量子力学的基本理论是什么？

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量子力学的基本理论是什么？
作者：一点资讯

zhoujingli

量子力学的基本理论是：「态」(state)、「观测量」(observable)、「观测结果」三者应该是不同的东西，并且这个理论应该有能力描述经典概率。在这个前提下我们自然会得到量子力学（至少是大部分内容）。

物理学是预测「对一个系统（态）做一个实验（观测量）得到的实验结果（观测结果）」的，也就是说这三者是任何一个物理理论的基本构成元素，一个好的理论中这三者应该自然地被区分开。

然而经典力学不是这个样子的：在经典力学中，当我们写下 时，既可以指一个系统处在这个状态，也可以指「观测系统在 时刻的动量与位置」，还可以指系统在时刻的观测到的动量与位置。这种三位一体是不好的，很容易造成混淆（我记得 GR 的教材里面很可能会强调这个事情，因为那里源自经典力学的记号就很容易出问题了）。

这个混淆是经典逻辑上的必然。
经典逻辑是说，给定一个命题的集合，定义「」这些运算，它们应该符合一些公理，比如等等，我们把这个结构叫做 Boolean lattice（这个 lattice 是一个抽象的代数结构，和物理上的 lattice 没关系）。注意这些运算不一定是逻辑运算，还可以是集合论运算「」等。可以证明 Stone representation theorem：给定一个抽象的 Boolean lattice，存在一个集合论模型和它同构。
我们考虑一个物理实验的命题集合：给一个态，看观测结果是不是，运算就是通常的逻辑运算。一个似乎自然的考虑是它们应该构成一个 Boolean lattice。
但 Stone representation theorem 表明这个 Boolean lattice 同构于那个集合论的模型，因此这些物理实验的命题最终可以被翻译成：态是一个大集合里面的一个点，我们去观测这个点是不是某个给定的点。那么态、观测量、观测结果的时间演化都是一个函数 ，就和经典力学一样，这不是一个好的理论，而这种「坏」是必然的。

所以为了解决这个问题，我们必须放弃掉 Boolean lattice 公理中的某些东西。可以验证放弃绝大部分公理都会导致荒谬的结果，比如一个不成立的理论一般都是很病态的。但放弃其中的一个公理不会导致这么严重的后果，就是分配律

这在物理上大概可以解释成：两个实验结果合起来不一定等于合起来的实验的结果。
我们来尝试构造一个不符合分配律的模型。
给定一个 Hilbert space （注意不一定是复的，光从这里是导不出引入复 Hilbert space 的必要性的。关于为什么是复的这个问题可以参考 量子力学中引入虚数 i 的深层意义是什么？），定义为其上投影算子的集合。显然这个集合和该空间子空间的集合 canonical 地同构，所以我们之后不区分投影算子和子空间。
这个模型上的运算定义为：

很容易验证它们符合 Boolean lattice 中除了分配律以外的公理并违背分配律。那么在这个模型下上面提到的（最基本的）物理实验的命题（要求它们只能是 true/false）会被翻译成：观测量是一个投影算子，态是它的某个本征态，测量结果是它对应的本征值（0 / 1）。把这些基本实验复合起来，允许观测结果取任意实数就得到：观测量是一个 Hermitian operator，态是某个对应的本征态，测量结果就是对应的本征值。
现在我们希望这个理论能描述概率，经典的概率就够了，那么给定一个态，我们总可以对应地构造出一个函数符合一些公理（比如概率在 0 到 1 之间，两个不同的 observable 总存在一个态可以区分开，对于正交的投影算子概率是直接相加），那么由 Gleason theorem，态可以用一个 density operator 来描述，测量的期望值就是 。到现在，我们已经建立了通常量子力学中的 Born rule。
然而 density operator 中有一些态是不能解释成经典概率的叠加的，然而按照上面的模型在这些态上面仍然表现出了随机性，这就是量子力学中随机性的必然性。
我们现在已经恢复了整个量子力学，就是前面很多人提到的量子力学公理：
（1）state 是 Hilbert space 中的 density operator。
（2）observable 是 Hilbert space 上的 Hermitian operator。
（3）测量结果的期望值为
动力学（信息守恒要求必须是 isometry operator）和复合系统（见 什么是张量 (tensor)?）是另外的故事了。
事实上可以证明给定一些非常自然的公理后这个模型是 universal 的，就像集合论模型之于 Boolean lattice 一样。因此，量子力学的框架在逻辑上是必然的（这个「必然」应该理解为通常物理书中的「必然」）。

