谜一样的古埃及分数

UFO爱好者

　　古埃及人用不同的符号代表了不同的分数，这些分数之间有着十分奇妙的关联。那么，古埃及分数到底是什么呢？
　　古埃及分数也称为单分子分数，即分子为1的分数，比如1/5、1/7。而对于非单分子分数，古埃及人也可以巧妙地运用古埃及分数进行表示。兰特纸草书的第一页就有一个表格，上面记录了如何用古埃及分数来表达分子是2的分数。表达式如下：2/5=1/3+1/15，2/11=1/6+1/66，2/29=1/24+1/58+1/174+1/232，记录的最后一个分数为2/101。
　　


　　古埃及人为何如此钟意单分子分数呢？世人有很多猜想，有人觉得当时的数学就是为了满足日常生活和生产需求，还谈不上数学研究，可能单分子分数的发明就是为了对物资进行平均分配。比如8个人平均分配7个面包时，就可以用古埃及分数来解决。7/8可以用古埃及分数表示为7/8=1/2+1/4+1/8。先取4个面包，每个面包平均切成2等份，合计8等份；再取2个面包，每个面包平均切成4等份，合计8等份；剩下的1个面包平均切成8等份。那么，最终每个人能拿到3份面包，如此保证了每个人分得的数量和份量都是一样的。
　　数学上把项数最少的展式称为最优展式，而兰特纸草书中的展式并不全都是最优展式。对于同一个数字来说，用古埃及分数表达的方式有很多种。比如2/3=1/2+1/6，而其中1/6=1/7+1/42，因此可表达为2/3=1/2+1/7+1/42；其中1/42=1/43+1/1806，因此又可表达为2/3=1/2+1/7+1/43+1/1806。如此分解下去，可以将展式的项数无限扩展。由此可知，古埃及人在当时还没有形成一套科学合理性很完整的数学体系。
　　


　　在最优展式的基础上，近代科学家又进一步的对古埃及分数进行了研究，分析真分数的最优展式是否是唯一的。以最简单的1为例，进行单分子分数表达，不仅要项数最少，而且分母必须为奇数。最终，在1976年得出5种展式：
　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231
　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395
　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693
　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315
　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385
　　这5个展式的前6项是相同的，但后3项的差异也说明了并不是所有的真分数的最优展式都是唯一的。
　　数学的产生源自于实际的需求，并且通过在现实生活中的应用而得以发展。古埃及人既然发明了单分子分数，也就是说他们在实际生产和生活中需要用到这种分数。至于是什么样的运用，就需要人们慢慢探寻，揭开谜底了。
　　事实上，对古埃及分数的研究还存在很多疑问，比如古埃及人创造如此复杂的单分子分数的目的是什么？他们是通过什么方法得出的展式？为什么每一个展式不是另外一种表达方式？不得不佩服古埃及人在数学上的思考。期待这些未解之谜也会在不久的将来得到答案。
　　本文由中国人民大学附属中学第二分校一级教师秦薇进行科学性把关。
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                                        2021-09-10