假设存在外星文明，他们的数学体系会和地球一样吗？

kgd520

外星人的数字语言翻译成地球语言后，和地球一样吗？

xiexueqiao

题主这个脑洞开得好，我们课题组关注所有有数学有关的心理和脑科学。
回答是，可能是不一样的，也可能是一样的。我给不出答案。
不过通过这个话题，讲一些数学认知领域的研究也是很好的。

数学的认知神经科学
首先有两个问题：
先提第一个问题，如果动物有数学，动物的数学和人类一致吗？它包含两个子问题：
第一个：动物会和人类有一致的数量感知吗？
第二个：如果动物“聪明”一点儿，它会发展出和人类相仿的基于数量抽象化的数理逻辑体系吗？


答案是，目前推测，可能是一致的。
第一个问题，经过这个小领域内长时间的不懈努力，达成了一致，下面写出的动物，是可以分辨数量不同的：小鸡、鱼、蜜蜂……
现在公认的是，昆虫可以依靠神经系统分辨数量不同，包括小数量（两个和三个）和一定比例关系的大数量（七个和八个不可以，七个和十二个可以）。
第二个问题：
看下图（Rugani, R., Vallortigara, G., Priftis, K., & Regolin, L. (2015). Number-space mapping in the newborn chick resembles humans’ mental number line.Science, 347(6221), 534-536.）：

需要注意的有两点：
1、数的表征和空间联系，是人类和皮层发达哺乳动物的表征数的模式。第一次在小鸡身上发现，还挺震撼的。而且居然方向一致：从小到大，从左往右。
2、小鸡是真的小鸡，出生只有三天。研究者说三天内小鸡的神经系统无法学习这么复杂的规则。只能将这种数——空间联合表征模式称为：依赖于多数脊柱动物共有的神经机制特性——大脑半球偏侧（分工）化。
动物表征数的时候的神经机制和人类基本一致（这里既包含了数，也包含了数的关系），动物观察到的现实和人类是一致的，因此可以推测，某一种动物独立进化出了数学这一个认知世界的工具，基本上跟人类大同小异。
实证研究还没有支持这种推测的能力，迄今为止，没有动物能够训练后达到可以处理抽象符号表征的数关系的地步，有个哥们训练猕猴长达十年之久，最聪明的一只可以讲数量和数字符号匹配，但是单加工数字符号的时候，连基本的大小关系都理不清。
这恰好是我们将要努力的方向，即解释是什么神经机制，甚至是神经生物学机制导致的这种现象。

回到题主的问题上来，地球上的动物如果发展出数学，很可能和人类一致，是因为1、我们面临相同的一个环境。所以2、目前环境下，进化最优的大脑往往是有共性的（比如左右半球分工合作）。人们表征事物关系的网络，由实践环境和神经系统本身特点导致。

上面几位大神已经回答了哥德尔不完备和多种几何学相悖却独立暂时自洽。它们拷问的是：数理逻辑系统的自洽可以证明吗（可以证伪，不可以证实）？我们先发展出来的数学是数理逻辑理性推理的唯一结果吗（不是）？
要谈到理性，可能要从康德的《纯粹理性批判》谈起。于康德而言，飘飘乎遗世独立，不被实践污染的先验是存在的，它恰恰还包括空间认知。
也就是说，如果康德活到今天，他成了一个民科，看到认知神经科学发现数是在和空间联系中获得关系表征的，那么他肯定会卖肾科研，拿诺贝尔奖的（开个玩笑）。
总之，数理逻辑和语言最大的不同，是它有依赖背侧视通路的成分，而且和空间联立表征，才能够获得意义。

现在我们退后一步，试想，空间知识真的是先验的吗？
回答显然是否定的。思维就是复杂神经系统：脑的产物，动物在与环境的交互中，部分神经突触连接不断系统化，最后产生了脑。现在把环境抽走，神经系统是不可能进化成脑的，也不可能产生意识。
也就是说，纯粹先验是不存在的，所有生物的意识，都是其神经元与环境互动的结果。上面已经说了，符号的，抽象化的数学的产生有赖于地球环境和动物大脑的进化规律。请看，亚马逊丛林中的原始人，他们已经有了相对成熟的语言，但是没有进化出任何成体系的指代数字的语言：
Constance H. Cognition. Life without numbers in the Amazon.[J]. Science, 2004, 305(5687):1093-1093.

