若外星人把太阳控制在 0.01K, 太阳会塌缩成黑洞吗？

herohchn

若外星人把太阳控制在 0.01K, 太阳塌缩需要多长时间？它会塌缩成黑洞吗？如果不会，在什么半径截止？

本问题来自俄亥俄州立大学“天体物理数量级估计”讨论课（Order-of-Magnitude Astrophysics），原题为：
An unfriendly alien uses advanced technology to cool all of the gas in the sun to 0.01 degrees Kelvin (and keep it there). How long does the sun take to collapse? Does it collapse to a black hole? If not, at what radius does it stop?
#P2@Astroom

lzwdj

外星人把恒星温度控制在 0.01 K，我理解就是说去掉了热压。热压为零的情形在天体物理中就叫做"尘埃"（dust），而尘埃球在自引力下的收缩问题，在 Oppenhaimer et al. 1939 的文章：On the continued gravitational contract 中有完整的论述。然而彼文考虑的是广义相对论的情况，未免繁冗，下面我们来简单地讨论一番：
1、考虑"冷太阳"某半径r处的质量元dm，其受到的指向中心的引力是：
                                                                （1）
其中是某半径 r 内包围的太阳质量。
如果太阳的密度分布为,那么;
如果, 那么会出现一个问题，就是越往外的质量元，下落速度越快。所以我们可以想像，有可能出现原先位于太阳边缘的质量元在下落过程中不再位于边缘，就是所谓层间交叠的问题，这就会让问题复杂化。
如果没有层间交叠的情况，我们就考虑在t＝0时，的质量元的运动。
把方程（1）积分，就会得到：
                                                                         (2)
在积分一次，就得到了r 随t的变化，这样我们就知道了r从到接近于0所需要的时间：
                                                                                 (3)
这个时间在量级上等于所谓"动力学时标"

2、我们唯一寄希望能和自引力抗衡的，只有费米简并压。在静力学情形下，我们知道电子的费米简并压可以最多支撑 ；但我们在此考虑的并非静态过程，而是在初始情况下，太阳突然失去热压而自由下落。如果在某个半径处简并压突然发挥作用，那它要抗衡的并非静压，而是物质下落的冲击压（ram pressure）。
而
, 把方程（2）带到这个里面，发现
Ram pressure 是静态情况下的重力压的两倍！这就说明，一个太阳的突然崩塌相当于的静态白矮星，这已经超过了白矮星的质量极限. 不过这个质量尚低于目前观测到的中子星的质量上限。因此太阳会变成一颗 10 km的中子星。

也就是说不会变成黑洞。
这是我的答案，请老师同学们批评指正！
－－－－－－－－－－－－－－－－－－以下是六月号晚上的更新－－－－－－－－－－－－－－－－
核质比对钱德拉塞卡质量极限的影响，这一点Gyroscope的回答非常关键。按照他／她的回答，最终的结局不是中子星，而是白矮星，而且是前所未见的氢白矮星。

另外我们有个微信群，里面有人指出：反弹激波、太阳的自转、磁压、逃逸的中微子等等都会产生影响，甚至有显著的影响。但在0.01K的情况下，氢已经不是电离态了，因此磁冻结效应应该已经不成立了，磁压应该不会有什么影响。

rt45rti

既然是一个讨论课，我就说一点想法吧

首先非常在意0.01K这个数字

我们知道非相对论简并气体的费米能为（因为原子核更重，电子最先出现简并）

这里为数密度，而强简并的温度条件为，因此我们估计一下我们正常的太阳的电子的简并温度
K
一些数据：太阳核心温度1.57E7 K, 光球有效温度为5772K

降温到0.01K之后，电子已经实现（低温）简并，核子（主要考虑H，He的话）也已经简并。因此我们需要求解简并气体的引力坍缩过程。但是刚开始由于密度并不高，求解动力学时标仍然可以忽略掉简并压的影响。然而，我感觉塌缩应该考虑自转的演化。

有没有可能最后以相对论简并气体的形式平衡？
几乎不可能！
因为此时粒子总动能正比于,也就是正比于,而引力势正比于。两个量都反比于R，因此它们的和等于常数除以R。为了达到稳定，如果常数>0，那么R应该增大进而变成非相对论气体；如果常数<0,那么气体会无限制塌缩；只有在常数等于0时才有可能平衡，而且是任意R上都能平衡。
（朗道《统计物理I》107节）


