年)的名字来源于希腊文，是“好名声”的意思，难怪他被誉为几何之父。欧几里得的主要著作《几何原本》(1607年，有徐光启的中译本)，在全世界流传2000年，的确为他留下了好名声。


　　《几何原本》不仅仅被人誉为有史以来最成功的教科书，而且在几何学发展的历史中具有重要意义。其中所阐述的欧氏几何是建立在5个公理之上的一套自洽而完整的逻辑理论，简单而容易理解。这点令人惊叹，它标志着在2000多年前，几何学就已经成为了一个有严密理论系统和科学方法的学科!除了《几何原本》之外，欧几里得流传至今的著作还有另外5本，从中可以看出他对几何光学及球面天文学等其他领域也颇有研究。


　　欧几里得几何是一个公理系统，主要研究的是二维空间中的平面几何。所谓“公理系统”的意思是说，只需要设定几条简单、符合直觉、大家公认、不证自明的命题(称为公理，或公设)，然后从这几个命题出发，推导证明其他的命题……再推导证明更多的命题，这样一直继续下去，一个数学理论便建立起来了。如上所述建立公理系统的过程颇似建立一座高楼大厦：首先铺上数块牢靠的砖头作为基础，然后在这基础上砌上第二层、第三层、第四层砖，一直继续下去，直到大厦落成。所以，“公理”就是建造房屋时水平放在基底的第一层大“砖块”。有了牢靠平放的基底，其他的砖块便能够一层一层地叠上去，万丈高楼也就平地而起。基底砖块破缺了，或者置放得不水平，楼房就可能会倒塌。



　　欧几里得平面几何的公理(砖块，或称公设)有5条：


　　1.从两个不同的点可以作一条直线;
　　2.线段能无限延伸成一条直线;
　　3.以给定线段一端点为圆心，该线段作半径，可以作一个圆;
　　4.所有直角都相等;
　　5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。


　　欧几里得就从这5条简单的公理，推演出了所有的平面几何定理，建造出一个欧氏几何的宏伟大厦。数学逻辑推理创造的奇迹令人吃惊。不过，当人们反复思考这几个公理时，觉得前面4个都是显然不言自明的，唯有第5条公理比较复杂，听起来不像一个简单而容易被人接受的直觉概念。还有人推测，欧几里得自己可能也对这条公理持怀疑态度，要么怎么把它放在5条公理的最后呢?并且，欧几里得在《几何原本》中，推导前面28个命题都没有用到第5公设，直到推导第29命题时才开始用它。于是，人们就自然地提出疑问：这第5条是公理吗?它是否可以由其他4条公理证明出来?大家的意思就是说，欧氏平面几何的大厦用前面4块大砖头可能也就足以支撑了，这第5块砖头，恐怕本来就是放置在另外4块砖头之上的。


　　第5条公理也称为平行公理(平行公设)，由这条公理可以导出下述等价的命题：


　　通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。


　　因为平行公理并不像其他公理那么一目了然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功，这种努力一直延续到19世纪初。1815年左右，一个年轻的俄罗斯数学家，尼古拉·罗巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky，1792—1856)开始思考这个问题。在试图证明第5公设而屡次失败之后，罗巴切夫斯基采取了另外一种思路：如果这第5公设的确是条独立的公理的话，将它改变一下会产生什么样的后果呢?


　　罗巴切夫斯基巧妙地将上述与第5公设等价的命题改变如下：“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”。然后，将这条新的“第5公设”与其他4条公设一起，像欧氏几何那样类似地进行逻辑推理、建造大厦，推出新的几何命题来。罗巴切夫斯基发现，如此建立的一套新几何体系，虽然与欧氏几何完全不同，但却也是一个自身相容的没有任何逻辑矛盾的体系。因此，罗巴切夫斯基宣称：这个体系代表了一种新几何，只不过其中许多命题有点古怪，似乎与常理不合，但它在逻辑上的完整和严密却完全可以与欧氏几何媲美!


　　罗氏几何体系得到古怪而不合常理的命题是必然的，因为被罗巴切夫斯基改变之后的第5公设，本身就与人们的日常生活经验不相符合。过平面上直线外的一点，怎么可能作出多条不同的直线与已知直线不相交呢?由此而建造出来的数学逻辑大厦，尽管也是稳固而牢靠的，但却有它的不寻常之处。比如说，罗氏几何导出的如下几条古怪命题：同一直线的垂线和斜线不一定相交;不存在矩形，因为四边形不可能4个角都是直角;不存在相似三角形;过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆;一个三角形的3个内角之和小于180°