这就是我在开头说的，量子力学的基本理论源于「态」、「观测量」、「观测结果」的三权分立与对理论能自然地描述概率的希望。

（PS：我个人不喜欢这个对测量的解释，总感觉实际上测量过程应该是某种有效理论）

有趣的是，相对论也可以用类似很不依赖于实验的 argument 来「导出」（不过我相信在所有的平行世界上这些物理定律都是源自实验，而不是逻辑上的考虑的），基本模式就是：列出一些自然的考虑，然后一个关于唯一性的数学定理唯一地给出这个理论。比如「spacetime 是一体的」+「时间应该和空间不一样」再补上「二次型的惯性定理」就得到 spacetime 的符号差必须是 (-,+,+,+)，进而得到狭义相对论。广相可以类似地得到，但我忘了（好像是 Lovelock 定理，大概是说只用度规的不大于两阶导数能构造出来的对称张量且满足 的只能是 Einstein tensor 再加上宇宙常数项，所以我们把能动张量整理到方程一边后另一边自然地要长成 Einstein 方程那个样子）。
再 follow Weinberg 的逻辑，我们就能从相对论的要求和量子力学的框架得到 QFT，这个可能最有解释力的物理模型。假如有一天我们也把引力纳入了一个统一的框架，大概事后也会得到一个类似的「你看这个理论就是这么的自然」的 argument 吧。

偶尔想一想这些实际中并没有什么 用的东西还是挺好玩的。

（我只是听了一些关于这些内容的高级科普，很多细节没仔细想过，我觉得后面逻辑上也有一些 gap，现在我可能还没法补上，对这个话题感兴趣的人比起问我来还是更推荐去看一下 Quantum logic - Wikipedia）

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感觉要长篇大论了，紧张。我主要是从数学上考虑的，和物理上的考虑基本是殊途同归，当然严格一点总是好事嘛。
原理1：被测体系所有可能状态由一个可分的希尔伯特空间描述。
概念1：希尔伯特空间。
完备的复内积空间叫做希尔伯特空间。
内积是线性空间上的一个正定的、共轭对称的、半共轭线性半线性的二元函数，它给线性空间带来了正交，带来了长度，也带来了拓扑。
对于无限维空间，拓扑决定了空间的结构，它可以看出一个空间是否完备，不完备的空间中存在空洞，只有填补了空洞，才有可能使得：
1.存在一组正交归一基，使得任何态矢量都可以在基上展开。
2.任何一个态矢量都一一对应着一个有界线性泛函。
这就是完备性，没有这个保证，我们无法让任何态表示成一些基本态的叠加，我们无法认为左右矢是一一对应的。
概念2：可分。
有可数的稠密子集的拓扑空间叫做可分的。
可数是指有限或者可以与自然数建立一一映射，虽然这个集合是无限的，但我们可以把元素一个一个排开，从第一个，第二个，第三个，无限地排下去。
整数可数、有理数可数、代数数可数、实数不可数。
稠密是指此集合的闭包是全空间。
对于距离空间，稠密等价于，对于任意点A和任意小的距离d，我都可以在此集合中找到一个点，使它与A的距离小于d。
有理数在实数中稠密，所以实数是可分的。
可分的希尔伯特空间总有可数的正交归一基，总有一个矢量，它与所有基都不正交。
不可分的希尔伯特空间，有不可数个正交归一基，但任意矢量至多与可数个基不正交。
也就是说，只有可分的空间，我才敢断言，存在一个态矢量，它在所有基上的分量都不为0！
概念3：态矢量和态
可分希尔伯特空间中的任何一个矢量，都叫做态矢量，而共线的态矢量描述了同一个态。
|X>和k|X>是同一个态。
与非0矢量|X>共线的所有矢量，叫做线性空间中的一条射线，态与射线是一一对应的。
原理2：可观测的物理量，可以由希尔伯特空间中的一个稠定自伴算子来描述。
由于右矢（希尔伯特空间中的点）与左矢（希尔伯特空间上的有界线性泛函）是一一对应的，那么我们可以问及这么一个问题，任何一个算子A，是否有一个算子B使得：

