如何理解量子力学中的简并连续态？

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在能量没有量子化的情形中，把某一个态用哈密顿算符的本征态展开的表示应该是什么？如何理解correlation amplitude在取连续性极限时的能量本征态密度一项？ [图片]
作者：一点资讯

rynet

这种东西说白了都是物理学家的数学太差，不足以用严格的语言来描述问题造成的。
实际上，根本就不存在什么连续谱的本征态，这可以从连续谱的定义看出：
点谱： 不是单射；
连续谱： 是单射但不是满射，但值域在全空间稠密；
剩余谱： 是单射但不是满射，且值域不在全空间稠密。
只有点谱和有限维空间中的特征值是一样的，才有特征向量特征子空间，才有简并度，也就是特征子空间的维数，这一说。
如果特征子空间根本就不存在，哪里来的简并度，态密度一说？
但是真要严格地做，那么我们学量子力学之前，就要硬啃泛函分析，以至于数学系的同学还在范数、内积、有界算子的时候，物理系反而满口C*代数、稠定算子、维纳测度，这根本就不现实。
所以对于量子力学中的不严格做法，如果不去问背后的数学，那么就简单理解成一种简易可行的手段，其逻辑完全来自于将有限维空间任意推广到无限维，连续谱求和不行，那么我们就来做积分，算出来和实验对得上就行了。
这种东西就像中医的五行八卦，你可以把这当作助记符，非要去从严格的逻辑去理解，那肯定是行不通的，因为这根本就不是数学的逻辑，是类比的逻辑。
现在来解释下态密度，我们正常处理简并的过程，应该是增加额外的量子数，这本书可能是出于作者数学水平有限或者作者不想读者花太多时间浪费在数学上，省略了这一步，完整的能量表象函数应该写成 。
这里对于1维好说， 分别对应 ，除了等于0外，任何时候等能面就只有两个点。对于3维，等能面就变成了动量空间的一个球面 ，除0以外，能量越大，等能面就越大。这个时候能量表象函数，可以写成球坐标 ，也可以写成角动量表象的形式 。
这书上要求全部都写成积分，那就只有用动量的方向角来写了，由于傅立叶变换是幺正的，从而可以保内积：

然后我们就得到了态密度 （如果考虑自旋可以再乘上一个 ），所以它的来源有两个，一个是球坐标系度规本身，第二个是把动量的模换元为能量带来的系数。
我对这本书擅自就把 这两个参数干掉持保留态度，当然你可以说，我们就只考虑这些球对称的态，但正是因为丢掉了这两个参数才造成了读者的疑惑。
最后再说明一件事，对于连续谱，“定态”薛定谔方程依然是可用的，但理解方式要变，它的解 并不是一个波函数，因为它不平方可积，它实际上代表了将坐标表象变换到能量表象的转换函数

所以我们处理点谱时，可以排除不平方可积的解，比如处理谐振子，厄米函数里面只留厄米多项式；处理角动量，勒让德函数中只留勒让德多项式；处理氢原子，超几何函数中也只留多项式。
但连续谱不可，因为它根本没有特征函数，薛定谔方程的解只表示表象变换，我们对表象变换唯一的要求只有幺正性，因此应当用幺正性代替平方可积性，作为解的筛选原则，即有

特别对自由粒子   ，这个时候的表象变换就是傅立叶变换。

BIGBON

不是能量密度而是态密度。 刻画的是能量处于 区间内的态的数目。不知你的困惑是否在此。