历史上有哪些有趣数学故事？

扬帆46

历史上有很多有趣故事，包括数学。大家分享一下吧

江左岸右郧

在著名的规尺作图三大难题上，就发生过无数故事。
我们一样一样说。
首先是，立方倍积问题。


提洛岛上的古代剧场根据古代传说，公元前 429 年，古希腊的提洛岛爆发了一场瘟疫，导致岛上的 1/4 的人口死于瘟疫。
于是，大家都跑到神庙里来求阿波罗。
阿波罗发下神谕，必须把它庙里的这个祭坛加大一倍才行。
要不说呢，人争一口气，佛争一炷香。
你以为神仙都是白干活的？
不行哦。
阿波罗神殿的祭坛是个正方体，大家量了一下尺寸，给做了一个大的，尺寸加大了一倍。
送到阿波罗神殿，给装好了，结果不灵啊，瘟疫依然流行。
闹了半天是大家算错数了，人家要的是体积翻倍，可不是尺寸翻倍。
你倒好，正方体的边长加大一倍，整个体积是原来的 8 倍，这是个 3 次方的关系。
不行，弄错了。
大家没辙啊，改造吧，他们把正方体一根边延长了一倍，这回体积是对了，的确是体积加大了一倍。
可惜这不是正方体啊，这不是变成长方形了嘛？不行不行。
大家实在是没辙，跑到雅典找柏拉图，找这位高人给出出主意。
这到底咋整啊？
这就是著名的立方倍积问题。


立方倍积的关键问题是作出2柏拉图觉得这事儿应该不难嘛。
他找来三个学生，一个就是欧多克索斯，一个叫阿奇塔斯，还有一个叫梅纳赫姆斯，让他们仨来解决问题。
结果这几位拿出的答案，差点把柏拉图的鼻子气歪了。
这个梅纳赫姆斯拿出了一个办法，那就是画两条抛物线，一条线的方程是 x=ay，另外一个方程是 y=2ax，这两根抛物线一个开口朝上，一个开头朝右。
这两根线有两个焦点。
一个毫无疑问，就在(0,0)点，也就是坐标原点。
另外一个交点的 x 轴坐标是2a。
看见没，看见没，这个问题的关键，就在于凑出一个2，这不就凑出来了嘛！


两条抛物线的的交点，x 坐标就是 2≈1.259921049894873…柏拉图看见这个答案，差点拿板儿砖拍他。
柏拉图心说，你这个孩子，不学好，你这咋还开了挂呢？
这是怎么回事呢？
柏拉图要求用规尺作图解决这个问题，谁让你画抛物线了？
规尺作图要求很严，直尺是没有刻度的，只能用来画直线。
圆规只能画圆，其他曲线根本画不出来，你上哪儿去画抛物线？
没错，这就是规尺作图的规矩。
这个梅纳赫姆斯为什么会想到抛物线呢？
道理很简单，他是圆锥曲线的发现者。
他最早发现，一个圆锥体，如果垂直于底面切一刀，截面就是创曲线，平行于底面切一刀，截面就是个正圆，要是斜着切一刀，截面就是个椭圆。
要是平行圆锥的侧帮子砍一刀，截面就是抛物线。
当然，当时还没双曲线和抛物线这些名词。
但是这些曲线有个统一的名称叫「圆锥曲线」。
刚才我们讲到了，立方倍积问题和圆锥曲线有非常强的关联性，只是圆锥曲线我们下次再讲，这次不是重点。


1.圆；  2.椭圆；  3.抛物线； 4.双曲线不过呢，我们也要说清楚一点，故事就是故事。
这个故事出自生活于罗马时代的一个希腊作家的著作，到底是真是假，那可不一定。
最起码梅纳赫姆斯很可能和柏拉图差着 50 年，这二位到底有没有在一起研究过几何学还难说呢。
不过梅纳赫姆斯最早发现圆锥曲线到是靠谱的。
当然他可不会用解析几何来解决问题，那时候解析几何还没发明呢。
不过他对立方倍积问题的解答也是正确的。
但是很遗憾，这种解法跟规尺作图没关系。画不出来还是画不出来。
化圆为方