　　然而，重要的是，罗巴切夫斯基使用的是一种反证法。因为既然改变第5公设能得到不同的几何体系，那就说明第5公设是一条不能被证明的公理。所以，从此以后数学家们便打消了企图证明第5公设的念头。然而，由于罗氏几何得出的许多结论和我们所习惯的欧式空间的直观图像相违背，罗巴切夫斯基生前并不得意，还遭遇不少的攻击和嘲笑。


　　罗巴切夫斯基在1830年发表了他的非欧几何论文。无独有偶，匈牙利数学家鲍耶·亚诺什(János Bolyai，1802—1860)在1832年也独立地得到非欧几何的结论。


　　匈牙利数学家鲍耶的父亲，正好是大数学家高斯的大学同学。当父亲将鲍耶的文章寄给高斯看后，高斯却在回信中提及自己在30多年前就已经得到了相同的结果。这给予正年轻气盛的鲍耶很大的打击和疑惑，甚至怀疑高斯企图盗窃他的研究成果。但实际上，从高斯的文章、笔记、书信等可以证实，高斯的确早就进行了非欧几何的研究，并在罗巴切夫斯基与鲍耶之前，已经得出了相同的结果，不过没有将它们公开发表而已。



　　早在1792年，15岁的高斯就开始了关于平行公理独立性的证明。他继而研究曲面(球面或双曲面)上的三角几何学，在17岁时就已深刻地认识到：“曲面三角形之外角和不等于360°，而是成比例于曲面的面积”。1820年左右，高斯已经得出了非欧几何的很多结论，但不知何种原因，高斯没有发表他的这些关于非欧几何的思想和结果，只是在1855年他去世后才出现在出版的信件和笔记中。有人认为是因为高斯对自己的工作精益求精、宁缺毋滥的严谨态度;有人认为是高斯害怕教会等保守势力的压力;也有人认为高斯已经巧妙地将这些思想包含在他1827年的著作中。
　　实际上，第5公设还可以用不同的方式进行改造。像罗巴切夫斯基那样，改成“可以引最少两条平行线”的话，得到的是一种双曲几何。如果将第5公设改成“一条平行线也不能作”的话，便又能得到另一种新几何，称为“球面几何”。见图2-1-1。





　　本来，将第5公设改来改去只是数学家做的数学演绎游戏，人们不认为由此而建立的非欧几何有任何实用价值。何况，得到的几何完全不符合我们所生活的空间中看到的几何。但没想到几十年之后，非欧几何出人意料地在物理上找到了它的用途：爱因斯坦的广义相对论需要它们。



　　球面几何双曲线几何在人工雕凿方面并不比欧式几何多。令人吃惊的是，几个世纪以来人们就已经知道双曲线几何之外的另一种非欧几何了，只不过人们从来没有从这个角度来看待它。这就是球面几何。在一个球(例如地球)的表面上，三角形的内角和大于180 度。长方形不存在，但直角三角形是有的。记住地球的曲率!例如，可以画出一个有三个直角的三角形：从北极开始，沿直线画到赤道，然后沿赤道向东或向西绕过四分之一个地球，最后向北回归北极。这样你就会描出一个有三个90 度角的三角形。球面几何中的曲率是正值。换言之，开始时平行的直线(例如在赤道附近的经线)间的距离会越来越小，而且它们最后在南极与北极会聚。过去没有人把球面几何看作有别于欧几里得几何的一种几何，个中原因很简单：我们可以把一个球体看成是镶嵌在欧几里得三维空间中的形体，因此它的“非欧性质”并非显而易见。但不妨让我们设想，除了球面的范围之外你无法感觉到第三维。例如，或许可以把你想象成一只生活在一颗没有海洋的小行星上的蚂蚁，所以你想去哪里都可以。你完全没有空间的概念，没有地下的概念：你知道的一切就是你的球面世界的表面。这个世界的曲率是正值，那里的几何也不是欧几里得型的。我们可以称这种几何为蚂蚁几何。






　　我们现在可以看到，世界上并非只有一个“自然”的几何，而是存在着形形色色的几何，它们有着不同的曲率：这些几何从蚂蚁几何(球面几何)，到人类几何(欧式几何)，再到鲸鱼几何(双曲线几何)。但故事还没结束。这些只不过是具有不变曲率的几何。我们也可以想象那些曲率随地点改变的几何。它们可以是二维、三维甚至更高维的几何。高斯(或许受到他未曾发表的双曲线几何的影响)是第一个理解二维空间中变化曲率概念的数学家，而他的学生黎曼于1854 年将这一概念推广到了更高维的情况。

     就这样，他们师徒二人为20 世纪的一项划时代的发现做出了前期准备：爱因斯坦的广义相对论，这一理论假设我们的四维时空具有各处不同的曲率。如果没有罗巴切夫斯基、波尔约、高斯和黎曼，爱因斯坦将永远无法写下他的理论中的方程。