另外，很浅显的一个例子，普通心理学里往往提到，丛林部落的人们，很多都没有深度视觉，大脑里也不可能产生任何远、近这样的概念，所有的东西对于他们来说只有大小之分。
这些东西和我们所说的，地球动物如果都进化出数学系统，那么这些数学系统相仿是没有矛盾的。部落群族的人走出丛林或者接触更丰富的资源后，经过几千年的发展，肯定也会发现数字，数字关系的表征肯定也是空间联合，数字之间的关系表征肯定也是顶内沟的overlap或者其它connection。

再来谈外星人。
很多时候，外星人的形象来自于人们的想象，想象指的是，根据已知的事实做组合、变形、夸张等思维加工的结果。早期的时候，人们往往这么想外星人：


再了不起就是这样


显然，这些形象不过是人类通过经验加工得来的印象。我们很有可能把它们想得太歪了，也有可能把它们想得太像地球人了。我的意思是，我们没法推测外星人的生活环境如何，我无法得知神经系统什么样子。在这个基础上说，他们的任何思维成果我们都无法想象，一口咬定和人类相同有点儿草率。

在最后一部分，我想提出以下几个问题：
现有的数学可以合理描述一切现实了吗？回答是否定的。各个学科都可以找到自己领域上的一些固定规律，然而却不能够用数学详尽表述关系的现象存在。
那些不能够被合理描述的，是数学内的未知领域，随着数学完善，最后总会解决，还是在人类的数学形式表达的思维之外？
严格的，科学的说法是，一切科学研究命题，都必须是可证伪的，必须在科学发展中不断被推翻的。所以说，没有数学描述不了的现实关系，只有还未描述的现实关系。这就是前沿理论科学家的问题。
在这个语境下，如果有一天外星人出现，那么始终会有一天，他们思维产生的形态也会得到符号化的数学解释和模拟，显然，它们的数学只不过是数理逻辑系统中的一部分内容而已。