那么化圆为方又是咋回事呢？
这还是有个故事的。
古希腊有一位学者叫安拉克萨哥拉，他提出「太阳是一个巨大的火球」。
现在看来，这种说法是正确的。
但是，在古希时代，大家更愿意相信太阳就是阿波罗，太阳神嘛。
我们发现，哪儿都有这个阿波罗，这家伙又冒出来了。
既然如此，安拉克萨哥拉就是胡扯嘛，这不就是亵渎神灵吗？
于是，安拉克萨哥拉就被投入了监狱，关起来了，而且还被判了死刑。
但是这个安拉克萨哥拉被关起来了，脑子还在胡思乱想呢。
这都快被拉出去砍头了，他依然在考虑数学问题。
看着天上的大月亮，他心中一动，如果已知一个圆的面积，那么，怎样做出一个方来，才能使它的面积恰好等于这个圆的面积呢？


这个安拉克萨哥拉在监狱里就发了愁了，这个问题怎么解决呢？
当然啦，他有个好朋友叫伯利克里。
这家伙是雅典非常重要的政治家，他推动了雅典的民主改革，在历史上留下了浓墨重彩的一笔。
他所处的时代，被称为伯利克里时代，也是雅典最辉煌的时代。
这位著名的政治家把安拉克萨哥拉从监狱里给捞出来了。
尽管安拉克萨哥出狱了，他还是惦记着这个在监狱里想到的问题——如何化圆为方。
当然，故事依然是故事。
化圆为方问题的起源并没有那么戏剧性，这个问题的起源其实跟求取圆的面积有关，也涉及到著名的无理数 π。
我们都知道，圆的面积是 πr，其实古希腊人也认识到圆的面积和半径平方成正比。
但是前边还有个系数，这个系数到底是多少呢？
咱们的古人一般用的是周三径一。
其实就是把π近似为 3，本质上就是那六边形来代替圆形，这样算起来省事儿。
古埃及经常用的数值是 256/81。
古巴比伦常用的是 25/8。
阿基米德总结出了圆面积公式，他推算出 223/71
三国时代的刘徽计算出了 192 边形的面积，计算出 π 的近似值为 157/50，然后他再接再厉，用 3072 边形计算出了更精确的近似值 3927/1250。
后来嘛，南北朝时期的祖冲之再推进一步，他推进到了 24576 边形，寻找到了一个更加精确的数值，那就是 355/113。
这个数值精确到了小数点后 7 位，一般计算足够了。
一直到 15 世纪，这个记录才被阿拉伯数学家打破。
但是，在古希腊。
有些人，走了另外一个路子。

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为林羽而来亩

这就不得不提，大名鼎鼎的「第一次数学危机」了。
毕达哥拉斯学派是一个非常神秘的组织，他们研究的内容也从不对外透露。
而且他们普遍吃素，很多宗教都讲究吃素，他们作为一个尊奉神秘主义的学派，这倒是不奇怪。
但是，即便是素菜，也不能随便吃。
尽管豆子也是素菜，但是他们也不吃。
不但如此，这个教派的怪癖非常多，不许吃肉、不许吃豆子、不许吃整条的面包，不许把面包掰开了吃，不许捡掉在地上的东西，不许走在大路中间，不许碰白色的公鸡……也不知道这都是什么毛病。
至于为什么不吃豆子，说法很多。
一种说法是，毕达哥拉斯受了埃及的影响，当时的埃及人是不吃豆子的。
另一种说法是，因为豆子吃多了会放屁。
在古希腊人看来，放屁这件事儿非同小可。
在古希腊文里，灵魂这个词的另一个含义是「风」。
他们认为人死了以后埋在地下，灵魂就会像气一样悄悄地跑出来啦，散发到空气之中，但是像豆类这样的植物能够吸收灵魂，储存在自己的果实里面，说白了就是储存在了豆子里面。
你吃了豆子以后，肚子胀气，胀的可就不是一般的气了，那是从豆子里跑出来的灵魂在哭泣啊。
灵魂渴望自由，它总要往出跑。
于是你就会咬牙放屁，连带吧唧嘴。
这都是死人的灵魂给闹的。
毕达哥拉斯的这种思想很可能是受到了希腊北方流行的奥尔弗斯教的影响。
他们相信灵魂的轮回，他们相信万物有灵，所以他们也自然而然地会相信豆子里面有人类灵魂之类的事儿。
所以毕达哥拉斯学派吃素的原因跟佛教徒不是一回事。
佛教徒是为了不杀生，但是毕达哥拉斯学派可从来不在乎什么杀生不杀生的。
因为毕达哥拉斯发现了勾股定理，他很开心哦，所以他杀了一头牛献祭给神，也有一种传说是杀了 100 头，我想 100 头好像有点太多了。
所以说你别看他们是吃素的，下起手来还真不是「吃素的」。
潘多拉的盒子

