假设存在外星文明，他们的数学体系会和地球一样吗？

donaldjackie

yes， up to an homomorphism

eXyGsLaf

其实不管是进制上的差别，空间感上的差别或是模型的差别（不使用Peano算术）等等，都不足以让外星文明得到【与我们不同的数学体系】


真正巨大的差别是，如果外星文明的计算能力与我们不同，或者说：外星人做数学的过程不遵守丘奇-图灵论题（Church–Turing_thesis），即：数学家能做的推理，通用图灵机也能做。

一个研究这种更强的计算能力会带来的后果的学科方向被称为超计算(Hypercomputation)


关于形式系统的很多结论，包括哥德尔不完备性定理，实际上都是在假设形式系统递归可枚举的前提下得到的。为什么需要递归可枚举性？因为如果不是这样，我们就找不到一个有效的流程逐步得到这个系统中的公理和定理，可是“有效”是以通用图灵机或其他等价的计算模型作为参照标准而言的。能使用超计算的外星人根本没必要理会我们对于“有效流程”的定义，他们能毫无压力地使用被我们称为“无效”的，但严格强于我们所有“有效”的自洽形式系统。


例如，楼上很多答主提到的哥德尔不完备性的限制，在超计算面前就自然地化为乌有了。哥德尔不完备性定理对非可枚举的形式系统无效，重要的话只说一遍。

例如true arithmetic（True arithmetic）就是一个自洽，完备且包含Peano算术的形式系统。常见的对哥德尔不完备性的最大误解，就是以为它能适用于所有形式系统，其实不是。我们不常提这种十分强大严格的体系，是因为它对我们而言不是可计算的，可用的，但是这对外星文明就不一样了。

gonet8

既然外星文明的存在都由题主假设了，他们的数学体系自然也应该由题主设定。

MyTWbwzg

卸腰，这问题有意思。

我学了这么久，没有觉得哪条公理是基于地球文明，即使它们本身作为文明产物，在地球上得出。这就像虽然我们由父母带来这个世界，却拥有着独立的，不属于他们的人格。或许衍生物多少要有母体的影子，然而，像数学这么高度抽象的普适度很高的东西，这一点并不会很明显。

呃，还是说一下，本答案只针对纯数，应用什么的我不了解，但一切基于时空，测度与误差的学科想必留存下来就要看运气了。

爱上阿南

谢邀。
一样。
不仅是与我们处于同一宇宙的外星人的数学会和我们一样，处于不同宇宙（比如光的速度不是30万公里每秒，普朗克常数不是6.63乘以10的负34次方焦秒的宇宙）的智能生物的数学也会和我们一样。
这是因为数学是所谓先验的(a priori)的知识。我们人类对数学知识的获取是不依赖于经验(Experience)的，也就是说我们不探测任何引力波，不做任何实验，甚至不具有任何如视觉，听觉，触觉，都可以获取数学知识。这跟物理学，化学，生物学这些后验的(a posteriori)的知识不一样。物理学，化学，生物学是通过经验证据(Empirical evidence)，来归纳出我们这个宇宙是怎么样的，我们必须做实验，或者直接观察我们身处的宇宙。如果外星人因为某种原因获得完全不同的经验证据，他们的物理学，化学，生物学可能得到与我们完全不同的结论。
当然，由于大脑的认识能力的倾向区别，外星人感兴趣的数学领域可能和人类完全不同，他们可能早就证明了哥德巴赫猜想，但仍然没有写出任何一本关于黎曼几何的数学书。