学习量子力学需要具备哪些数学知识？

StEwai

学习量子力学需要具备哪些数学知识？

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以下我将讨论一个简化后的问题：

学习量子力学的最小数学准备是什么？

首先高中数学你是要有的，高中数学里比较厉害的是三角学，就是sin，cos什么的，包括“和差化积”，以及“积化和差”的关系。

指数函数e^x，和虚数的概念应当也是在高中学习过的。顺道在这里安利一个公式：


这个公式号称是世界上最有名的公式，里面涉及了e，π，i，1，“加法”等基本数学概念。


纯虚数i的定义是，i的平方是-1，在复数空间里，横轴是实数，纵轴是纯虚数，任意复数是：a+ib，即复数空间里的一个向量，a，b在这里表示实数。

真正厉害的是e指数的iπ，这个运算，它表示复数空间里“单位箭头”的旋转，e指数的0，表示单位箭头就是1，对应：1+i0，而e指数的iπ表示这个箭头逆时针地转了π角度，因此它就变成了-1，或-1+i0。

当然如果转π/2，它对应的就是i，即：0+i，或复数空间中向上指的一个单位箭头。

这个角度，我们就称之为相位角。一般地：


这是一个很重要的等式，因为量子力学中量子态是用波函数表示的，这个波函数一般而言就是个复数，它们都是有相位的，正因为有相位才有相干叠加的概念，而所谓相干叠加其实就是复数的相加。或复数空间中两个复向量的相加，相加的结果当然会和两个向量的夹角有关。


其次：简单的微积分还是要会的，比如sin x的微分是什么？对sin x的积分又是什么。
最后：线性代数很有用，简单讲线性代数研究的对象就是多元数，以及如何对多元数做线性运算。
比如一个二元数，及其线性变换可以表示为：

如果你觉得枯燥的话，你可以把这个设想为是一个解析几何的问题（又是高中数学学过的东西），假如你在二维笛卡尔坐标系里，旋转一个向量的话，其坐标是(x,y)，旋转一个角度后，它会变为另外一个向量，坐标是(x',y')，那么(x',y')和(x,y)的关系是什么呢？我们发现x'的取值会是x，y的线性叠加，而y'也是x，y的线性叠加，当然它们的线性叠加因子是不一样的。
总的来说，学习量子力学并不需要特别难的数学知识，当然我这里说的是最小数学准备，往多了说，那就没边了。

KrpUpncK

试着来回答一下，（毕竟没有学过高等量子力学……）基本上是物理系本科前三年的内容。
学习量子力学，首先肯定会遇到著名的双缝干涉实验。在表示其波动性的时候，需要用到类似e^(i * l / lambda * 2pi)这样的表示方法，其中的i是虚数，即i = sqrt(-1)。所以这个时候，必须要有基本的复变函数知识。包括复数的意义、复数的计算等。至于复变函数中的保形变换这样的，在量子力学中用的并不多。
另外一点，学习量子力学肯定会要求解定态的薛定谔方程。进一步的，还有各种算符。解薛定谔方程，比如无限深方势井，都需要微分方程的知识，所以需要预先学习高等数学或微积分学，以及数理方程等内容。算符的数学相对容易一些，只需要基本的高等数学知识即可。
量子力学中的很多算符需要使用矩阵来表示，这就要求要有线性代数的知识。比如说矩阵的基本运算等。
对于一些更加复杂的情形，例如解氢原子外电子的波函数，要用到合流超几何函数、球谐函数等结论，则可以边学量子力学边补充这些知识。至于微扰论等，其数学也基本都在高等数学的范畴之内，学习起来难度不大。微扰论的数学虽然并不高深，单思想非常精妙，学习的时候可以仔细体会。有的读者可能觉得这么多的数学，是不是有意把问题弄的复杂呢？其实恰恰相反。正是引入了各种成熟的数学体系，例如微积分、微分方程、复变函数、矩阵，使得科学家可以简洁的描述规律。

目师

额！居然被悟空官方邀请回答了，呵呵，量子是一门新的学科，就目前的所有名人设定的公式和定理已经无法对量子做出解释和计算了。
在国内如果你要研究量子的话，得先拿到硕士证书，然后你才有研究的资格，然后你要做的就是忘记那些所谓的什么定理和公式。一步一步的从新自己摸索、试验量子的规律和轨迹，然后用数学的方法将它定义出来。
为了你少走弯路，目前量子得出的已知答案是
1-量子的运行轨迹是以波的方式，但是用数学的方法又无法证明。
2-量子的纠缠方式和个数是不可确定的，也许是两个，也许是3个，也许是目前最大的纠缠数几十个。很好玩。你动任意一个，其他几十个都会同样发生性状改变。
3-目前所有关于量子的解释都指向同一个诡异的答案，就是当你观察或者发射，或者提取一个量子的时候，实际上这个量子就已经消失了，而出现在大家眼中的结果实际上是与之发生纠缠的另外一个量子。通俗点就是目前UFO中文网上那个量子发射纠缠试验。出现在两条杠后面的轨迹点。那个试验是测试量子运行轨迹的，后面还有其他试验，继续往下做会得到一个诡异的答案，就是发射枪发射量子的时候，那个量子已经消失了。而出现在背景墙上的是与之发生纠缠关系的量子。
如果第三个解释被证明真的是这种情况的话，你知道对于物理学是什么样的震撼么？咱们用大白话来解释就是力学定理完全被推翻了。
再通俗点解释，你走路用力学定理就是你的脚掌对地产生了一种力，这种力推动你的身体向前动。
而如果量子来解释的话，你走路所有使用的劲啊，力啊神马的全是你的错觉。你身体的移动是量子不断交替消失，出现的一种量子转换而已。再恐怖一点，把你家里当年16位的俄罗斯方块游戏掌机拿出来看看它的下落轨迹。它一点一点消失然后一点一点出现的轨迹直到落到位置上的运行方式就是你走路的方式，明白了么？
不明白去喝杯茶，睡觉去吧！

yinfeifei

微积分、线性代数、微分方程、概率论
参考书：https://www.amazon.com/dp/0131118927/ref=cm_sw_r_cp_awdb_nFeYzbQWJYK32