总而言之，从心理主义的角度讲，思维由环境和大脑产生，说外星人的数学和人类一直显得有些草率；从数学本身讲，则很可能外星人的数学和我们的数学发展脉络有所不同，但是核心是一致的。
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关于小鸡实验：
SNARC效应，指的是人们在大脑中表征数字（点阵数量，符号数字）的时候，总是按照空间左右-小大对应的方式，表现为一系列行为效应，比如，加工任何东西的时候，都感觉小数出现在左边是合理的，大数出现在右边是合理的，如果颠倒过来，那么反应时和错误率就显著升高。
这种现象有没有神经学机制呢？顶内沟的数感神经元是表征数的重要脑机制，而且同样在顶叶的视觉背侧通路，是空间认知的主要加工脑区。它们之间的关系如何，现在还难以通过decode研究展开，原因是，现在的所有无害化大脑表征解码手段，分辨率都低到惨不忍睹。（比如，本人整天面对的61*73*61分辨率的脑图，用它来分析几百亿个神经元，相当于用四个像素的屏幕看电影。分析方法很多，但多数都是推测，这还不计较bold信号的非线性成分。）
继续回到SNARC效应上来，最近人们还发现，数字符号的SNARC效应不是一成不变的，比如说，有些习惯于从右往左读书的民族，它们的SNARC效应方向跟大多数民族是相反的。这说明数字SNARC效应是可以改变的。这个倒不稀奇。
下面正式解释小鸡实验：
PIC1：纸片上画的物体大小、颜色都是控制因素，做了随机化处理，只有数量是一致的。小鸡训练的是，在迷宫环境里，20个数量的纸片后面有食物。
PIC2 3 迷宫分为左右两侧，将小鸡正面对着中央放入迷宫，当左右两侧的数量都是8时，小鸡有显著高于随机的概率（大概是百分之八十）向左边走，而当左右两侧的数量都是32时，小鸡也有显著高于随机的概率（约为百分之八十）往右边走。
通俗讲，小鸡在面对左右同样的数量时，总感觉“小数量（2<20）在左边是合理的”，“大数量（32>20）在右边是合理的”。出生两天多的小鸡存在SNARC效应。
这篇文章发SCIENCE绰绰有余之处在于：空间-数量联合编码是跨物种的，更重要的是先天的。
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另外，我又看了一遍 @格陵兰帆船 的回答，我本人喜欢数学、机器学习、神经科学这些东西。但是数学不是我的专业，但我也不是一个心理主义者。他说的例子很好，而且实际上还可以说得更加惊心动魄一些。
我特别喜欢《虚数的故事》这本书，很久以前，我花了几天的时间，把上面的公式都跟着推导了一遍。虚数是被一个欧洲某国的测量局的公务员最早发明出来的，然而，虚数在欧几里得几何（平面几何）上找不到任何存在痕迹，虽然在电学、信号分析等等实践中，符合实数和虚数关系的物理存在比比皆是。
对于测量员来说，虚数的意义是一个从平面几何上的不可能之表示，对于电学学者而言，虚数是等效电抗（对不对？这个是我搜索来的），对于信号分析者而言，虚数是分解信号的频率和振幅这些毫不相干的事物时，必要的关系指代，对于爱因斯坦而言，虚数是时间维度和空间三维获得等同意义的洛伦兹变换必须要带入的那个量，他们所说的根本不是一样东西，却存在着一个非同小可的共同性，这个共同性只能体现在人的思维过程中，这个稍纵即逝的看不见摸不着的相同性，就是数学。
庸俗唯物主义者喜欢玩文字游戏：数学是人脑的产物，所以数学是依赖具体物质的。这种在我看来是狡辩。
假设我们的世界是一个无聊程序员用代码敲出来的，世界上所有的科研都是逼近那个源代码的过程，这个世界有bug，有些是这个无聊程序员敲错代码造成的，有些更加致命，是源代码那一门机器语言内部存在逻辑错误，不是一个自洽系统。前面这个错误，我们可以归结为物理的规律之意外，那些bug可以导致物理灾难，海啸地震飞机失联，然而，事物的发展还是有逻辑的，有规律的。而那个源代码基于的语言不自恰，就是我们的数理逻辑错误，这个错误真正吓人之处在于，它不会引起物理灾难，它却能无声无息渗透到我们生活中每一个风平浪静的瞬间，直到有一天，我们发现了它的不自洽。这是我至今能够找到最好的比喻来描述数学和物理世界关系的故事。人脑也要顺应那个底层机器语言的代码运转。
当数学不描述现实，它是确定的；当数学描述现实，它就不确定。
                                                            ———————蒋中正（好吧这句话是爱因斯坦说的）

大豆农民

反对 @lei shen 和 @Observability  的回答。 否定排中律的数学依然是数学。非标准逻辑也好，非单调逻辑也好，全都没有排中律——那么你想说这些数理逻辑不是数学吗？这些没有排中律的系统的推理能力可都是有人研究的。

数学为什么要选取公理？那是因为（相互独立的）公理越多，（整个系统的）推理能力越强；至于具体应用时选择那些公理，那是一个关于建模问题，而不是关于数学理论的问题——也就是说，这属于一种“物理问题”。

数学区别于其他所有自然学科的根本点在于：数学不需要实验。数学本身乃是空想缔造的空中楼阁，对于数学来说，它本身是不用承担任何“数学的应用”的责任的。

学习数学需要外在世界的资料，思考数学问题需要借助具体的物件帮助思考，这些都是提升思维效率的手段，而非数学本身依凭于它们存在。我通过一堆苹果顿悟了集合的概念，你通过一堆梨顿悟了集合的概念，但是集合这个概念本身可是和任何水果都没有关系的，不依赖于水果而存在的。

哥德尔不完备定理指出的是数论及任何包涵数论的系统的不完备性，这种不完备性和多种几何并行而立理论上是一回事。数学不是人类选择的那几条公理，数学的本质既不是量也不是规则，而是它们之间的关系。