当考虑自转演化时


如果是刚体自转，边缘一点的塌缩方程应该变成


如果（电子或者中子）简并压能与引力抗衡，可以利用下面的两个式子求解白矮星或者中子星的结构。
牛顿引力势方程      .....(1)
粒子平衡         .....(2)
其中 ..... (3)
为单粒子化学势. 不考虑自转的话可以求解以上的方程，并且可以得到钱德拉塞卡极限，加了自转之后明天解一下试试有没有可能以白矮星的形式稳定存在。

待续。。。
开始续了

考虑电子和氢原子核，因为原子核的化学势远小于电子的，因此上面的化学势用电子的，m取氢原子质量。将（2）对r微分代入1，将（3）带入（1）消去得到
......( * )
其中为塌缩前太阳半径，R为塌缩之后的半径，为塌缩前的角速度,

右端第一项为常数，可以尝试积分掉，单独拿出第二项（扔掉第一项），积分可得

只跟和有关，同时具有能量量纲，猜想具有形式
......(4)
其中f无量纲，因为简并粒子密度由（3）确定，我们得到，当考虑自转的时候化学势增大（4）的第一项，导致密度增大。这是显然的，因为自转可以抵消一部分引力，星体可以更加致密一些。

现在求解无量纲化后的 f 函数，令，将（4）代入( * )得

此时方程两边已经没有量纲，
因为在处为了保证不发散，应该有,在边缘处应有压强等于0，对应，也就是
现在我们有了方程和边界条件，在解之前考虑一下自转的修正项，利用太阳的自转，我们可得
，很小！也就是说相比于简并压，自转可以忽略。即使假设自转周期达到毫秒，这一项也只有1E-7量级，因此自转对于结构的影响很小。

当忽略掉之后方程简化为
，利用边界条件数值求解可以得到

，利用这两个常数，同时把 （＊）乘上积分可以得到


对于一个太阳质量的恒星塌缩形成的白矮星半径大致为28000km
中心密度为

在维基百科查到

A typical white dwarf has a density of between 10^7 and 10^11 kg per cubic meter.

这个密度是一个典型的白矮星。

这里利用的是纯H气体计算的，因为H占73.46%, He占24.85%，感觉差别不会太大，因为简并压和化学势主要来自于电子。

因此，应该不会形成黑洞或者中子星。

欢迎讨论。

Jefflq

我对 @易逸度大王 的答案提出一些质疑。

首先，答主已经提到了白矮星的最大质量是，这确实是钱德拉塞卡极限的取值。但是，钱德拉塞卡极限并非是一个恒定值，它的取值是和恒星的组分有关的。这是因为在白矮星内部支配它的主要是这两个力：电子简并压和恒星的自引力。这两个力是由不同的部分提供的，电子简并压是由电子提供的，电子数量越多简并压越强；引力是由原子核提供的，原子核质量越大引力越强。由于电子数等于质子数，原子核质量约等于质子数+中子数，因此钱德拉塞卡极限的取值实际上和原子核的质荷比，也就是质子数和中子数的比值有关。这一点其实不难理解，因为只有电子是对简并压有贡献的，而电子数量又取决于质子数量。所以增加中子对电子简并压没有影响，却会增加引力。所以中子越多的物质，钱德拉塞卡极限的取值越小。

定量的分析可以通过这个公式(Chandrasekhar limit)，或者简化的公式。其中是质荷比。对氢原子核来说是1，对氦，碳，氧，氖，镁是2，对铅这样的重元素是2.5。由于白矮星的成分是碳，氧或氖，我们把2代进去就可以算得。由于钱德拉塞卡极限是在20世纪30年代提出的，那时候人们对恒星的构成知之甚少，人们以为白矮星是由铅这样的重元素构成的，所以最初钱德拉塞卡给出的值是（1931ApJ....74...81C Page 81White dwarf）。但这不是钱德拉塞卡的错，钱德拉塞卡的公式是对的，只是那时候人们对白矮星的认识有误。

由于白矮星都是中等质量恒星的余烬，主要成分是碳，氧，氖这些质荷比是2的元素，所以它们的钱德拉塞卡极限都是一样的。然而，如果是太阳这种恒星直接坍缩成白矮星就有问题，因为太阳的主要成分是氢和氦。由于氢的质荷比只有1，含有氢的白矮星会有更高的钱德拉塞卡极限。如果是纯氢气构成的白矮星，钱德拉塞卡极限是，大于。所以太阳如果坍缩成白矮星未必会超过钱德拉塞卡极限。所以太阳不一定会变成中子星。

常务管理员

我觉得不会，太阳会坍缩成简并态物质。根据太阳质量的话可以算出半径。