为什么曲面的面积不能简单地用内接多面体表面积的极限去定义？

cream123

数学分析

qdzs2000

这个问题非常有意思，而且我觉得这个问题也是很深邃的。我以前看过顾险峰教授写的相关的科普文章，他的有些文章都是在谈论这类问题（这种问题在计算机图像学中是很重要的，也是很常见的），你有兴趣的话可以去搜一下“老顾谈几何”这个微信公众号里的文章， 我相信你会找到这个问题的答案。
为什么曲面的面积不能简单地用内接多面体表面积的极限去定义？
我们先从直观上来说，比如说有一个球面，也就是一个篮球的表面，那么这个篮球的肚子里可以内接一个正方体，也可以内接一个四面体，也可以内接一个长方体……。显然，不同的内接方法得到的几何体的表面积都与球面的面积有差距，而且这些差距都不一样的。
于是，我们按照上面给出的方式可以不断地细节，最后以非常任意多面体的方式内接于球面。你会发现，你首先不知道如何求这个极限，其次你对不同的多面积，这个极限是不一样的。
这是为什么呢？
原来，球面是有曲率的，而且多面体的剖分会损失曲率的信息。因此，在求面积的时候，就会产生误差。这个是可以理解的。
对于其他的不是球面的曲面，拓扑结构不一样，情况也就会更复杂。
正常来说，很多曲面上都可以做三角剖分的，我觉得三角剖分可能会给出面积的极限。而一般任意的剖分则不一定能给出正确的面积。总体来说，还是要掌握一点共形几何与三角剖分的知识，才能说清楚这个问题。

※鱼鱼╰☆

第一，题目中说的内接多面体表面积，应该是内接折面比较准确，因为曲面可以不形成封闭体。第二，曲面面积不能简单的用内接折面面积的极限去定义，它的根本原因是存在(或者可以构造)一个其极限为无穷大的曲面的内接折面，就是说不是任意的内接折面，它的极限是曲面面积，其中最著名的例子是19世纪末德国数学家H.A.Schwarz举的园柱体表面积问题。这样，就必须对内接折面加于限制，作为定义，这样一个限制显然不合理。

fabao

我猜提问者的意思可能是用内接正多面体近似吧。类比于通过内接正多边形近似圆的周长。
然而，正多边形只有5种，面数最多的也只是20面体。
假如，增加到20面体之后，随便在圆上找点构成21面体，没有规则的增加，这样表面积是没法计算的，没有一个增加的规定，这样的极限是没法求的。
而为什么就可以用正多边形近似圆，是因为正多边形在增加边的过程中，其形状是固定的，面积是可以计算的（比如，球的内接21面体的表面积是不固定的，形状不同，表面积不同），所以可以用正多边形的极限求圆的周长和面积。