给定一个量，给定一套规则，这种关系就能从它们之上体现出来。

认为本质上存在不同的数学的诸位，可以思考这样一个问题：存不存在哥德尔不完备定理本身都不正确的情况？为什么？

至少我的答案是：不存在，因为哥德尔不完备定理是抽象系统自描述的性质，只要写出该抽象系统，此定理必然成立。

凝固

结论：外星语言可以被翻译成人类语言 -----> 外星数学体系和人类数学体系同构。

其实这是一个哲学问题，而结论已经蕴含在前提条件当中了，关键词：翻译。

外星人的数字语言翻译成地球语言后，和地球一样吗？

蒯因 (W. V. Quine) 在 Speaking of Objects 中讨论过这个问题：

We are prone to talk and think of objects. Physical objects are the obvious illustration when the illustrative mood is on us, but there are also all the abstract objects, or so there purport to be: the states and qualities, numbers, attributes, classes. We persist in breaking reality down somehow into a multiplicity of identifiable and discriminable objects, to be referred to by singular and general terms. We talk so inveterately of objects that to say we do so seems almost to say nothing at all; for how else is there to talk?

It is hard to say how else there is to talk, not because our objectifying pattern is an invariable trait of human nature, but because we are bound to adapt any alien pattern to our own in the very process of understanding or translating the alien sentences.

即我们必须把外星人的语言模式(pattern)改编成人类语言模式才能被理解。（这个观点其实可以追溯到康德的 transcendental idealism）

那么回到题主的问题，试图将外星人的数字语言翻译成人类语言只能导致两个结果：1）翻译不成功，外星语言和人类语言不同构，外星人的思维方式和人类的思维方式不同构，外星人的语言模式无法被改编成人类的语言模式。2）翻译成功，外星人的语言和人类语言同构。

需要注意的是，和题主假设的不同，翻译并不一定会成功。如果翻译不成功，那显然我们无法讨论外形人的数学体系和人类数学体系是否相同，但我觉得大概率是不同的。外星人大概会有和人类完全不同的本体论假设和形而上学结论。。。

如果翻译成功，那说明我们的翻译者可以把外星人的语言模式转化成人类的语言模式，那就说明两个种族的语言存在相当的相似性，以至于竟然可以做到深度映射。。那就说明外星数学体系和人类数学体系相似。

需要注意的是，这个结论已经蕴含在题主的假设当中了（即外星语言可以被翻译）。

所以题主的问题是philosophically trivial的...

另外有答主提到了数学的先验性(a priori)。我觉得这个观点康德阐述的不错，但是更应被关注的其实是康德的 transcendental idealism (超验唯心主义？)，即：物自体不可被直接认识*，人类认识必须通过时空框架(spatio-temporal framework) 和 类/范畴 (categories)。数学的先验性本身并不是先验的，而是基于康德的理论框架，即 transcendental idealism。如果外星人并不需要通过时空框架和 类/范畴 来理解客观世界，那么我们就无法理解外星人认识世界的方式，那么我们就无法翻译他们的语言。所以说如果我们能翻译外星语言，那至少说明外星人认识世界的方式包括时空框架和类/范畴，而数学刚好是 类/范畴 之一，所以外星数学和人类数学同构。

以上。


参考文献：
1. Speaking of Objects, W. V. Quine
2. Metaphysics: a contemporary introduction, Michael J. Loux

tgbrjbh

看了大家的讨论，我突然觉得这个问题可能只是一个微妙的文字游戏：

外星文明的数学体系？

假设有个外星文明，他们有学科甲乙丙丁，我们何以判断哪个是外星文明的数学呢？

答案是很显然的：符合我们对数学的定义的那个！

所以，如果一个外星学科涉及探讨外界的属性，它不是数学；如果一个外星学科只是限于逻辑推理和定义——演绎，却没有引入集合，数，映射，群等等概念，它也不是数学。如果人类选择把一个外星文明的学科称作数学，它一定跟我们的足够像。或者至少，和我们的数学具有足够多的共性。

而如果一个外星文明的学科里找不到符合我们对数学的定义的部分，我们会说他们不懂数学。

所以，假设存在外星文明，他们的数学体系要不然不存在，要不然和我们的是相容的。当然，你也可以说一个内容是空集的数学体系跟我们的数学也是相容的。