数学界有哪些未解之谜？

随心所欲480

或者有哪些和常理有矛盾的问题？
这里说一下哦，我原意是想知道数学界有什么问题是没有解开的，但是被修改之后的问题和我原来的意思不同了！

老鼠飞出亚洲言

椭圆曲线的秩就是数学界的一个未解之谜！
我们称形如

的 光滑曲线 为定义在 有理数域 上的 椭圆曲线，记作 .



椭圆曲线 y^2=x^3+1



椭圆曲线 y^2+y=x^3-x

对于椭圆曲线  ，定义集合

此集合中的元素称为椭圆曲线  上的 有理点，其中 为 无穷远点. 在  上可以定义 加法运算，使得  成为一个 群.



椭圆曲线上有理点的加法运算

关于群  ，我们有著名的
Mordell-Weil 定理：  是 有限生成 的 阿贝尔群.
由Mordell-Weil 定理和有限生成的阿贝尔群的结构理论知

其中 为  的 挠子群，其元素的阶是 有限的. 而   为  的 自由部分，其元素的阶是 无限的. 我们把整数 称为椭圆曲线  的 秩，记作 . 例如




不过这些椭圆曲线的秩都比较小，当然也有秩比较大的椭圆曲线，比如


它的秩为 . 一个自然的问题是，椭圆曲线的秩可以任意大吗？这是数学界迄今为止都无法回答的一个问题！起初数学家趋向于认为椭圆曲线的秩可以任意大， 其中的一个依据是：在 2006 年，数学家 Elkies 找到了一条椭圆曲线


它有 个 线性无关 的阶为无限的有理点：




























从而可知 ， 但这个秩具体是多少却不得而知. 有意思的是，在 2016 年，Klagsbrun， Sherman 和 Weigandt 发现这条椭圆曲线与下述著名的猜想有关：
广义黎曼猜想：Dirichlet -函数

的非平凡零点都位于直线 上.
他们发现：如果广义黎曼猜想成立，则有 . 这真是一个惊人的结论，因为在这之前没有人会想到椭圆曲线竟然和黎曼猜想有关！
随着对椭圆曲线的更深入研究，数学家渐渐对之前的猜测产生了怀疑，认为椭圆曲线的秩可能是有界的. 例如， Park， Poonen， Voight 和 Wood 在 2019 年发表的论文表明：秩超过 的椭圆曲线的个数可能是有限的. 这表明椭圆曲线的秩是有界的！但椭圆曲线的秩究竟有没有界？数学家还是没法给出确切的答案，这一问题算得上是数学界的未解之谜. 对这一未解之谜的探索在数学上是有重大意义的，因为它还与下述著名的猜想密切相关：
BSD 猜想：
其中 为椭圆曲线  的 -函数.

分裂的硬盘悔

数论里有一个比较偏僻的概念叫friendly number(友好数)
如果对于正整数 ，其中 表示 的所有正因子之和，则称他们为friendly pair，并称 为friendly number
比如30和140就是一对friendly pair

相反的，如果一个数找不到它的friend，则称它为solitary number(孤独数)，比如所有的素数都是“孤独的”（读者可以先思考一下）
然而，目前并没有好办法直接判定一个数是否是“孤独的”
比如24，它是个friendly number，但它最小的friend是91963648
“怎么这都不知道”的部分来了：10是solitary number吗?
反正今年七夕它还是一个人过的，并且有人猜测以后的七夕它一直得一个人过
<hr/>突然发现我们可以出一道看似人畜无害实则完全没法做的数论题

群主713

两个条件。1 - 易于理解， 2 - 未解
1 - 考拉兹猜想，又叫3n+1猜想，角谷猜想
取正整数，如果奇数则乘以3加1，如果偶数则除以2，那么经过有限步必然进入4 -> 2 -> 1 -> 4 ...的循环。
直至2017，所有 以下的正整数都经过机器验算，但还没有人能证明或举出反例。
鼎鼎大名的保罗·厄多斯曾表示“也许数学还没准备好解答这类问题。”2010年，美国数学家Jeffrey Lagarias表示这是个“极端困难的问题，完全超出今天的数学所能解决的范围。”




2 - 移动沙发问题
假设有L形的转角走廊，走廊宽度为1，那么面积最大多大的形状可以转过转角？
这一问题的答案被称为沙发常数，目前还未找到。
下图是英国数学家John Hammersley发明的形状，由两个四分之一圆 + 矩形 - 半圆组成，面积约为2.2074。
之后美国数学家Joseph Gerver构筑了由18段曲线拼接成的形状，将沙发常数的下限抬高到2.2195。
2017年的一份论文将沙发常数的上限大大减少，证明了该数不可能超过2.37。



3 - 内接正方形问题
画一条简单封闭曲线，形状不限，只要满足起点和终点重合，曲线不和自身相交两个条件，则一定可以找到一个正方形，四个顶点都位于该曲线上。
类似定理对于三角形和长方形都已经证明，但正方形的难度更上一级。
目前成功证明了这一猜想对于满足一些额外条件的曲线成立。如曲线为分段解析等等。

清荼蘼荼iq

Navier-Stokes equations

描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，称之为世界上最重要的方程之一也不为过。
解存在唯一性问题到现在也没完全解决，即有没有解，有解的话是否是唯一的，若不唯一加上什么条件可以唯一，存在解的话解是否有解析表达式等等等等......
之所以觉得惊叹主要是因为其实际应用中的重要性，描述了流体力学的基本规律但我们对这个方程所知“甚少”。
PS：李雨生教授说如果能部分解决上述问题（指突破性的进展），上面给这个项目批个几百万下来应该不成问题，因为这个问题很难并且十分的重要。