当然了，毕达哥拉斯不仅仅是受到希腊北部文化的影响。
他还受到了巴比伦文化的影响。
按照欧几里得几何原本之中的一条注解的说法，毕达哥拉斯学派只知道 3 种正多面体：四面体、立方体和正 12 面体。


正 12 面体正 12 面体是由 12 个正五边形堆成的。
毕达哥拉斯学派对五边形和五角星相当崇拜，这几乎就成了他们这个教派的专属符号。
这种五边形内接一个正五角星的图案，最早出现在古巴比伦人的艺术作品之中。
所以由此我们也可以推断，古希腊的很多数学知识跟巴比伦是有很深的联系的。
毕达哥拉斯很早就注意到了正五边形的特殊性。
五边形可以画出 5 条对角线，这 5 条对角线就组成了一个五角星，五角星肚子里面还有一个五边形，这个图案似乎存在某种重复性。
而且这 5 条对角线互相交叉，把对角线分解成了好几根线段，这些线段的长度似乎都满足这么一个规律，a:b=(a+b):a。
五边形的边长和对角线的长度比例也满足这个规律。
这个比例显得那么美，那么优越，在 2000 年以后，这个比例获得了一个名字叫「黄金分割」。


当然这个名字是后人起的，在古希腊时代大家并不会管这个比例叫做「黄金分割」，就简单地称呼它「分割」。
因为在古希腊也没有什么其他更重要的比例了。
古希腊的帕台农神庙，外观比例就基本上符合黄金分割比例。
那么这个黄金分割比例到底是多少？
我们现在都知道这个数字约等于 1.618:1，也等于 1:0.618。
大家发现了吧，这个数字就是这么特殊。
这个比例和斐波那契数列有非常强的相关性。
但是毕达哥拉斯不知道他们的这个学派所推崇的这个符号，这个图腾，却藏着一个魔鬼，藏着一个让他们崩溃抓狂的数学问题。
那就是五边形的边长和五边形的对角线，居然不共度。
据说发现这个秘密的人就是毕达哥拉斯的学生希帕索斯。
大家还记得共度这个概念吗？也就是说五边形的边长和五边形的对角线，你横竖找不到一个整数比。


那么退而求其次。
正四边形的对角线和边长，是一个什么样的比例呢？
正方形的对角线和边长能共度吗？
对不起，也不行，发现这个秘密的人还是希帕索斯。
收不住的妖孽

据说他是用在棋盘上堆石头的办法证明根号 2 无法表示成整数比。
要想理解古希腊人的证明过程，就得先把我们的数学知识拉到和他们一样的水平，否则我们会抑制不住心中的那种别扭的感觉。
毕达哥拉斯学派发现了一些平方数。
比如说，4 个石头子可以摆成个 2×2 的正方形，9 个石头子可以摆成 3×3 的正方形。


