困扰数学家25年的难题被统计学家解决了

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困扰数学家25年的难题被统计学家解决了是怎么回事，是真的吗？2021年03月10日是本文发布时间是这个时间。下面一起来看看到底怎么回事吧。
                                困扰数学家25年的难题被统计学家解决了
                               
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图片来源：Pixabay

本文转载自公众号“量子位”
撰文 边策 杨净

这是一个严肃的科学问题，已经困扰了人类数学家 25 年之久。根据常识，就是要保证果肉暴露在外面的面积最小，也就是切片的面积最小。如果跨越到更高的维度，是否依然成立？这就是 1995 年，由三位数学家提出的一个几何学猜想。

现在，这个难题被一位华人统计学博士解决了。成果一经发布，就迅速引起了数学、理论计算机科学、统计学等多个领域的科学家的关注。他们一致认为，数学大师、菲尔兹奖得主，原本猜想的提出者让·布尔甘（Jean Bourgain）一定会对这一进展感到兴奋。毕竟，在他去世前（2018 年）的几个月里还在关心这一问题进展，但终其一生都未能解决。


困扰数学家 25 年的几何问题

1984 年，著名数学家让·布尔甘提出了一个猜想。

一个任意维度的凸体，用低一维的平面去平分，那么存在一个常数 c，让凸体至少存在一个切面的面积大于 c。

换句话说，如果你一刀平分“任意维度空间的西瓜”，随便你怎么劈，总有一个切面总大于 c。（Ps：以往的科学家用的是苹果的例子。但准确来说不能选苹果，因为苹果上下是凹的。）

在 3 维空间中，这个结论似乎很好理解，因为无论西瓜长成什么奇形怪状，总不可能在每个角度都细长。像长形的西瓜，竖直切下去，切面很小，可以你也可以水平切开平分它，这样切面就会很大。

但在 3 维世界中正确的事情，到了高维空间却不一定成立。这个问题后来被布尔甘自己证明，但数学家们并不满足于用平面切西瓜，而是希望能找到一个更小的切面，它可以是曲面。而这恰好是 1995 年 Kannan、Lovász 和 Simonovits 三人提出的 KLS 猜想关心的问题：用来平分的最小曲面面积是多少？

以二维空间里的一个三角形为例。这个最小的“曲面”是一段圆弧。用圆弧来平分一个三角形，中间的线长度最短，而最佳“平面”——直线——的效果略差。


如何用最小“切面”平分三角形。图片来源：Quanta Magazine

到了更高维度的空间中，二等分的最佳平面和最佳曲面差距会变大吗？切面的面积是否和维度 d 有关？

这个问题已经不再是纯粹的数学问题。普林斯顿大学数学系教授 Assaf Naor 表示，KLS 猜想在纯粹的数学和理论计算机科学中都很重要。KLS 猜想的结果，直接关系到随机行走算法的运行时间，如机器学习模型中采样问题。·所以最后解决这个几何问题的学者，都并非几何学的专家，而是来自计算机界。


用统计方法解决问题

经过数学家的抽象，KLS 猜想就像一个封装着气体的容器，找到最佳切面就是寻找容器的“瓶颈”。

想象一个哑铃形状的容器，里面有一个气体分子在随机运动，哑铃中间连接部分越细，分子就越难跑到另一侧。


哑铃形的平分切面很小。图片来源：Yin Tat Lee 论文

现在人们想知道，在高维空间，这个凸的容器最细的地方有多细。（当然，哑铃并非是凸的。）

2012 年，Eldan 通过引入一种称为随机定位的技术，来降低这个问题与维度上界。（到底是维度 d 的几次幂。）

2015 年末，华盛顿大学的 Vempala 和 Yin Tat Lee改进了 Eldan 的随机定位，以进一步将 KLS 因子（用于描述瓶颈是否存在）降低到维度的四次根 d1/4。


KLS 猜想的上界不断降低。图片来源：同上

甚至，他们还将幂指数降低到几乎为 0，由于 d 的 0 次幂总是等于 1，Lee 和 Vempala 似乎证明了 KLS 因子是一个与维度无关的常数。

他们在 arXiv 上发布了他们的论文。但是几天后，这篇文章就被人发现了一个缺陷，他们关于 d0 的证明是错的。之后，二人修改了文章，把界限重新调整到 d1/4。几年来，研究人员认为 KLS 猜想的探索已经到此终结了。



不过他们还在论文中，保留了 d0 证明的一些想法。这也为后来的突破埋下伏笔。

他们的论文引起了另一位统计学者 Yuansi Chen 的注意。Chen 当时是加州大学伯克利分校的统计学研究生，他正在研究随机采样方法的混合率。而随机采样是许多类型统计推断中的关键，例如贝叶斯统计。