这个B叫做A的伴算子，记作。
其中D(B)是B的定义域。就像函数有定义域，算子也有定义域，如果算子的定义域是全空间的稠密子空间，这个算子叫做稠定的。
稠密的子空间中存在着全空间的基，只是由于这个子空间不是闭子空间，它有漏洞。
如果我们重新定义内积：

那么A的定义域虽然依照原来的内积不是闭的，但可能对于这个新的内积是闭的，如果这样我们称A是闭的。
如果A比A'的定义域大一点，但在A‘的定义域D(A')中，A和A’相等，即它们作用于D(A')中任意矢量都有相同的结果，我们称A‘是A的部分算子。
两个算子相等是指它们有相同的定义域，而且对定义域中任何矢量作用后有相同的结果。
对称算子是指它是它的伴算子的部分算子；
自伴算子与它的伴算子严格相等。
物理上的“厄米算符”虽然从文字上是指数学上的“对称算子”，但由于物理书都没有太考虑算子的定义域问题，而且强调“厄米算符”有实数观测值，应当把物理书中的“厄米算符”理解为自伴算子。
原理3：物理量的观测值，是它的谱点，物理量观测值处于集合X中的概率等于<x|E(X)|x>，其中E是该物理量对应的谱族，x是系统所处的状态对应的一个归一化态矢量。
概念1：谱
算子A的预解式定义为，使得预解式在全空间都有定义的，叫做算子A的正则点，其他的点叫做谱点。
谱包括：
1.点谱，不是单射，所以它的逆不存在。
2.连续谱，不是满射，所以它有逆，但逆的定义域不是全空间，但是全空间的稠密子空间；
3.剩余谱，不是满射，它的值域也不在全空间稠密。
对自伴算子，也就是物理量而言，剩余谱为空集，所以只有点谱和连续谱，而且其谱集是实数集的子集。
概念2：谱族
谱族是一个把代数中的集合映射为希尔伯特空间中的正交投影算子的映射。
投影算子是满足的算子。
自伴的投影算子叫做正交投影算子，它是有界的，除0算子外，其界为1。
谱族满足3个性质：
1.任意可数个不相交集合满足；
2.空集的谱族等于零算子；
3.全集的谱族等于恒等算子。
注意两个正交投影算子之和为投影算子，当且仅当它们之积为0算子。
概念3：自伴算子对应的谱族
数学家冯诺依曼（对就是那个后来搞计算机的那个）证明了：
任何一个稠定的自伴算子A都对应着一个唯一的谱族，使得：

积分空间是算子A的谱集。
这个和被测体系的归一化态矢量|x>构成了一个概率测度：

这个概率就是当系统处于|x>状态，物理量A的测值在X中的概率。
冯诺依曼的著作《量子力学的数学原理》讨论了自伴算子的谱分解，并赋予了量子力学严格的数学基础。
原理4：处于|x>描述的状态的体系，在观测到结果之后，状态变为。
这个过程叫做量子态的坍缩。
量子态坍缩，与唯心主义无关，因为观测任何系统都必须使用物质的工具，在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测系统发生相互作用。
要观测粒子的自旋，必须外加磁场，要观测粒子的能量和动量，必须用另一个粒子去轰击它。
观测结果不一定是个实数，也有可能是一个实数的集合，因为观测总是存在误差。
如果空间不是离散的，意味着我们不可能找到一个尺度，它足以分辨任意两个点。
所以测量一个粒子的位置，我们总是需要带着误差。
这意味着位置这个物理量对应的自伴算子，没有点谱，只有连续谱。
原理5：对系统的任何操作，可以视为对描述系统的态矢量做了一个幺正变换。
物理上的幺正变换，数学上叫做酉算子。
如果算子U能够保持矢量的内积不变：