要想证明√2 可以表示成整数比，你可以想象成在棋盘上摆一个正方形的阵列 m，然后把这个方阵里所有的棋子平分成两堆，每一堆还能摆成一个正方形，也就是 n。这个过程写成式子就是 m=2n，由此可见，√2=m/n，你还得保证 m 和 n 都是整数，√2 才能是有限的分数。
如果这是真的，一定能用石头子摆出来。
结果毕达哥拉斯学派的人就在那儿摆弄石头子，摆来摆去石头子都快磨秃了，他们也没能完成这个任务。
你想啊，你摆成个 3×3 的正方形，一共 9 个棋子儿，你怎么平分成两堆啊？你根本没法平分。
那你可能说 3×3 是个奇数，肯定不可能平分，改成 2×2。
那好啊，2×2 一共 4 个棋子，分成 2 堆，一堆只有俩石头子儿，你跟我说俩石头子能摆出个正方形来，我算服了你啊。
你可能会说啊，现在石头子太少了。
要是石头足够多，是不是就能搞定呢？
事实上也是不行的。
假设我们搞一个 7×7 的阵列，我们强行把这个阵列拆分成两个正方形，每个正方形有多大呢？我们姑且认为答案是 5×5。


白色=25，黑色=24学过算术的人都知道，这个数字是不对的，但是古希腊人按捺不住心里的那份执拗，他们非要把所有的数字都凑成整数。
你会发现随着石头子变多了，精确度似乎在提高。
一边 24 个石头，一边 25 个石头，差一点点就可以实现平分成两个正方形相加。


从 7×7 的阵列里面，扣除一个 5×5 的阵列，剩下的石头子摆成了一个拐角形状。我们现在就得想办法把这个拐角重新摆成个 5x5 的正方形。


把两端的 4x2 颗棋子堆到中间，就算大功告成毫无疑问，这就成了一个拆东墙补西墙的工作。
这实际上就可以演变为两个 2×2 的正方形，能不能拼成一个 3×3 的正方形的问题，答案显然是不行的，差一个石头。
这又是一个 2n=m的问题，只是小了一圈。
我们为什么要费劲巴拉的把问题搞得这么复杂，不就是石头子儿吗？
我举这个例子只是想说明 7×7 的正方形阵列平分问题，实际上最终可以变成 3×3 的阵列平分问题。
以此类推，m×m 的阵列平分成两个 n×n 阵列，这种平分问题可以化解成成更小的正方形平分问题，经过一次又一次的缩小，最终一定会演变成 3×3 或者是 2×2 平分问题，这显然是做不到的。
所以就此证明了，任何 m×m 正方形阵列不可能平分成两个小正方形阵列，等价于√2 不可能得到一个整数解。
当然，你也可以用平面几何的办法。
类似于规尺作图。
如果要测量出正方形对角线和直角边的比例，就得没完没了的把大正方形化解成小正方形。
小正方形也是正方形啊，又得把刚才的步骤重复一遍。
你会发现这事儿就变得没完没了，需要无限次操作，才能逼近√2。
古希腊人看见无限就头大。
他们明白，如果存在整数比，操作次数一定是有限的。
那么有没有更简单一点的推导办法呢？
当然是有的。

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丽人至上再

要说历史上数学的有趣故事，首当其冲的就是第一次数学危机（发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志）
好啦，故事开始
在公元前500年左右，古希腊兴旺着一个唯心主义学派，他们认为，“万物皆数”，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。这个学派就是影响后世科学发展的毕达哥拉斯学派。



毕达哥拉斯

就在这个学派兴盛之时，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。于是毕达哥拉斯学派对这个新发现的“怪数”保密，可希帕索斯则无意间泄露了这个发现，就被毕达哥拉斯学派的人扔进大海淹死了。
后来人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。
不过存在另外一种说法称，据说, 正五边形的边与对角线之比


是最先被发现的无理数。

从军行老大屹

数学家的故事算不算？

某人拜见欧几里德时问，几何学有什么用？
欧先生扭头对他的仆人说，给他丫的一个金币让他走人，因为他只喜欢有用的东西。