Chen 深入研究文献，花了数周时间试图填补 Lee 和 Vempala 的证明中的空白，但依然没有解决。于是他转变了思路，在 Lee 和 Vempala 的思想指导下，他找到了一种方法，采用递归来降低 KLS 因子上界。

经过反复迭代，这种方法将 KLS 猜想问题再次拉回到 d0 的上界。这一结果意味着，高维凸形物体不会有哑铃那样的结构。在 n 维凸体中随机行走，遍历整个图形的速度比我们之前预想得要快得多。这将有助于计算机科学家对不同的随机采样算法进行优先级排序。


三个计算机相关的科学家

虽然表面看上去，这三位学者似乎跟数学没什么关系。但仔细翻看他们的履历，他们都曾跟数学结下了不小的缘分。

首先，直接与研究相关的这位统计学博士后——Yuansi Chen（陈远思，音译）。今年年初，他开始在杜克大学统计科学系担任助理教授的职位。主要研究方向是统计机器学习、优化以及在神经科学中的应用，尤其对其中域适应性、稳定性、MCMC 采样算法、卷积神经网络和计算神经科学中出现的统计问题感兴趣。

Yuansi Chen 于 2019 年在加州大学伯克利分校统计系获得博士学位。其博士生导师是著名华裔统计学家、UC 伯克利统计系和电子工程与计算机科学系终身教授郁彬。在攻读博士之前，他还在法国 Ecole Polytechnique 获得了应用数学专业的工程师文凭。随后，前往在苏黎世联邦理工学院 ETH Foundations of Data Science（ETH-FDS）做博士后研究。

而启发 Yuansi Chen 数学灵感的，是两位计算机科学家，Yin Tat Lee 和 Santosh S. Vempala。

Yin Tat Lee，目前是华盛顿大学助理教授，本科毕业于香港中文大学。2012 年从港中文大学毕业后，前往麻省理工学院攻读博士学位，随后前往微软研究院做博士后研究。他的研究方向主要在算法方面，包括凸优化、凸几何、谱图理论和在线算法等广泛的课题。

以往的研究里，他曾结合连续数学和离散数学的思想，大幅提升了在计算机科学和优化中许多基本问题的算法，比如线性编程和最大流量问题。他曾获得 SODA 最佳论文奖、NeurIPS 2018 最佳论文奖、NSF 职业奖。去年他还获得了有“诺奖风向标”之称的斯隆奖，以及美国最大的非政府奖学金之一——帕卡德奖学金。

再来看 Santosh S. Vempala，佐治亚理工学院计算机科学教授。主要研究领域是理论计算机科学，包括抽样、学习、优化和数据分析的算法工具；随机线性代数，高维几何。他曾在卡内基梅隆大学攻读博士学位，本科毕业于印度理工学院的计算机专业，曾获 NSF 职业奖、斯隆奖等奖项。在来到佐治亚理工学院之前，他曾担任 MIT 应用数学系担任教授、UC 伯克利米勒研究员。


数学家：不可思议

Yuansi Chen 的论文一发布，迅速就引起了数学界的学者关注。不光是因为此前的错误证明，还由于陈远思这个名字在数学界十分陌生，研究人员对待这一成果十分谨慎。

但他的方法很容易被验证。早期研究过 KLS 猜想的以色列数学家 Boáz Klartag，就在第一时间看了论文。他表示：“我基本上立即停止了我正在做的一切事情，并检查了这篇论文。这篇论文是 100% 正确的，这一点毫无疑问。”

除了一众数学家关注之外，这篇论文还引起了理论数学家、统计学等领域的注意。哈佛大学计算机科学教授、微软研究院前新英格兰首席研究员 Boaz Barak 则发推祝贺，并表示这是一个非常重要的突破，加速了对近似凸体体积的研究。



但点赞祝贺之余，也有不少学者表示十分遗憾。因为提出这一猜想的人菲尔兹奖得主布尔甘已于 2018 年去世，如果他还在的话，一定会为这一进展感到兴奋。

据 Quanta Magazine 报道，布尔甘曾在去世前几个月，联系了他的朋友、特拉维夫大学教授 Vitali Milman，询问这一猜想是否有任何进展，想在离开之前知道答案。

但 Vitali Milman 说，布尔甘在这一问题上，花费的时间和投入的精力比任何其他问题多得多。没想到，最后这个问题却被统计学解决了。

参考链接：
[1] https://www.quantamagazine.org/statistics-postdoc-tames-decades-old-geometry-problem-20210301/
[2] https://www.cc.gatech.edu/~vempala/papers/kls_survey.pdf
[3] https://arxiv.org/abs/2011.13661
[4] http://yintat.com/
[5] https://people.math.ethz.ch/~chenyua/
[6] https://www.cc.gatech.edu/news/604802/computer-scientists-make-kls-conjecture-breakthrough