它被称为等距算子，而可逆的等距算子称为酉算子。
酉算子的逆等于他的伴算子，它的逆也是酉算子。

时间演化，也是一种幺正变换：

幺正性要求，无穷小生成元H，是自伴的，它自然导出薛定谔方程：

原理6：交换两个全同粒子的状态，不改变系统的状态。
粒子置换算子作用于全同粒子系统，结果等于乘上了一个复数因子，幺正性要求这个因子的模为1。

其中复因子为1的叫做玻色子，复因子为-1的叫做费米子。
目前我们只看到了这两种粒子。
也有人猜测这个因子还能为其他复数，这种粒子称为任意子。

风骨傲气

量子力学的表述有很多，对于我们熟悉的量子力学的框架，前面几位答主已经说得非常完善了，我就不再赘述了。
框架1，
正如前面几位答主所说，量子力学中的状态空间是复可分希尔伯特空间 ，可观测量对应与 上的自伴算子。 在量子力学中我们会格外关注自伴算子的谱，它关系到物理学量的取值。量子力学中的不确定性原理由力学量的对易关系反应。具体细参考上面几位答主的回答。
在经典力学中，状态空间是相空间，即构型空间的余切丛 。力学量的集合可看做相空间上光滑函数的集合，其构成一个泊松代数。
对比一下：
经典力学：相空间，泊松代数，泊松括号。
量子力学：希尔伯特空间，C*代数，对易子。
框架2，
对于一个力学系统来说，最重要的东西有两个：物理学量的集合 ；状态的集合 （状态空间）。物理学量之间可以做加法，乘法，数乘，那么很自然的物理学量的集合构成了一个代数，更进一步的其构成一个非对易的C*代数 。考虑其GNS构造，我们很自然的可以得到：
（1） 上的态，对应于相应力学量的期望值：
（2） 的循环表示，对应于“物理学量用算符表示”： ， 等。
（3） 的表示空间，即为 ，得到了状态空间 。
对于经典力学，也有类似的构造。力学量的集合是 ；状态空间就是构型空间的余切丛 （相空间） 。Riesz-Markov表示定理给出物理学量的期望值： 。
对比一下：
经典力学：可交换C*代数作为物理学量的集合。
量子力学：不可交换C*代数作为物理学量的集合。
框架3，
首先，量子力学中的C*代数 ，它的表示可以有很多。但可以证明，关于参数强连续且不可约的表示只有一个。由这个表示我们可以切换到波动力学，相应的状态空间就是波函数空间 ，物理学量依然对应于其上的自伴算子。系统的性质可以通过波函数 完全确定。
但是，要知道，波函数空间 不止一个（比如位置波函数，和动量波函数）。这个波函数空间和我们的“钦定”是有关系的。钦定的方法如下：将相空间上的辛形式记做 ，方便起见我们考虑平直的相空间 ，定义映射： ，它把相空间上函数映射为 上的算子。然后，利用 选取 的子空间 作为波函数空间。
例如：对于
坐标波函数空间：钦定， 。波函数为： 。相应的算子为： ； 。
动量波函数空间：钦定， 。波函数为： 。相应的算子为： ； 。
可见，波函数空间取决于我们选取的协变导数的“方向”，这种选取不仅仅只有这两个。我们还可以选取 ，得到的子空间（波函数空间）即holomorphic subspace 。
框架4，
上面三种关于量子力学的表示，都没有脱离量子力学中最基本的两个东西：希尔伯特空间 ；和其上的自伴算子。不过呢，在波恩的概率诠释下，我们可以考虑直接用类似于概率分布的东西来讨论量子力学，从而完全脱离希尔伯特空间的框架。
考虑平直相空间 ，量子力学系统的状态用一个相空间上的准概率分布 表述，物理学量的平均值可表示为： 。替代算子之间乘法以及其对易关系的是star product ： 。利用Wigner-Weyl变换： 我们可以将其与我们熟悉的希尔伯特空间表示下的量子力学联系起来。当 为相空间上的实值函数时，算子 为自伴算子，且 。
对于 ，此时star product中： 为函数之间对易的乘法； 为泊松括号；可见，当 时，反应量子力学中对易关系的star product就还原为经典力学中力学量（函数）的乘法。
个人感觉，我们通常量子力学教程中所谈到的所谓“正则量子化”： 更像是一种correspondence而不是deformation。对于一般的相空间，我们也可以证明：关于经典力学的formal Poisson structures 的等价类与关于量子力学的star product的等价类存在一个一一对应关系。

ejinjing

基本同意 LS… 只是，觉得他说得太多太详细了，以至于把一些不够中心的外延（比如，那四条，只是非相对论量子力学的处理方法）也拿进来了。

以下乃个人之愚见。量子力学的基本理论，只有一条：用线性空间（Hilbert Space 算一种）中的态来描述体系的状态。

其他的，LS 说得很清楚；但那些也就是对称性的要求，是凌驾于物理之上的。至于测量带来的概率问题，我还是以为，它是人为地将体系割裂为体系和仪器的直接后果，这应该就是 LS 所说的“有效定理”的意思吧。